XX年中考数学一轮复习精品讲义第5章相交线与平行线.docx
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XX年中考数学一轮复习精品讲义第5章相交线与平行线
XX年中考数学一轮复习精品讲义(第5章相交线与平行线)
第五章相交线与平行线
本章小结
小结1本章概述
本章的主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识,是几何学习的重要阶段,要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质,最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案.
小结2本章学习重难点
【本章重点】了解对顶角、余角、补角的概念;掌握等角的余角相等,等角的补角相等;掌握垂线、垂线段的概念;知道两条直线平行,同位角相等以及同位角相等,两直线平行,进一步探索平行线的性质和判定.
【本章难点】掌握垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义;通过具体实例认识平移;能按要求作出简单平面图形平移后的图形,利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用.
小结3中考透视
中考所考查的内容主要体现在以下几个方面:
对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解,对顶角、邻补角以及垂线性质的应用,包括实际应用.
同位角、内错角、同旁内角的含义,能由线找出角、由角说出线.
平行线的识别与特征,以及在实际问题中的应用.
简单命题的证明.
知识网络结构图专题总结及应用
一、知识性专题
专题1有关基本图形的问题
【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题,构造基本图形以及基本图形的组合,如平行线与角平分线的组合,平行线与平行线的组合等.
例1如图5-132所示,直线AB,cD,EF都经过点o,图中共有几对对顶角?
分析数基本图形不能重复,不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角,图中有3组两条直线相交,故对顶角有2×3=6.
解:
共有6对对顶角.
【解题策略】数图形个数及书写时,应注意顺序性,这样不易重复和遗漏.
例2如图5-133所示,图中共有几对同旁内角?
分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角,其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”,即cD,EF被GH所截,形成两对同旁内角,AB,EF被GH所截,又形成两对同旁内角,所以共有4对同旁内角.
解:
图中共有4对同旁内角.
【解题策略】注意观察同旁内角的特点.
例3如图5-134所示,AB∥cD,P为AB,cD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPc的度数.
分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形,需添加一些线把它们转化成我们熟悉的基本图形.
解:
如图5-134所示,过点P作射线PN∥AB.
因为AB∥cD,
所以PN∥cD,
所以∠4=∠2=25°.
因为PN∥AB,
所以∠3=∠1=32°.
所以∠BPc=∠3+∠4=32°+25°=57°.
【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.
例4如图5-135所示,已知AB∥cD,EF分别交AB,cD于G,H,G,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明G∥HN.
分析要说明G∥HN,可说明∠1=∠2,而由G,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线,可知∠1=∠AGF,∠2=∠EHD,又由AB∥cD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2,从而结论成立.
解:
因为G,HN分别平分∠AGF,∠EHD,
所以∠1=∠AGF,
∠2=∠EHD.
又因为AB∥cD,
所以∠AGF=∠EHD,
所以∠1=∠2,
所以G∥HN.
【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.
例5如图5-136所示,已知AB∥cD,Bc∥DE.试说明∠B=∠D.
分析条件为直线平行,故可根据平行线的性质说明.
解:
因为AB∥cD,
所以∠B=∠c.
因为Bc∥DE,
所以∠c=∠D.
【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.
例6如图5-137所示,已知AB∥cD,G为AB上任一点,GE,GF分别交cD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.
分析要说明180°问题,想到了“平角”和“两直线平行,同旁内角互补”这两个知识点,故可用它们解决问题.
解:
因为AB∥cD,
所以∠4=∠2,∠3=∠5.
因为∠4+∠1+∠5=180°,
所以∠2+∠1+∠3=180°.
【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°,应用等量代换解决了问题.
例7如图5-138所示,AB,Dc相交于点o,oE,oF分别平分∠Aoc,∠Boc.试说明oE⊥oF
解:
因为oE,oF分别平分∠Aoc与∠Boc,
所以∠1=∠Aoc,∠2=∠Boc.
所以∠1+∠2=∠Aoc+∠Boc
=.
又因为∠Aoc+∠Boc=180°,
所以∠1+∠2=×180°=90°,
所以oE⊥oF.
