届江苏省泰州南通扬州苏北四市七市高三第二次模拟考试 数学文word版.docx
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届江苏省泰州南通扬州苏北四市七市高三第二次模拟考试数学文word版
2019届江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市高三第二次模拟
数学文
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={1,3,a},B={4,5},若A∩B={4},则实数a的值为________.
2.复数z=(i为虚数单位)的实部为________.
3.某单位普通职工和行政人员共280人.为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况,现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本.已知从普通职工中抽取的人数为49,则该单位行政人员的人数为________.
4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动,则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为________.
5.执行如图所示的伪代码,则输出的S的值为________.
i←1
S←2
Whilei<7
S←S×i
i←i+2
EndWhile
PrintS
6.函数y=的定义域为________.
7.将函数y=2sin3x的图象向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象,则f的值为________.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A(2,0)到渐近线的距离为,则b的值为________.
9.在△ABC中,已知C=120°,sinB=2sinA,且△ABC的面积为2,则AB的长为________.
10.设P,A,B,C为球O表面上的四个点,PA,PB,PC两两垂直,且PA=2m,PB=3m,PC=4m,则球O的表面积为________m2.
11.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且在区间[2,4)上,f(x)=则函数y=f(x)-log5|x|的零点的个数为________.
12.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|3 13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B在圆x2+y2=4上,且AB=2,点P(3,-1),·(+)=16,设AB的中点M的横坐标为x0,则x0的所有值为________. 14.已知集合A={x|x=2k-1,k∈N*},B={x|x=8k-8,k∈N*},从集合A中取出m个不同元素,其和记为S;从集合B中取出n个不同元素,其和记为T.若S+T≤967,则m+2n的最大值为________. 二、解答题: 本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中,设向量a=(cosα,sinα),b=,其中0<α<. (1)若a∥b,求α的值; (2)若tan2α=-,求a·b的值. 16.(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E.求证: (1)DE∥平面ABB1A1; (2)BC1⊥平面A1B1C. 17.(本小题满分14分) 图①是一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM=5m,BC=10m,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ. (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式; (2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅,试问: 当θ为何值时,总造价最低? ① ② 18.(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: +y2=1,椭圆C2: +=1(a>b>0),C2与C1的长轴长之比为∶1,离心率相同. (1)求椭圆C2的标准方程; (2)设点P为椭圆C2上一点. ①射线PO与椭圆C1依次交于点A,B,求证: 为定值; ②过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,且直线l1,l2与椭圆C1均有且只有一个公共点,求证: k1·k2为定值. 19.(本小题满分16分) 已知函数f(x)=2lnx+x2-ax,a∈R. (1)当a=3时,求函数f(x)的极值; (2)设函数f(x)在x=x0处的切线方程为y=g(x),若函数y=f(x)-g(x)是(0,+∞)上的单调增函数,求x0的值; (3)是否存在一条直线与函数y=f(x)的图象相切于两个不同的点? 并说明理由. 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}的各项均不为零.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{a}的前n项和为Tn,且3S-4Sn+Tn=0,n∈N*. (1)求a1,a2的值; (2)证明: 数列{an}是等比数列; (3)若(λ-nan)(λ-nan+1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值. 2019届高三年级第二次模拟考试(南通七市) 数学参考答案 1.4 2. 3.35 4. 5.30 6.[2,+∞) 7.- 8.2 9.2 10.29π 11.5 12.4 13.1, 14.44 15. (1)因为a∥b, 所以cosαcos-sinαsin=0,(2分) 所以cos=0.(4分) 因为0<α<,所以<2α+<, 所以2α+=,解得α=.(6分) (2)因为0<α<,所以0<2α<π. 又tan2α=-<0,故<2α<π. 因为tan2α==-, 所以cos2α=-7sin2α<0. 又sin22α+cos22α=1, 解得sin2α=,cos2α=-.(10分) 所以a·b=cosαsin+sinαcos=sin(12分) =sin2αcos+cos2αsin =·+·=.(14分) 16. (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱, 所以侧面ACC1A1为平行四边形. 