高二数学教案21《圆周角定理》新人教A版选修41.docx
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高二数学教案21《圆周角定理》新人教A版选修41.docx
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高二数学教案21《圆周角定理》新人教A版选修41
一圆周角定理
课标解读
1.了解圆心角定理.
2.理解圆周角定理及其两个推论,并能解决有关问题.
1.圆周角定理及其推论
(1)圆周角定理:
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
2.圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
1.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗?
【提示】 不一定相等.一般有两种情况:
相等或互补,弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补,所对同一条弧上的圆周角都相等,直径所对的圆周角既相等又互补.
2.在推论1中,把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话,结论还成立吗?
【提示】 不成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在一般情况下是不相等的.
3.“相等的圆周角所对的弧相等”,正确吗?
【提示】 不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的,如图.
若AB∥DG,则∠BAC=∠EDF,但≠.
利用圆周角定理和圆心角定理进
行计算
在半径为5cm的圆内有长为5cm的弦,求此弦所对的圆周角.
【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形.先求弦所对的圆心角度数,再分两种情况求弦所对的圆周角的度数.
【自主解答】 如图所示,过点O作OD⊥AB于点D.
∵OD⊥AB,OD经过圆心O,
∴AD=BD=cm.
在Rt△AOD中,
OD==cm,
∴∠OAD=30°,∴∠AOD=60°.
∴∠AOB=2∠AOD=120°.
∴∠ACB=∠AOB=60°.
∵∠AOB=120°,∴劣弧的度数为120°,优弧的度数为240°.
∴∠AEB=×240°=120°,
∴此弦所对的圆周角为60°或120°.
1.解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个,它们互为补角.
2.和圆周角定理有关的线段、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,有时,还可以通过比例线段,相似比来计算.
图2-1-1
已知如图2-1-1,△ABC内接于⊙O,=,点D是上任意一点,AD=6cm,BD=5cm,CD=3cm,求DE的长.
【解】 ∵=,
∴∠ADB=∠CDE.
又∵=,
∴∠BAD=∠ECD.
∴△ABD∽△CED.
∴=.即=.
∴ED=2.5cm.
与圆周角定理相关的证明
如图2-1-2,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
图2-1-2
(1)证明:
△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小.
【思路探究】
(1)通过证明角相等来证明三角形相似.
(2)利用
(1)的结论及面积相等求sin∠BAC的大小,从而求∠BAC的大小.
【自主解答】
(1)由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE.
又S=AB·ACsin∠BAC且S=AD·AE,
故AB·ACsin∠BAC=AD·AE,
则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°.
1.解答本题
(2)时关键是利用AB·AC=AD·AE以及面积S=AB·ACsin∠BAC确定sin∠BAC的值.
2.利用圆中角的关系证明时应注意的问题
(1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁;
(2)当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,然后在直角三角形中处理相关问题.
如图2-1-3,△ABC内接于⊙O,高AD、BE相交于H,AD的延长线交⊙O于F,求证:
BF=BH.
图2-1-3
【证明】 ∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠AHE=∠C.
∵∠AHE=∠BHF,∠F=∠C,
∴∠BHF=∠F.
∴BF=BH.
直径所对的圆周角问题
图2-1-4
如图2-1-4所示,AB是半圆的直径,AC为弦,且AC∶BC=4∶3,AB=10cm,OD⊥AC于D.
求四边形OBCD的面积.
【思路探究】 由AB是半圆的直径知∠C=90°,再由条件求出OD、CD、BC的长可得四边形OBCD的面积.
【自主解答】 ∵AB是半圆的直径,∴∠C=90°.
∵AC∶BC=4∶3,AB=10cm,
∴AC=8cm,BC=6cm.
又∵OD⊥AC,∴OD∥BC.
∴OD是△ABC的中位线,
∴CD=AC=4cm,OD=BC=3cm.
∴S四边形OBCD=(OD+BC)·DC
=(3+6)×4=18cm2.
在圆中,直径是一条特殊的弦,其所对的圆周角是直角,所对的弧是半圆,利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系,还可以证明比例式相等.
图2-1-5
如图2-1-5,已知等腰三角形ABC中,以腰AC为直径作半圆交AB于点E,交BC于点F,若∠BAC=50°,则的度数为( )
A.25° B.50°
C.100°D.120°
【解析】 如图,连接AF.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠AFC=90°,
∴AF⊥BC,
∵AB=AC,
∴∠BAF=∠BAC=25°,
∴的度数为50°.
【答案】 B
(教材第26页习题2.1第3题)
图2-1-6
如图2-1-6,BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,=,BF和AD相交于E,求证:
AE=BE.
(2013·陕西高考)如图2-1-7,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=________.
图2-1-7
【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识,证明三角形相似考查了逻辑推理能力,求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识.