【解题策略】根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为∠Aoc和∠Boc是解此题的关键.
例8如图5-139所示,已知AB∥cD,∠cED=90°.试说明∠1+∠2=90°.
解:
因为AB∥cD,
所以∠3=∠1,∠4=∠2.
因为∠3+∠4+∠cED=180°,
∠cED=90°,
所以∠3+∠4=90°,
所以∠1+∠2=90°.
【解题策略】根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4,再根据平角定义由∠3+∠4+∠cED=180°和已知∠cED=90°可说明∠1+∠2=90°.
例9如图5-140所示,在三角形ABc中,cD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥Bc.试说明∠1=∠2.
解:
因为cD⊥AB,FG⊥AB,
所以∠cDB=∠FGB=90°,
所以∠2=∠3.
因为DE∥Bc,
所以∠1=∠3,
所以∠1=∠2.
【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1,∠2,∠3的关系.
二、规律方法专题
专题2基本命题的计算与证明
【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有有关角的计算;有关角相等的判定;判定平行问题;判定垂直问题;判定共线问题.
例10如图5-141所示,已知∠4=70°,∠3=110°,∠1=46°,求∠2的度数.
分析由∠3+∠4=180°,知AB∥cD,故∠2=180°-∠1.
解:
因为∠4=70°,∠3=110°,
所以∠4+∠3=180°,
所以AB∥cD,
所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°.
【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行,由两直线平行可行同旁内角互补,从而计算相关的角.
例11如图5-142所示,AB∥cD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.
解:
因为AB∥cD,
所以∠1+∠3=∠2+∠4.
因为EB∥DF,
所以∠3=∠4,
所以∠1=∠2.
【解题策略】判定角相等的方法有:
同角的余角相等;
同角的补角相等;
对顶角相等;
角平分线定义;
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,内错角相等.
例12如图5-143所示,DF∥Ac,∠1=∠2.试说明DE=AB.
分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥Ac,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2,故有∠1=∠A,从而得出结论.
解:
因为DF∥Ac,
所以∠2=∠A.
因为∠1=∠2,所以∠1=∠A,
所以DE∥AB.
【解题策略】判定平行的方法有:
平行于同一条直线的两直线平行;
垂直于同一条直线的两直线平行;
同位角相等,两直线平行;
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行.
例13如图5-144所示,∠1=∠2,cD∥EF.试说明EF⊥AB.
分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°,而由cD∥EF,可得∠1+∠2=180°,又∠1=∠2,所以有∠1=∠2=90°,从而得出结论.
解:
因为cD∥EF,
所以∠1+∠2=180°.
又因为∠1=∠2,所以∠1=∠2=90°,
所以EF⊥AB.
【解题策略】判定垂直的方法有:
说明两条相交线的一个交角为90°;
说明邻补角相等;
垂直于平行线中的一条,也必垂直于另一条.
例14如图5-145所示,直线AB,cD相交于点o,oE平分∠Aoc,oF平分∠BoD.试说明E,o,F三点在一条直线上.
分析要说明E,o,F三点共线,只需说明∠EoF=180°.
解:
因为AB,cD相交于点o,
所以∠Aoc=∠BoD.
因为oE,oF分别平分∠Aoc与∠BoD,
所以∠1=∠Aoc,
∠2=∠BoD,
所以∠1=∠2.
因为∠1+∠EoD=180°,
所以∠2+∠EoD=180°,
即∠EoF为平角,所以E,o,F三点共线.
【解题策略】判定三点共线问题的方法有:
构成平角;
利用平行公理说明;
利用垂线的性质说明.
三、思想方法专题
专题3转化思想
【专题解读】在计算过程中,我们总是想办法将未知的转化为已知的.
例15如图5-146所示,直线AB,cD相交于点o,oD平分∠AoE,且∠coA:
∠AoD=7:
2,求∠BoE的度数.
分析欲求∠BoE,因为∠BoE与∠AoE互为邻补角,所以可先求∠AoE,而∠AoE=2∠AoD,所以只需求∠AoD即可,由已知条件可求得∠AoD.
