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《机械工程控制基础》课后完整答案
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作者:
PanHongliang
仅供个人学习
第一章自动控制系统的基本原理
第一节控制系统的工作原理和基本要求
第二节控制系统的基本类型
第三节典型控制信号
第四节控制理论的内容和方法
第二章控制系统的数学模型
第一节机械系统的数学模型
第二节液压系统的数学模型
第三节电气系统的数学模型
第四节线性控制系统的卷积关系式
第三章拉氏变换
第一节傅氏变换
第二节拉普拉斯变换
第三节拉普拉斯变换的基本定理
第四节拉普拉斯逆变换
第四章传递函数
第一节传递函数的概念与性质
第二节线性控制系统的典型环节
第三节系统框图及其运算
第四节多变量系统的传递函数
第五章时间响应分析
第一节概述
第二节单位脉冲输入的时间响应
第三节单位阶跃输入的时间响应
第四节高阶系统时间响应
第六章频率响应分析
第一节谐和输入系统的定态响应
第二节频率特性极坐标图
第三节频率特性的对数坐标图
第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数
第七章控制系统的稳定性
第一节稳定性概念
第二节劳斯判据
第三节乃奎斯特判据
第四节对数坐标图的稳定性判据
第八章控制系统的偏差
第一节控制系统的偏差概念
第二节输入引起的定态偏差
第三节输入引起的动态偏差
第九章控制系统的设计和校正
第一节综述
第二节希望对数幅频特性曲线的绘制
第三节校正方法与校正环节
第四节控制系统的增益调整
第五节控制系统的串联校正
第六节控制系统的局部反馈校正
第七节控制系统的顺馈校正
第一章自动控制系统的基本原理
定义:
在没有人的直接参与下,利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。
第一节控制系统的工作原理和基本要求
一、控制系统举例与结构方框图
例1.一个人工控制的恒温箱,希望的炉水温度为100C°,利用
表示函数功能的方块、信号线,画出结构方块图。
图1
人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度,通过大脑分析、比较,利用手和锹上煤炭助燃。
图2
例2.图示为液面高度控制系统原理图。
试画出控制系统方块图
和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。
解:
浮子作为液面高度的反馈物,自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度,调解气动阀门的开合度,对误差进行修正,
可保持液面高度稳定。
图3
图4
图5
结构方块图说明:
1.信号线:
带有箭头的直线(可标时间或象函数)U(t),U(s);
2.引用线:
表示信号引出或测量的位置;
3.比较点:
对两个以上的同性质信号的加减运算环节;
4.方框:
代表系统中的元件或环节。
方块图中要注明元件或环节的名称,函数框图要写明函数表达式。
二.控制系统的组成
1.给定环节:
给出输入信号,确定被控制量的目标值。
2.比较环节:
将控制信号与反馈信号进行比较,得出偏差值。
3.放大环节:
将偏差信号放大并进行必要的能量转换。
4.执行环节:
各种各类。
5.被控对象:
机器、设备、过程。
6.测量环节:
测量被控信号并产生反馈信号。
7.校正环节:
改善性能的特定环节。
三.控制系统特点与要求
1.目的:
使被控对象的某一或某些物理量按预期的规律变化。
2.过程:
即“测量——对比——补偿”。
或“检测偏差——纠正偏差”。
3.基本要求:
稳定性系统必须是稳定的,不能震荡;
快速性接近目标的快慢程度,过渡过程要小;
准确性
第二节控制系统的基本类型
1.开环变量控制系统(仅有前向通道)
图6
2.闭环变量控制系统
开环系统:
优点:
结构简单、稳定性能好;
缺点:
不能纠偏,精度低。
闭环系统:
与上相反。
第三节典型控制信号
输入信号是多种多样的,为了对各种控制系统的性能进行统一的评价,通常选定几种外作用形式作为典型外作用信号,并提出统一的性能指标,作为评价标准。
1.阶跃信号x(t)=0t<0
X(t)=At≥0
图7
当A=1时,称为单位阶跃信号,写为1(t)。
阶跃信号是一种对系统工作最不利的外作用形式。
例如,电源突然跳动,负载突然增加等。
因此,在研究过渡过程性能时通常都选择阶跃函数为典型外作用,相应的过渡过程称为阶跃响应。
2.脉冲函数