【解析】 ∵BC∥PE,∴∠C=∠PED.
∵∠C=∠A,∴∠A=∠PED.
在△PED和△PAE中,
∠PED=∠A,∠P=∠P,
∴△PED∽△PAE,∴=.
∵PA=PD+DA=3,PD=2,
∴PE2=PA·PD=3×2=6,
∴PE=.
【答案】
1.如图2-1-8,在⊙O中,∠BAC=60°,则∠BDC=( )
图2-1-8
A.30° B.45°
C.60°D.75°
【解析】 ⊙O中,∠BAC与∠BDC都是所对的圆周角,故∠BDC=∠BAC=60°.
【答案】 C
2.在△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,⊙O是△ABC的外接圆,则所对的圆心角为( )
A.22.5°B.45°
C.90°D.不确定
【解析】 ∵∠ACB=45°,∴所对的圆心角为2∠ACB=90°.
【答案】 C
3.(2013·焦作模拟)如图2-1-9,A、B、C是⊙O的圆周上三点,若∠BOC=3∠BOA,则∠CAB是∠ACB的________倍.
图2-1-9
【解析】 ∵∠BOC=3∠BOA,
∴=3,
∴∠CAB=3∠ACB.
【答案】 3
4.如图2-1-10所示,两个同心圆中,的度数是30°,且大圆半径R=4,小圆半径r=2,则的度数是________.
图2-1-10
【解析】 的度数等于∠AOB,又的度数等于∠AOB,则的度数是30°.
【答案】 30°
一、选择题
图2-1-11
1.如图2-1-11所示,若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有( )
A.1对 B.2对
C.3对D.4对
【解析】 由推论知:
∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD,∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.
【答案】 B
2.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30°B.30°或150°
C.60°D.60°或120°
【解析】 弦所对的圆心角为60°,又弦所对的圆周角有两个且互补,故选B.
【答案】 B
3.如图2-1-12所示,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D是的中点,E是的中点,分别连接BD、DE、BE,则△BDE的三内角的度数分别是( )
图2-1-12
A.50°,30°,100°B.55°,20°,105°
C.60°,10°,110°D.40°,20°,120°
【解析】 如图所示,连接AD.
∵AB=AC,D是的中点,
∴AD过圆心O.
∵∠A=40°,
∴∠BED=∠BAD=20°,
∠CBD=∠CAD=20°.
∵E是的中点,
∴∠CBE=∠CBA=35°,
∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°.
∴∠BDE=180°-20°-55°=105°,
故选B.
【答案】 B
4.如图2-1-13,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于( )
图2-1-13
A.4πB.8π
C.12πD.16π
【解析】 连接OA,OB.
∵∠ACB=30°,
∴∠AOB=60°,
又∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形.
又AB=4,∴OA=OB=4.
∴S⊙O=π·42=16π.
【答案】 D
二、填空题
图2-1-14
5.(2013·平顶山模拟)如图2-1-14,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则=________.
【解析】 连接CD,∵AC是⊙O的直径,
∴∠CDA=90°.由射影定理得BC2=BD·BA,AC2=AD·AB,
∴=,即=.
【答案】
6.如图2-1-15,AB为⊙O的直径,弦AC,BD交于点P,若AB=3,CD=1,则sin∠APD=__________.
图2-1-15
【解析】 由于AB为⊙O的直径,则∠ADP=90°,
所以△APD是直角三角形.
则sin∠APD=,cos∠APD=,
由题意知,∠DCP=∠ABP,∠CDP=BAP,
所以△PCD∽△PBA.
所以=,又AB=3,CD=1,则=.
∴cos∠APD=.又∵sin2∠APD+cos2∠APD=1,
∴sin∠APD=.
【答案】
三、解答题
7.如图2-1-16,已知A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD、AD.
(1)求证:
DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
图2-1-16
【解】
(1)证明:
∵AB=BC,∴=,
∴∠BDC=∠ADB,
∴DB平分∠ADC.
(2)由
(1)可知=.
∴∠BAC=∠ADB.
∵∠ABE=∠ABD.
∴△ABE∽△DBA.∴=.
∵BE=3,ED=6,∴BD=9.
∴AB2=BE·BD=3×9=27.
∴AB=3.
8.如图2-1-17,△ABC是圆O的内接等边三角形,AD⊥AB,与BC的延长线相交于点D,与圆O相交于点E,若圆O的半径r=1,求DE的长度.
图2-1-17
【解】 连接BE,∴AD⊥AB,
∴BE为⊙O的直径,且BE=2r=2.
又∵∠AEB=∠ACB=60°,
∴∠ABE=30°,∠EBD=30°.
又∵∠ABD=60°,
∴∠D=∠EBD=30°,
∴DE=
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