又A1C与AC1交于点D, 所以D为AC1的中点. 同理,E为BC1的中点,所以DE∥AB.(3分) 又AB⊂平面ABB1A1,DE⊄平面ABB1A1, 所以DE∥平面ABB1A1.(6分) (2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱, 所以BB1⊥平面A1B1C1. 又因为A1B1⊂平面A1B1C1, 所以BB1⊥A1B1.(8分) 又A1B1⊥B1C1,BB1,B1C1⊂平面BCC1B1, BB1∩B1C1=B1, 所以A1B1⊥平面BCC1B1.(10分) 又因为BC1⊂平面BCC1B1, 所以A1B1⊥BC1.(12分) 又因为侧面BCC1B1为正方形,所以BC1⊥B1C. 又A1B1∩B1C=B1,A1B1,B1C⊂平面A1B1C, 所以BC1⊥平面A1B1C.(14分) 17. (1)由题意得FH⊥平面ABCD,FM⊥BC, 又因为HM⊂平面ABCD,所以FH⊥HM.(2分) 在Rt△FHM中,HM=5,∠FMH=θ, 所以FM=,(4分) 所以△FBC的面积为×10×=, 所以屋顶面积S=2S△FBC+2S梯形ABFE=2×+2××2.2=, 所以S关于θ的函数关系式为S=.(6分) (2)在Rt△FHM中,FH=5tanθ, 所以主体高度为h=6-5tanθ,(8分) 所以别墅总造价为 y=S·k+h·16k =·k+(6-5tanθ)·16k =k-k+96k =80k·+96k(10分) 记f(θ)=,0<θ<, 所以f′(θ)=, 令f′(θ)=0,得sinθ=. 又0<θ<,所以θ=.(12分) 列表: 所以当θ=时,f(θ)有最小值. 故当θ为时该别墅总造价最低.(14分) 18. (1)设椭圆C2的焦距为2c,由题意,得a=2, =,a2=b2+c2, 解得b=, 所以椭圆C2的标准方程为+=1.(3分) (2)①1°当直线OP的斜率不存在时, PA=-1,PB=+1,则 ==3-2.(4分) 2°当直线OP的斜率存在时,设直线OP的方程为y=kx, 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k2+1)x2=4, 所以x=,同理x=,(6分) 所以x=2x,由题意,得xP与xA同号, 所以xP=xA, 所以====3-2, 所以=3-2为定值.(8分) ②设P(x0,y0),所以直线l1的方程为 y-y0=k1(x-x0),即y=k1x+k1y0-x0, 记t=k1y0-x0,则l1的方程为y=k1x+t, 代入椭圆C1的方程,消去y,得(4k+1)x2+8k1tx+4t2-4=0. 因为直线l1与椭圆C1有且只有一个公共点, 所以Δ=(8k1t)2-4(4k+1)(4t2-4)=0, 即4k-t2+1=0, 将t=k1y0-x0代入上式,整理得, (x-4)k-2x0y0k1+y-1=0,(12分) 同理可得,(x-4)k-2x0y0k2+y-1=0, 所以k1,k2为关于k的方程(x-4)k2-2x0y0k+y-1=0的两根, 所以k1·k2=.(14分) 又点P(x0,y0)在椭圆C2: +=1上, 所以y=2-x, 所以k1·k2==-为定值.(16分) 19. (1)当a=3时,函数f(x)=2lnx+x2-3x的定义域为(0,+∞), 则f′(x)=+x-3=, 令f′(x)=0,得x=1或x=2.(2分) 列表: 所以函数f(x)的极大值为f (1)=-,极小值为f (2)=2ln2-4.(4分) (2)依题意,得切线方程为y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0), 所以g(x)=f′(x0)(x-x0)+f(x0)(x0>0), 记p(x)=f(x)-g(x), 则p(x)=f(x)-f(x0)-f′(x0)(x-x0)在(0,+∞)上为单调增函数, 所以p′(x)=f′(x)-f′(x0)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即p′(x)=-+x-x0≥0在上恒成立.(8分) 法一: 变形得(x-x0)≥0在(0,+∞)上恒成立, 所以=x0,又x0>0,所以x0=.(10分) 法二: 变形得x+≥x0+在(0,+∞)上恒成立, 因为x+≥2=2(当且仅当x=时,等号成立), 所以2≥x0+,所以≤0, 所以x0=.(10分) (3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1,y1),T2(x2,y2), 不妨设0 y-f(x1)=f′(x1)(x-x1), 点T2处切线l2的方程为 y-f(x2)=f′(x2)(x-x2). 因为l1,l2为同一直线, 所以(12分) 所以+x1-a=+x2-a, 2lnx1+x-ax1-x1=2lnx2+x-ax2-x2, 整理,得(14分) 消去x2,得2ln+-=0.① 令t=,由0 记p(t)=2lnt+-t,则p′(t)=--1=-<0, 所以p(t)为(0,1)上的单调减函数, 所以p(t)>p (1)=0, 所以①式不可能成立,所以假设不成立,所以不存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点.(16分) 20. (1)因为3S-4Sn+Tn=0,n∈N*. 令n=1,得3a-4a1+a=0. 因为a1≠0,所以a1=1. 令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)+(1+a)=0,即2a+a2=0. 因为a2≠0,所以a2=-.(3分) (2)因为3S-4Sn+Tn=0,① 所以3S-4Sn+1+Tn+1=0,② ②-①,得3(Sn+1+Sn)an+1-4an+1+a=0, 因为an+1≠0,所以3(Sn+1+Sn)-4+an+1=0,③ (5分) 所以3(Sn+Sn-1)-4+an=0(n≥2),④ 当n≥2时,③-④,得3(an+1+an)+an+1-an=0,即an+1=-an. 因为an≠0,所以=-. 又由 (1)知,a1=1,a2=-,所以=-, 所以数列{an}是以1为首项,-为公比的等比数列.(8分) (3)由 (2)知,an=. 因为对任意的n∈N*,(λ-nan)(λ-nan+1)<0恒成立, 所以λ的值介于n和n之间. 因为n·n<0对任意的n∈N*恒成立,所以λ=0适合.(10分) 若λ>0,当n为奇数时,n<λ 记p(n)=(n≥4),因为p(n+1)-p(n)=-=<0, 所以p(n)≤p(4)=1,即≤1,所以≤(*), 从而当n≥5且n≥时,有λ≥≥, 所以λ>0不符.(13分) 若λ<0,当n为奇数时,n<λ 由(*)式知,当n≥5且n≥-时,有-λ≥≥,所以λ<0不符. 综上,实数λ的所有值为0.(16分)
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