数学表达式x(t)=A/T0≤t≤T
X(t)=0其它
图8
脉冲函数的强度为A,即图形面积。
单位脉冲函数(δ函数)定义为δ(t)=1(t)
性质有:
δ(t)=0t≠0
δ(t)=∞t=0
且
图9
强度为A的脉冲函数x(t)也可写为x(
t)=Aδ(t)
必须指出,脉冲函数δ(t)在现实中是不存在的,它只有数学上的意义,但它又是很重要的很有效的数学工具。
3.斜坡函数(恒速信号)
x(t)=Att≥0
x(t)=0t<0
图10
在研究飞机系统时,常用恒速信号作为外作用来评价过渡过程。
4.恒加速信号
x(t)=At2/2t≥0
x(t)=0t<0
图11
在研究卫星、航天技术的系统时,常用恒加速信号作为外作用来评价过渡过程。
5.正弦函数(谐波函数、谐和信号)
x(t)=xm.sin(ωt+φ)t≥0
x(t)=0t<0
-
图12
6.延时函数(信号)
f(t)=x(t-τ)t≥τ
f(t)=0t<0
图13
7.随机信号(使用白噪声信号代替)
第四节控制理论的研究内容和方法
一.经典控制理论
1.主要内容:
分析——掌握系统的特性,进行系统性能的改善;
实验——对系统特性和改善措施进行测试;
综合——按照给定的静态、动态指标设计系统。
2.方法
时域法——以典型信号输入,分析输出量随时间变化的情况;
频域法——以谐和信号输入,分析输出量随频率变化的情况;
根轨迹法——根据系统的特征方程式的根,随系统参数的变化规律来研究系统(又称图解法)。
二.现代控制理论
1.引入状态空间概念;
2.动态最佳控制;
3.静态最优控制;
4.自适应和自学习系统。
图14瓦特调速器
第二章控制系统的数学模型
为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系,必须建立数学模型。
这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型。
第一节机械系统的数学模型
1.机械平移系统(应用牛顿定律)∑F=0,F=m
F(t)-c-kx=m
或F(t)-Fc(t)-Fk(t)=m
Fc(t)=阻尼器产生的阻尼力,为c(t)
Fk(t)=弹性恢复力,为kx(t)
整理:
m+c+kx=F(t)
2.机械旋转系统
J(t)+c(t)+k(t)=M(t)
J—转动惯量
c—阻尼系数
K—刚度系数
图14
图15
3.机械传动系统参数的归算
机械系统的运动形式:
旋转运动、直线运动。
机械系统的组成元件:
齿轮、轴、轴承、丝杠、螺母、滑块等。
对一个复杂的大系统,必须把各部件参数归算到同一部件上。
在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性恢复力称为当量参数。
如何归算?
采用单因素法。
3—1惯性参数的归算
1.转动惯量的归算
将图示系统中的J1、J2和J3归算到a轴上。
图16
列各轴力矩平衡方程式:
a轴:
M=J1+Mb-a
b轴:
Ma-b=J2+Mc-b
c轴:
Mb-c=J3
Mb-a——负载力矩;Ma-b——是b轴的主动(驱动)力矩。
列关系式:
==,同理力相等关系
由线速度相等关系:
ω1=ω2
得,同理,
代入各关系式,得
M(t)=M=[J1+J2()2+J3()2]=Ja∑
Ja∑—称为归算到a轴上的归算转动惯量。
推之,对于系统有n个轴,归算到a轴时,
Ja∑=
Ui—是从a轴到第i轴的总速比,即主动齿轮齿数积/被动齿轮齿数积。
2.移动质量归算为转动惯量
列运动平衡方程式
丝杠:
M=J+M1
滑块:
F=m=F轴
式中:
M1是滑块作用于丝杠的力矩;
F轴是丝杠作用于滑块的轴向力。
为求M与F之间的关系,列关系式,把丝杠按πD展成平面。
tgα=F周/F轴=S/πD
由关系式F周=M1,则F轴=F==
根据运动关系==
代入到M=J+M1中,整理后得
M=[J+m()2]=J∑
J∑=J+m()2
图17
图18
第二节液压系统的数学模型
分析思路(见图19):
划分为两个环节。
滑阀:
输入量xi(t)
输出量θ(t)(中间变量)
液压缸:
输入量θ(t)
输出量xo(t)
建立各元件方程式
图19
1、滑阀流量方程式
θ(t)=f[xi(t),],其中
=压强差
流量θ(t)是阀芯位移xi(t)函数,同时又是负载压强差的函数,具有非线性关系。
如果把非线性问题线性化,这是考虑在额定工作点附近可展成泰勒级数办法,则
θ(t)=kqxi(t)-kp
(1)
其中kq是流量增益系数,kp是压力影响系数。
(1)式是根据试验数据修正而来。
2、液压缸工作腔液体流动连续方程式
θ(t)=Ao(t)+kt+
(2)
A—工作面积,kt—漏损系数,V—液体体积压缩率,—弹性模量。