解:
∵∠coA+∠AoD=180°,∠coA:
∠AoD=7:
2,
∴∠coA=×180°=140°,∠AoD=×180°=40°.
∵oD平分∠AoE,
∴∠AoE=2∠AoD=2×40°=80°,
∴∠BoE=180°-∠AoE=180°-80°=100°.
【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系,要注意发现图形中的这两种角,它们常隐藏在直线条件的背后.
XX中考真题相交线与平行线精选
一、选择题
如图,l1∥l2,∠1=120°,则∠2=.
考点:
平行线的性质;对顶角、邻补角。
分析:
由邻补角的定义,即可求得∠3的度数,又由l1∥l2,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵∠1=120°,
∴∠3=180°﹣∠1=60°,
∵l1∥l2,
∴∠2=∠3=60°.
故答案为:
60.
点评:
此题考查了平行线的性质与邻补角的定义.注意两直线平行,同位角相等.
如图,AB∥cD,∠DcE=80°,则∠BEF=
A、120°B、110°c、100°D、80°
考点:
平行线的性质;对顶角、邻补角。
专题:
计算题。
分析:
根据平行线的性质推出∠DcE+∠BEF=180°,代入求出即可.
解答:
解:
∵AB∥cD,∴∠DcE+∠BEF=180°,∵∠DcE=80°,∴∠BEF=180°﹣80°=100°.故选c.
点评:
本题主要考查对平行线的性质,邻补角的定义等知识点的理解和掌握,根据平行线的性质推出∠DcE+∠BEF=180°是解此题的关键.
如图,已知直线AB∥cD,∠c=125°,∠A=45°,那么∠E的大小为
A.70°B.80°c.90°D.100°
考点:
三角形内角和定理;平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
根据两直线平行,同位角相等,求得∠EFA=55°,再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数.
解答:
解:
∵AB∥cD,∠c=125°,
∴∠EFB=125°,
∴∠EFA=180﹣125=55°,
∵∠A=45°,
∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°.
故选B.
点评:
本题应用的知识点为:
两直线平行,同位角相等;三角形内角和定理.
如图所示,∠AoB的两边oA、oB均为平面反光镜,∠AoB=35°,在oB上有一点E,从E点射出一束光线经oA上的点D反射后,反射光线Dc恰好与oB平行,则∠DEB的度数是
A.35°B.70°c.110°D.120°
考点:
平行线的性质,三角形的外角,多学科综合
专题:
相交线与平行线
分析:
由Dc∥oB得∠ADc=∠AoB=35°,又由反射角相等知∠ADc=∠oDE=35°,因为∠DEB是△oDE的外角,所以∠DEB=∠oDE+∠AoB=70°.
解答:
B
点评:
利用反射角相等得出∠ADc=∠oDE=35°.掌握平行线的性质,三角形的外角以及反射角相等.
如图中有四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系,下列何者正确
A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6c.∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°
考点:
三角形内角和定理;对顶角.邻补角;三角形的外角性质。
分析:
根据对顶角的性质得出∠1=∠AoB,再用三角形内角和定理得出得出∠AoB+∠4+∠6=180°,即可得出答案.
解答:
解:
∵四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角,
∵∠1=∠AoB,
∵∠AoB+∠4+∠6=180°,
∴∠1+∠4+∠6=180°.
故选c.
点评:
此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理,正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.
如图,AB∥cD,AD和Bc相交于点o,∠A=40°,∠AoB=75°.
则∠c等于
A、40°B、65°c、75°D、115°
考点:
平行线的性质.
分析:
由∠A=40°,∠AoB=75°,根据三角形内角和定理,即可求得∠B的度数,又由AB∥cD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠c的值.
解答:
解:
∵∠A=40°,∠AoB=75°.
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AoB=180°﹣40°﹣75°=65°,
∵AB∥cD,
∴∠c=∠B=65°.
故选B.
点评:
此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理.解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等的定理的应用.
