推荐学习中考数学 综合闯关专题七 综合实践与探究无答案.docx
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推荐学习中考数学综合闯关专题七综合实践与探究无答案
综合实践与探究
纵观河北8年中考:
综合实践与探究是河北每年中考的压轴题型.结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考查,一般以简单几何图形的基本性质为出发点进行考查.近7年涉及到的考查形式有2015年的矩形、半圆为背景探索图形旋转变化中的规律;2014年以景区内的环形(正方形)路为背景,考查一次函数的实际应用、方程、列代数式并比较大小和不等式的实际应用;2013年以正方体容器为背景考查线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等;2012年以三角形为背景,考查列代数式及线段之间的距离的最值关系等;2011年以平行线间的半圆为背景,考查点到直线的距离和旋转角等;2010年以转动的机械装置为背景,考查点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的距离等;2009年以圆为背景,结合规律探究考查;2008年以设计抽水站给村庄供水为背景,考查点的对称问题难度较大,考查学生综合能力,具有选拔性.
此类题目前几问一般比较简单,解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路,则将问题变为从简单逐渐到难的过程,从而能解决问题.做题时,需要将后面问与前面问对比,才能轻松得解.
预计2016年河北中考,依然会以简单几何图形为背景进行运动化,考查学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的能力,难度会很大.
中考重难点突破)
探究与拓展
【经典导例】
【例1】(2013河北中考)一透明的敞口正方体容器ABCD—A′B′C′D′装有一些液体,棱AB始终在水平桌面上,容器底部的倾斜角为α(∠CBE=α,如图①所示).
探究 如图①,液面刚好过棱CD,并与棱BB′交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及尺寸如图②所示.解决问题:
(1)CQ与BE的位置关系是________,BQ的长是________dm;
(2)求液体的体积;(参考算法:
直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB)
(3)求α的度数.(注:
sin49°=cos41°=
,tan37°=
)
拓展 在图①的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图③或图④是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图③和图④,求y与x的函数关系式,并写出相应的α的范围.
延伸 在图④的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计),得到图⑤,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α=60°时,通过计算,判断溢出容器的液体能否达到4dm3.
【解析】探究:
本题根据三视图可以计算.拓展根据勾股定理,在Rt△BCQ中求出BQ的长度,以及α的度数. 拓展:
本题中的α的取值范围分3种情况:
①当容器向左旋转;②当容器向右旋转;③当液面恰好到容器口,即点Q与点B′重合,分别求出α的度数.
延伸:
求证本题中的问题时,考虑到容器内液体形成两层液面,液体的形状分别以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱,即可求解.
【学生解答】
【方法指导】此题的难点在于延伸中嵌入长方形隔板且容器旋转,这样的运动产生的液体的流动不易思考,应抓住α=60°时液体形成两个液面,液体的形状分别是以三角形和直角梯形为底面的直棱柱,求出棱柱的体积和,便可得知溢出的液体,从而得解.
1.(2015石家庄二模)如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
(1)操作发现
如图②,固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时,填空:
①线段DE与AC的位置关系是________;
②设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是________.
(2)猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时,小明猜想
(1)中S1与S2的数量关系仍然成立,并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高,请你证明小明的猜想.
(3)拓展探究
已知∠ABC=60°,点D是其角平分线上一点,BD=CD=4,DE∥AB交BC于点F(如图④).若在射线BA上存在点F,使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长.
2.(2014河北中考)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD,如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车速度均为200米/分.
探究 设行驶时间为t分.
(1)当0≤t≤8时,分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2(米)与t(分)的函数关系式,并求出当两车相距的路是400米时t的值;
图① 图②)
(2)t为何值时,1号车第三次恰好经过景点C?
并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.
发现 如图②,游客甲在BC上的一点K(不与点B,C重合)处候车,准备乘车到出口A.设CK=x米.
情况一:
若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车;
情况二:
若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车.
比较哪种情况用时较多?
(含候车时间)
决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去,步行的速度是50米/分.当行进到DA上一点P(不与点D,A重合)时,刚好与2号车迎面相遇.
(1)他发现,乘1号车会比乘2号车到出口A用时少,请你简要说明理由;
(2)设PA=s(0<s<800)米.若他想尽快到达出口A,根据s的大小,在等候乘1号车还是步行这两种方式中,他该如何选择?
思考与探究
【经典导例】
【例2】(2011河北中考)如图①至图④中,两平行线AB,CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.
思考:
如图①,圆心为O的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.当α=________度时,点P到CD的距离最小,最小值为________.
探究一:
在图①的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图②,得到最大旋转角∠BMO=________度,此时点N到CD的距离是________.