在不考虑液体的的可压缩性,又不考虑泄漏,
(2)式可简化为
θ(t)=Ao(t)(3)
3、液压缸负载平衡方程式
A=mo(t)+co(t)+kxo(t)+F(t)(4)
若自由状态,即F(t)=0,则
A=mo(t)+co(t)+kxo(t)(5)
4、系统的运动方程式
消去中间变量和θ(t),得
mo(t)+co(t)+(k+A2/ρ(t)=Akqxi(t)/kp(6)
若外部系统阻尼、刚度系数不受影响,即c=0,k=0,惯性力不考虑。
则kqxi(t)=Axo(t)(7)
这是来多少油出多少油的关系式。
第三节电气系统的数学模型
1.阻容感网络系统
图20
由基尔霍夫第一定律(封闭系统)
Ui(t)-UR(t)-Uc(t)-UL(t)=0
Ui(t)-Ri(t)--L=0
=L+R+二阶微分方程
2.放大器网络系统
图21
1)比例运算放大器
由ij(t)=0
i1(t)=i2(t)+i3(t)
因为放大器内阻很大,i3(t)0,于是有
i1(t)i2(t)
即=i1(t)=i2(t)=
(引入:
Uo(t)=-βUA=-(104-106)UA由于β很大,UA0)
UO(t)=(1+)UA(t)-Ui(t)
2)积分运算放大器
图22
同前分析过程。
i1(t)=;U0(t)==由i1(t)i2(t)而来
输出与输入之间存在积分关系。
3)微分运算放大器
图23
由Ui(t)=得i1(t)=c
i2(t)=,由i1(t)i2(t)关系式,得U0(t)=R2C
输出与输入之间存在微分关系。
第四节线性控制系统的卷积关系式
为建立输出与输入之间的关系,常利用卷积关系式。
一.线性控制系统的权函数
图24
设图示系统,任意给输入量xi(t),输出量为xo(t)。
当xi(t)=δ(t),即为单位脉冲函数,此时的输出(也称为响应)xo(t)记为h(t)。
h(t)称为系统的单位脉冲响应或称为权函数。
若输入脉冲发生在τ时刻,则δ(t)和h(t)曲线都会向右移动τ,形状不变。
图25-1
即xi(t)=δ(t1),对应的xo(t)=h(t1),其中t1=t-τ
定义:
δ(t-τ)=τ≤t≤τ+δt
δ(t-τ)=0其它
这里δ(t)≠δt,δt=⊿t
二、任意输入响应的卷积关系式
当xi(t)为任意函数时,可划分为n个具有强度Aj的脉冲函数的叠加,即
图25-2
图25-3
Xi(t)=
其中Aj=xi(jδt).Δt=面积=强度
在某一个脉冲函数Ajδ(t-jδt)作用下,响应为Ajh(t-jδt)。
系统有n个脉冲函数,则响应为:
xo(t)==
当n时,,nδt,j.δt=τ,δt=dτ
xo(t)=卷积关系式
上式说明“任意输入xi(t)所引起的输出xo(t)等于系统的权函数
h(t)和输入xi(t)的卷积”。
三、卷积的概念与性质
定义:
若已知函数f(t)和g(t),其积分存在,
则称此积分为f(t)和g(t)的卷积,记作。
性质:
1、交换律=
证明:
令t-τ=t1dτ=-dt1(τ=t-t1)
==
=(左=右,变量可代换)证毕。
2、分配律
3、若t∠0时,f(t)=g(t)=0,则
=
f(t)—输入;g(t)—系统;x0(t)—输出
x0(t)=
四.卷积积分的图解计算
积分上下限的确定:
下限取f(τ)和g(t-τ)值中最大一个;
上限取f(τ)和g(t-τ)值中最小一个。
图26
第三章拉普拉斯变换
第一节傅氏变换(傅立叶变换)
一、傅氏级数的复指数形式(对周期函数而言,略讲)
二、非周期函数的傅氏积分
非周期函数f(t)可以看作是T周期函数fT(t),即
f(t)=,若f(t)在上满足:
1、在任一有限区间上满足狄氏条件(10连续或只有有限个第一类间断点;20只有有限个极值点);
2、在上绝对可积(收敛)。
f(t)=非周期函数的积分式
三、傅氏变换
1、傅氏变换概念
在傅氏积分式中,令t是积分变量,积分后是的函数。
称F(ω)=F[f(t)]——傅氏变换
f(t)=F-1[F(ω)]——傅氏逆变换
2、傅氏变换的缺点说明
10条件较强,要求f(t)绝对收敛。
做不到。
例如,1(t)、Asinωt,它们的积分均发散,即F[f(t)]不存在,无法进行傅氏变换。
20要求f(t)在有意义,而在实际中,t<0常不定义。
解决的办法:
10将f(t)乘以收敛因子e-σt使积分收敛(σ>0);
20将f(t)乘以1(t),使当t<0时,函数值为零。
可将积分区间由换成。
于是傅氏变换变形为拉氏变换L[f(t)]:
L[f(t)]=
其中S=—复变量。
成立的条件是Re(s)=σ>0
经过处理,能解决大部分工程上的问题。
这就是Laplace变换(F.L.Z.H.W.X).