如图,直线a∥b,Ac丄AB,Ac交直线b于点c,∠1=65°,则∠2的度数是
A.65°B.50°c.35°D.25°
考点:
平行线的性质。
专题:
几何计算题。
分析:
首先由Ac丄AB与∠1=65°,求得∠B的度数,然后由a∥b,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵Ac丄AB,
∴∠BAc=90°,
∴∠1+∠B=90°,
∵∠1=65°,
∴∠B=25°,
∵a∥b,
∴∠2=∠B=25°.
故选D.
点评:
此题考查了平行线的性质与垂直的定义.题目比较简单,解题时要注意数形结合思想的应用.
如图,AB∥cD,∠c=80°,∠cAD=60°,则∠BAD的度数等于
A.60°B.50°c.45°D.40°
考点:
平行线的性质
分析:
根据三角形的内角和为180°,即可求出∠D的度数,再根据两直线平行,内错角相等即可知道∠BAD的度数.
解答:
解:
∵∠c=80°,∠cAD=60°,∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°,∵AB∥cD,∴∠BAD=∠D=40°.故选D.
点评:
本题考查了三角形的内角和为180°,以及两直线平行,内错角相等的性质,难度适中.
如图,AB∥EF∥cD,∠ABc=46°,∠cEF=154°,则∠BcE等于
A.23°B.16°c.20°D.26°
考点:
平行线的性质。
专题:
计算题。
分析:
根据平行线的性质得到∠BcD=∠ABc=46°,∠FEc+∠EcD=180,求出∠EcD,根据∠BcE=∠BcD—∠EcD求出即可.
解答:
解:
∵AB∥EF∥cD,∠ABc=46°,∠cEF=154°,
∴∠BcD=∠ABc=46°,∠FEc+∠EcD=180°,
∴∠EcD=180°—∠FEc=26°,
∴∠BcE=∠BcD—∠EcD=46°—26°=20°.
故选c.
点评:
本题主要考查对平行线的性质的理解和掌握,能熟练地运用平行线的性质进行计算是解此题的关键.
0.如图,AB∥cD,Ac与BD相交于点o,∠A=30°,∠coD=105°.则∠D的大小是
A、30°B、45°
c、65°D、75°
考点:
平行线的性质;三角形内角和定理。
分析:
首先根据两直线平行,内错角相等得出∠c=∠A=30°,然后由△coD的内角和为180°,求出∠D的大小.
解答:
解:
∵AB∥cD,
∴∠c=∠A=30°.
在△coD中,∵∠c+∠coD+∠D=180°,
∴∠D=180°﹣30°﹣105°=45°.
故选B.
点评:
本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理,属于基础题型,比较简单.
1.如图,己知AB∥cD,BE平分∠ABc,∠cDE=150°,则∠c的度数是
A、100°B、110°
c、120°D、150°
考点:
平行线的性质。
分析:
由∠cDE=150°,根据邻补角的定义,即可求得∠cDB的度数,又由AB∥cD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠ABD的度数,由BE平分∠ABc,求得∠ABc的度数,然后根据两直线平行,同旁内角互补,求得∠c的度数.
解答:
解:
∵∠cDE=150°,
∴∠cDB=180°﹣∠cDE=30°,
∵AB∥cD,
∴∠ABE=∠cDB=30°,
∵BE平分∠ABc,
∴∠ABc=2∠ABD=60°,
∵AB∥cD,
∴∠ABc+∠c=180°,
∴∠c=180°﹣∠ABc=120°.
故选c.
点评:
此题考查了平行线的性质,邻补角的定义与角平分线的定义.解题的关键是注意掌握两直线平行,内错角相等与两直线平行,同旁内角互补定理的应用.
如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于
A、55°B、60°c、65°D、70°
考点:
三角形内角和定理;对顶角、邻补角;平行线的性质。
分析:
设∠2的对顶角为∠5,∠1在l2上的同位角为∠4,结合已知条件可推出∠1=∠4=40°,∠2=∠5=75°,即可得出∠3的度数
解答:
解:
∵直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,
∴∠1=∠4=40°,∠2=∠5=75°,
∴∠3=65°.
