组合数学讲义及答案4章容斥原理.docx
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组合数学讲义及答案4章容斥原理
《组合数学》第四章容斥原理æ9öç÷!
1dT(3,6)=åj(d)èø9d|(3,6)æ3öæ6öç÷!
ç÷!
èdøèdø=çf
(1)1æ9è9!
3!
ö1+f(3)÷=(1´84+2´3)=103!
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1!
2!
ø9表4.5.4重集S={3a,6b}的(3,6)圆排列周期为9的(3,6圆排列(9个)⊙xxxyyyyyy,⊙xxyxyyyyy,⊙xxyyxyyyy,⊙xxyyyxyyy,⊙xxyyyyxyy,⊙xxyyyyyxy,⊙xyxyxyyyy,⊙xyxyyxyyy,⊙xyxyyyxyy周期为3的(3,6圆排列(1个)⊙xyyxyyxyy46/49
《组合数学》第四章容斥原理习题四1、基本题:
1~6,9~10,11,13~162、加强题:
7,12,17,183、提高题:
81.试求不超过200的正整数中素数的个数。
2.问由1到2000的整数中:
(1)至少能被2,3,5之一整除的数有多少个?
(2)至少能被2,3,5中两个数同时整除的数有多少个?
(3)能且只能被2,3,5中1个数整除的数有多少个?
3.求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。
4.某人参加一种会议,会上有6位朋友,他和其中每一人在会上各相遇12次,每二人各相遇6次,每三人各相遇4次,每四人各相遇3次,每五人各相遇2次,与六人都相遇1次,一人也没遇见的有5次,问该人共参加几次会议?
5.n位的四进制数中,数字1,2,3各自至少出现一次的数有多少个?
6.某照相馆给n个人分别照相后,装入每人的纸袋里,问出现以下情况有多少种可能:
(1)没有任何一个人得到自己的相片;
(2)至少有一人得到自己的相片;(3)至少有两人得到自己的相片。
7.把{a,a,a,b,b,b,c,c,c}排成相同字母互不相邻的排列,有多少种排法?
8.把1,2,…,n排成一圈,令f(n表示没有相邻数字恰好是自然顺47/49
《组合数学》第四章容斥原理序的排列数
(1)求f(n;
(2)证明f(n+f(n+1=Dn.9.n个单位各派两名代表出席一个会议,2n位代表围圆桌而坐,试问
(1)同一单位的代表相邻而坐的方案有多少?
(2)同一单位的代表互不相邻的方案又有多少?
10.一书架有m层,分别放置m类不同种类的书,每层n册,现将书架上的图书全部取出整理,整理过程中要求同一类的书仍然放在同一层,但可以打乱顺序,试问
(1)m类书全不在各自原来层次上的方案数有多少?
(2)每层的n本书都不在原来位置上的方案数是多少?
(3)M层书都不在原来层次,每层n本书也不在原来位置上的方案数又是多少?
11.n个人参加一晚会,每人寄存一顶帽子和一把雨伞,会后各人也是任取一顶帽子和一把雨伞,问
(1)有多少种可能使得没有人能拿到他原来的任一件物品?
(2)有多少种可能使得没有人能同时拿到他原来的两件物品?
12.求方程x1+x2+x3=14的整数解的个数,若
(1)每个变元都满足0£xi£6(i=1,2,3)。
(2)1£x1£8,-6£x2£2,3£x3£813.某班选修数学、英语和语文课程的学生分别为79、80、81人,其中兼修数学和英语的68人,兼修英语和语文的69人,兼修语文和数学的70人,三门课都修的有61人,一门课也未修的有6人,问该班共有多少名学生?
14.某班有学生25人,其中有14人会西班牙语,12人会法语,48/49
《组合数学》第四章容斥原理6人会法语和西班牙语,5人会德语和西班牙语,还有2人对这三种语言都会说,而6个讲德语的人都至少还会说另一种语言(指这三种语言中的一种)。
求不会外语的人数15.某班每天放学后都要打扫卫生,其项目有扫地、整理桌椅、擦窗子和黑板共4项工作,故每天留下4名同学打扫卫生,每人恰好完成其中的一项。
而今天留下的4名同学中,甲喜欢整理桌椅或擦窗子,乙不喜欢擦窗子,丙不喜欢整理桌椅,丁同学对每一项工作都不挑剔。
那么,能给出多少种安排打扫卫生的方案,使得每个同学都能干自己喜欢且不用干自己不喜欢的工作?
16.单位举行晚会,有6个部门各表演一个节目,上场次序编号为1,2,…,6。
现进行抽签,以决定上场次序。
但其中有一个部门希望自己抽到的编号为偶数,另一个部门不希望抽到4或6,还有一个部门不希望自己的编号是3的倍数。
那么,抽签结果使大家都满意的概率是多少?
17.现有t种不同颜色的球,第一种颜色的球有个,第二种颜色的球有个,…,第t种颜色的球有个,要把这些球分别装入k个不同的盒子中,且使每盒至少放入一个球,问共有多少种不同的装法?
18.某单位欲在开会用的圆桌上摆上若干盆鲜花,且摆出来的图案为圆形。
现有红、黄、蓝三种颜色的鲜花可供选用,且每种颜色的鲜花有充分多,问:
(1)从中选出6盆鲜花,能摆成多少种不同的图案?
(2)若选出9盆鲜花,但希望摆出来的圆形图案的重复周期为3,又可摆成多少种图案?
(3)若只选出3盆鲜花,又能摆出多少种图案来?
并请列举出所有摆法?
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