第三节拉普拉斯变换(Laplace)
一.定义:
1.若t0时,x(t)单值;t<0时,x(t)=0
2.收敛,Re(s)=σ>0
则称X(s)=为x(t)的拉氏变换式,记作
X(s)=L[x(t)]
X(t)=L-1[X(s)]拉氏逆变换
二.举例
1.脉冲函数δ(t)的拉氏变换L[δ(t)]=1
2.单位阶跃函数x(t)=1(t)=1的拉氏变换
X(s)=L[1(t)]=,Re(s)>0即σ>0
3.x(t)=,—常数
=L[]=Re(s)>0即σ>
4、x(t)=sint,—常数
=L[sint]=
=Re(s)>0
5.X(t)=tn幂函数的拉氏变换
利用伽玛函数方法求积分。
=L(tn)=
函数标准形式
令st=u,t=tn=s-nundt=du,则
=
若n为自然数,X(s)=L(tn)=Re(s)>0
比如:
x(t)=t,=
x(t)=t2,=
x(t)=t3,=
第三节拉氏变换的基本定理
与傅氏变换的定理差不多,但有的定理不相同,同时比傅氏变换定理多也许一些。
1、线性定理(比例和叠加定理)
若L[x1(t)]=X1(s),L[x2(t)]=X2(s)
L[k1x1(t)+k2x2(t)]=k1X1(s)+k2X2(s)
例题x(t)=at2+bt+c
=L[at2+bt+c]=aL(t2)+bL(t)+cL
(1)
=Re(s)>0
2、微分定理
若L[x(t)]=X(s),则L[(t)]=s2X(s)-x(0)
x(0)是x(t)的初始值,利用分部积分法可以证明。
推论:
L[
、
、
L[x(n)(t)]=snX(s)-sn-1x(0)-、、、x(0)(n-1)
注意大小写,小写为时间函数。
若初始条件全为零,则
L[x(n)(t)]=snX(s)
3、积分定理
若L[x(t)]=,则L[]=
推论:
L[]=
4、衰减定理(复数域内位移性质)
若L[x(t)]=,则L[]=
表明原函数乘以指数函数的拉氏变换,等于象函数做位移。
例题x(t)=
因L[]=,则
=L[]=
5、延时定理(时间域内位移性质)
若L[x(t)]=,t<0时,x(t)=0,
则L[x(t)]=、
在时间域内延迟(位移),行动于它的象函数乘以指数因子。
图27
6、初值定理
若L[x(t)]=X(s),且存在,
则
它建立了x(t)在坐标原点的值与象函数s在无限远点的值之间的对应关系。
表明,函数x(t)在0点的函数值可以通过象函数乘以s,然后取极限值而获得。
7、终值定理
若L[x(t)]=,且存在,则
8、卷积定理
若L[x(t)]=,L[y(t)]=,则
L[]=.
第四节拉氏逆变换
已知象函数X(s)求原函数x(t)的运算称为拉氏逆变换,记作
x(t)=L-1[]推导过程略。
这是复变函数的积分公式,按定义计算比较困难。
其一是查表法(略);其二是变形法;第三是配换法;第四是分项分式法。
这里简单介绍第二项,着重讲第四项。
一、变形法(要利用好各个性质)
例1已知=,求x(t)
解:
s变量中有位移量a,原函数中必有衰减因子e-at,原本
是1(t),现在是e-at.1(t)=e-at
例2X(s)=,求x(t)
解:
s变量中有位移a,x(t)中必有衰减因子e-at;X(s)中
有衰减;x(t)中的时间t必有位移。
对于的逆变换是
第一步变形原函数乘以衰减因子e-at,得
x(t)1=e-at
第二步变形t位移,即(t-),得
X(t)2=x(t)=
二、分项分式法
若X(s)为有理分式,即
=(n>m)
分母多项式Qn(s)具有个重根s0和个单根s1s2…,显
然n=+,则分母多项式
Qn(s)=
Si是实数也可能是虚数,是Qn(s)的零点,又是X(s)的极点。
可化成:
在分项分式中,k0i、kj均为常数,称为的各极点处的留数。
对于各个单项,则
K如何求得?