探究二:
将图①中的扇形纸片MOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转.
(1)如图③,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;
(2)如图④,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围.(参考数据:
sin49°=
,cos41°=
,tan37°=
)
【解析】思考:
根据两平行线之间垂线段最短,以及切线的性质定理,直接得出答案.探究一:
根据MN=8,MO=4,OY=4,得出UO=2,即可得出最大旋转角∠BMO=30°,此时点N到CD的距离是2; 探究二:
(1)由已知得出M与P的距离为4,PM⊥AB时,点P到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6-4=2,即可得出∠BMO的最大值;
(2)分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH,即可得出α的取值范围.
【学生解答】
1.(2014南京中考)【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”,“ASA”,“AAS”,“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:
当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据________,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
图①)
第二种情况:
当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角.求证:
△ABC≌△DEF.
图②)
第三种情况:
当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
图③)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?
请直接填写结论:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若________,则△ABC≌△DEF.
2.(2015沧州模拟)问题背景:
如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是________;
探索延伸:
如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:
如图③,在某次军事学习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
操作与探究
【经典导例】
【例3】(2008河北中考)如图①至图⑤,⊙O均作无滑动滚动,⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置,⊙O的周长为c.
阅读理解:
(1)如图①,⊙O从⊙O1的位置出发,沿AB滚动到⊙O2的位置.当AB=c时,⊙O恰好自转1周.
(2)如图②,与∠ABC相邻的补角是n°,⊙O在∠ABC外部沿A—B—C滚动,在点B处,必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置,⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2=n°,⊙O在点B处自转
周.
实践应用:
(1)在阅读理解的
(1)中,若AB=2c,则⊙O自转________周;若AB=l,则⊙O自转________周.在阅读理解的
(2)中,若∠ABC=120°,则⊙O在点B处自转________周;若∠ABC=60°,则⊙O在点B处自转________周.
(2)如图③,∠ABC=90°,AB=BC=
c.⊙O从⊙O1的位置出发,在∠ABC外部沿A—B—C滚动到⊙O4的位置,⊙O自转________周.
拓展联想:
(1)如图④,△ABC的周长为l,⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部,按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,⊙O自转了多少周?
请说明理由;
(2)如图⑤,多边形的周长为l,⊙O从与某边相切于点D的位置出发,在多边形外部,按顺时针方向沿多边形滚动,又回到与该边相切于点D的位置,直接写出⊙O自转的周数.
【解析】
(1)读懂题意,套公式易得AB=2c,则⊙O自转2周,若AB=l,则⊙O自转
周,在阅读理解的
(2)中,若∠ABC=120°,则⊙O在点B处自转
周,若∠ABC=60°,则⊙O在点B处自转
周.
(2)因∠ABC=90°,AB=BC=
c,则⊙O自转1+
=
周. 拓展联想:
因三角形和五边形的外角和是360°,则⊙O共自转了(
+1)周.
【学生解答】
【难点剖析】本题的难点在于拓展联想中第
(1)、
(2)问.
(1)问中由于△ABC的周长是l,所以当⊙O绕△ABC一周后,⊙O自转
周,但是,⊙O在运动中,还经过了△ABC的三个顶点,所以在运动到顶点时,⊙O还自转了360°,即为△ABC的外角和.所以⊙O实际自转了(
+
)周,即(
+1)周;
(2)问中⊙O在多边形边上的自转不难求出,最关键的是运动到多边形顶点上时,⊙O的自转度数,通过
(1)问探究,⊙O在顶点时自转的度数实际上等于多边形的外角和,即360°.所以⊙O实际上还是自转了(
+1)周.
1.(2015保定模拟)某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图①所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是________;(填序号即可)
①AF=AG=
AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图②所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?
请给出证明过程;
类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图③所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.
2.(2015河北中考)平面上,矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放,分别延长DA和QP交于点O,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1,让线段OD及矩形ABCD位置固定,将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转,设旋转角为α(0°≤α≤60°).
发现:
(1)当α=0°,即初始位置时,点P________直线AB上(选填“在”或“不在”).求当α是多少时,OQ经过点B;
(2)在OQ旋转过程中,简要说明α是多少时,点P,A间的距离最小?
并指出这个最小值;
(3)如图,当点P恰好落在BC边上时,求α及S阴影.
拓展:
如图,当线段OQ与CB边交于点M,与BA边交于点N时,设BM=x(x>0),用含x的代数式表示BN的长,并求x的取值范围.
探究:
当半圆K与矩形ABCD的边相切时,求sinα的值.
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