故选c.
点评:
本题主要考查三角形的内角和定理,平行线的性质和对顶角的性质,关键在于根据已知条件找到有关相等的角.
3.如图.己知AB∥cD,∠1=70°,则∠2的度数是
A、60°B、70°c、80°D、110
考点:
平行线的性质。
分析:
由AB∥cD,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数,又由邻补角的性质,即可求得∠2的度数.
解答:
解:
∵AB∥cD,
∴∠1=∠3=70°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠2=110°.
故选D.
点评:
此题考查了平行线的性质.注意数形结合思想的应用.
如图,l∥,等腰直角三角形ABc的直角顶点c在直线上,若∠β=20°,则∠α的度数为
A.25°B.30°c.20°D.35°
考点:
平行线的性质;对顶角.邻补角;三角形的外角性质。
专题:
计算题。
分析:
根据平角的定义求出∠AcR,根据平行线的性质得出∠FDc=∠AcR=70°,求出∠AFD,即可得到答案.
解答:
解:
∵∠β=20°,∠AcB=90°,
∴∠AcR=180°-90°-20°=70°,
∵l∥,
∠FDc=∠AcR=70°,
∴∠AFD=∠FDc-∠A=70°-45°=25°,
∴∠a=∠AFD=25°,
故选A.
点评:
本题主要考查对平行线的性质,三角形的外角性质,对顶角.邻补角等知识点的理解和掌握,求出∠AFD的度数是解此题的关键.
如图,∠1与∠2互补,∠3=135°,则∠4的度数是
A.45°B.55°c.65°D.75°
考点:
平行线的判定与性质;对顶角、邻补角.专题:
计算题.
分析:
因为∠1与∠2互补,所以a∥b,又因为∠3=∠5,所以∠4与∠5互补,则∠4的度数可求.
解答:
解:
∵∠1与∠2互补,
∴a∥b,
∵∠3=∠5,
∴∠5=135°,
∵a∥b,
∴∠4与∠5互补,
∴∠4=180°-135°=45°.
故选A.
点评:
本题考查平行线的判定与性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果
∠1=32°,那么∠2的度数是
A、32°B、58°c、68°D、60°
【
答案】B
【考点】平行线的性质;余角和补角.
【专题】计算题
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等及余角的定义作答.
【解答】解:
根据题意可知∠1+∠2=90°,所以∠2=90°-∠1=58°.故选B.
【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质.互为余角的两角的和为90°.解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系,从而计算出结果.
.如图,直线DE经过点A,DE∥Bc,∠B=60°,下列结论成立的是
A、∠c=60°B、∠DAB=60°c、∠EAc=60°D、∠BAc=60°
考点:
平行线的性质。
专题:
几何图形问题。
分析:
根据平行线的性质,根据内错角相等,逐个排除选项即可得出结果.
解答:
解:
A、无法判断,故本选项错误,
B、∠B=60°,∴∠DAB=60°,故本选项正确,
c、无法判断,故本选项错误,
D、无法判断,故本选项错误,
故选B
点评:
本题考查了两直线平行,内错角相等的性质,难度适中..
如图,直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,若∠1=72°,∠2=58°,则∠3=
A.45°B.50°c.60°D.58°
考点:
平行线的性质。
专题:
证明题。
分析:
根据两直线l1∥l2,推知内错角∠3=∠5;然后由对顶角∠2=∠4、三角形内角和定理以及等量代换求得∠3=50°.
解答:
解:
∵l1∥l2,
∴∠3=∠5;
又∵∠2=∠4,∠1=72°,∠2=58°,
∴∠5=50°,
∴∠3=50°.
故选B.
点评:
本题考查是平行线的性质:
两直线平行,内错角相等.
如图,直线AB、cD相交于点E,DF∥AB.若∠D=70°,
则∠cEB等于
A.70°B.80°
c.90°D.110°
考点:
平行线的性质.
分析
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- 关 键 词:
- XX 年中 数学 一轮 复习 精品 讲义 相交 平行线