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等差数列
四、等差数列的概念
2.(文)(08·广东)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=( )
A.7B.6
C.3D.2
(理)等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12,a2+a4=8,则数列{an}的通项公式是( )
A.an=2n-2 (n∈Z*)
B.an=2n+4 (n∈Z*)
C.an=-2n+12 (n∈Z*)
D.an=-2n+10 (n∈Z*)
3.(文)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
[例2] 在等差数列{an}中,已知a15=10,a45=90,求a60.
(理)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若
,则
等于( )
7.(文)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] B
[例6] 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?
若数列{an}(n∈N*)的首项为14,前n项的和为Sn,点(an,an+1)在直线x-y-2=0上,那么下列说法正确的是( )
A.当且仅当n=1时,Sn最小
B.当且仅当n=8时,Sn最大
C.当且仅当n=7或8时,Sn最大
D.Sn有最小值,无最大值
[例] 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.
解析:
在利用S10=S15求出公差d=后,由an≥0得n≤13(或由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0,进而得出a13=0)
从而知a12>0,a13=0,a14<0,故S12、S13均为最大值.不要漏掉n=13的情形.
定义的应用:
[例] 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.
[例2] 在等差数列{an}中,已知a15=10,a45=90,求a60.
解析:
解法1:
设数列首项为a1,公差为d,构造方程组,求a1,d,则a60可求.
解法2:
∵{an}为等差数列,∴(15,a15),(45,a45),(60,a60)三点共线
∴a60=130
解法3:
a15,a30,a45,a60成等差数列,
∴a30==50,∴a60=2a45-a30=130.
四、等差数列的设项技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:
…,x-2d,x-d,x,x+d,x+2d,…,此时公差为d;
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.
(09·四川)等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是( )
A.90 B.100
C.145D.190
[例5] 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130 B.170 C.210 D.260
(文)设{an}是等差数列,且a1-a4-a8-a12+a15=2,则a3+a13=________,S15=________.
(理)
(1)如果数列{an}是等差数列,则( )
A.a1+a8 B.a1+a8=a4+a5 C.a1+a8>a4+a5 D.a1a8=a4a5 (2)(09·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2=3,a6=11,则S7等于( ) A.13B.35 C.49D.63 [例7] 一个等差数列首项是8,公差是3,另一个等差数列首项是12,公差是4,这两个数列有公共项吗? 如果有,求出最小的公共项,并指出它分别是原等差数列的第几项? 求出由公共项组成的数列的通项公式. (文)(09·陕西)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则数列的通项公式an=________. (理)(09·全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=________. 10.(文)(09·辽宁)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列. (1)求{an}的公比q; (2)求a1·a3=3,求Sn. 11.(文)已知数列{an}的前n项和为n2+pn,数列{bn}的前n项和为3n2-2n. (1)若a10=b10,求p的值; (2)取数列{bn}的第1项,第3项,第5项,…,构成一个新数列{cn},求数列{cn}的通项公式. 1.(2009·辽宁){an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=( ) A.-2B.- C. D.2 2.(2009·湖南)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( ) A.13B.35C.49D.63 】(2009·全国Ⅱ)已知等差数列{an}中a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的前n项和Sn.
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