?
?
★★★留数的求解
1、比较系数法
例:
=s=0,-3,-4为三个单极点。
=通分
联立方程:
1=a+b+c
4=7a+4b+3c
2=12a
解得a=
2、极限法(留数规则)
10单极点处的留数(相对比较系数法简单一些)
若S是X(s)的分母多项式Qn(s)的一个单根,称s=S为的一个单极点。
此时可设:
=+
是余项,其中不再含有S-S的因子。
可写成:
(S-S)=K+(S-S)
令sS,对等式两边取极限,可得
K=
例题:
==
k1=
k2=
k3=毕
20、重极点处的留数
若s0是的分母多项式Qn(s)的一个重根,则称s=s0是一个重极点。
在重极点处有个留数k01、k02、、、,此时可设
=,W(s)中不含(s-s0)。
=
令s,两边取极限,得
为求,可对求阶导数,再令s,两边取极限,得
例题:
已知=,求其留数。
解(s)是三重极点,(是两重极点,(是单极点。
=
=-1
=-2
=-3
=-2
=2
=1
第四节常系数线性微分方程的拉氏变换解
微分方程L变换象函数的代数方程
原函数的微分方程L-1逆变换象函数
例题:
求的解,并满足初始条件;
解:
L变换=
代入初始条件,求解代数方程。
L-1逆变换毕
第四章传递函数
第一节传递函数的概念与性质
一、传递函数的概念
对于单输入、单输出的线性定常系统,传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时,输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。
原函数描述的系统:
输入xi(t)系统h(t)输出x0(t)
以象函数描述的系统:
输入Xi(s)系统G(s)输出X0(s)
传递函数为:
传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式,是系统的复数域数学模型
二、传递函数的一般形式
线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为:
其中a0、a1。
。
。
an,b0、b1。
。
。
bm均为实常数。
对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。
传递函数具有以下三种常用形式:
Ⅰ型
Ⅱ型
Ⅲ型
其中,Ⅱ型中,sb1、sb2、sbm是G(s)的零根,sa1、sa2、san是G(s)的极点,也是分母多项式的根。
这些根可以是单根、重根、实根或复根。
若有复根,则必共轭复根同时出现。
Ⅲ型中,kl称为环节增益;是环节的时间常数;是环节的阻尼比。
以上均为实常数,且,。
在分子、分母多项式中,每个因式代表一个环节。
其中每个因式确定一个零根;每个因式()确定一个非零实根;每个因式确定一对共轭复根。
三、传递函数的性质
1、传递函数只决定于系统的内在性能,而与输入量大小以及它随时间的变化规律无关。
2、传递函数不说明系统的物理结构,只要动态性能相似,不同的系统可具有同形式的传递函数。
3、分母的最高阶次为n的系统称为n阶系统。
实用上n≥m。
4、s的量纲为时间的倒数,G(S)的量纲是输出与输入之比。
5、所有系数均为实数,原因是:
“它们都是系统元件参数的函数,而元件参数只能是实数”。
第二节线性控制系统的典型环节
控制系统都是由若干个环节组合而成,无论系统多么复杂,但所
组成的环节仅有几种,举例说明。
一、比例环节传递函数G(s)=K
例:
(机械系统,不考虑弹性变形)
图a
(液压系统,不考虑弹性变形,可压缩性和泄漏)
图b
图c
图4-1比例环节
G(s)=
g(t)=A.V(t)G(s)=
u(t)=R.i(t)G(s)=
二、积分环节
传递函数的标准形式:
G(s)一阶系统
G(s)=二阶系统
例:
电感电路系统
i0(t)=i0(t)—输出;ui(t)—输入
L—变换I0(s)=G(s)=
这里
三、惯性环节
一阶惯性环节的传递函数标准形式:
例:
阻容电路
K=1,T=RC
四、振荡环节
传递函数标准形式:
其中K—比例系数,—阻尼比,T—周期,
—无阻尼自由振动固有角频率。
例1:
质量—弹性—阻尼系统
输入f(t),输出x(t)
运动方程:
L—变换:
=
其中,
例2:
阻容感电路(R—C—L电路)***引人复阻抗概念
L—变换
L—变换
L—变换
复阻抗,又称为复数域的欧姆定律。
见题图
得
其中,
需要注意的是,只有当的特征方程具有一对共轭复根时,系统才能称为振荡环节。
否则,称为二阶惯性环节。
即
五、放大器模拟电路举例(第二章已说过
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