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小学教案
第五章“数与代数"案例与分析
数学的研究对象是现实世界的数量关系和空间形式.《标准》在各学段中,安排了四个方面的数学课程内容:
“数与代数”,“图形与几何”,“统计与概率”,“综合与实践”.
小学数学课程中“数与代数”的内容,是由以往数与运算、代数初步知识和量与计量的部分内容整合而来的,在小学数学教学中占有重要地位.是进一步学习数学知识和其他领域的内容时必备的基础知识.本章介绍“数与代数”部分的内容、目标、教学要求并结合案例呈现教学设计的要点.
学习的基本要求
(1)了解“数与代数”的基本内容和教学要求;
(2)了解“数与代数”的教学中,应帮助学生建立数感和符号意识,发展运算能力和推理能力,初步形成模型思想.
(3)能正确进行“数与代数”的教材分析并初步进行教学设计.
第一节主要内容与教学要求
在小学数学课程中,“数与代数”的主要内容划分为“数的认识”、“数的运算”、“常见的量”、“式与方程”、“比和比例”和“探索规律”几个部分.其中,整数、小数、分数与百分数的认识以及相应的四则运算是本阶段“数与代数”的重要内容,是学生进一步学习的基础和日常生活的工具.《标准》指出:
数与代数的学习,应帮助学生建立数感和符号意识,发展运算能力和推理能力,初步形成模型思想.
“数与代数”与以往的教学大纲比,内容变化反映出以下特点:
·强调问题情景的创设.
·强调“数感”和“符号意识”的培养.
·强调计算教学与解决问题教学的融合.
·强调估算的学习,提倡算法的多样化.
·增加了负数的认识和计算器的使用.
·删减了珠算.
·削弱了大数目运算的要求。
通过“数与代数”的学习,应该达到以下要求:
能结合具体情景和现实素材,认识自然数、分数、小数、百分数以及负数,体会数的意义,能用数来表示生活中的问题,并进行交流,发展数感.
·知道倍数和因数,并能在l~100的自然数中,找出10以内某个自然数的所有倍数,知道2,3,5的倍数的特征,能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数.能找出某个自然数的所有因数,能找出两个自然数的公因数和最大公因数.
·知道整除、奇数、偶数、质数、合数.
·体会运算的意义,掌握万以内的整数、简单分数、小数和百分数的基本运算和相互间的转化,重视口算,加强估算,提倡算法多样化.
·能结合现实素材理解运算顺序,并进行简单的整数、小数、分数(不含带分数)四则混合运算(以两步为主,不超过三步).
·探索和理解运算律,能应用运算律进行一些简便运算.
·探索并理解简单的数量关系,能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题,并能对结果的合理性进行判断,获得解决现实生活中简单问题的能力.
·在具体运算和解决简单实际问题的过程中,认识减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算.
·初步建立货币、时间、重量的概念,认识常用的货币、时问、重量的单位和进率.
·在具体情境中会用字母表示数,初步了解方程,会用方程表示简单情境中的等量关系.会解方程,并会用列方程的方法来解决简单的实际问题,培养符号感.
·在实际情境中理解按比例分配,并能解决有关的简单问题,通过具体问题认识成正比例、成反比例的量.
·能发现给定的事物中隐含的简单规律,探求隐含的规律或变化趋势.
·能借助计算器进行较复杂的运算,解决简单的实际问题,探索简单的数学规律.
第二节数的认识
“数的认识”主要是认识整数、小数、分数(正分数)、百分数、负数等(即有理数).数的认识教学,要注意使学生理解数的意义、建立正确的数概念.数概念是数学概念最重要的部分,数概念的掌握标志着学生理解了数的本质,开始了真正意义上的数学学习.要使学生体会数用来表示和交流的作用,能对相关的数字信息作出合理的解释,初步学会用具体的数描述现实世界的简单现象,解决简单的问题,形成数的直觉,发展数感和符号意识.-
整数的认识主要是使学生逐步建立整数的概念,认识计数单位,掌握十进制计数法,理解数的十进制组成,能够根据数级和数位正确地读、写多位数.会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置,并能用于交流.整数的认识通常被划分成“20以内”、“100以内”、“万以内”、“万以上”数的认识这几个阶段进行学习.在教学中,要抓好0—9这十个数的认识和数字的写法,重视计数单位的认识及记数的位置原则的理解.结合我国四位分级的读数习惯,认识“万”和“亿”这两个计数单位.结合现实情景感受大数的意义,并能估计.
分数是整数系的扩充.分数的认识主要包括分数的意义、分数的大小比较、分数的基本性质以及通分和约分.分数的意义和基本性质是分数四则运算的根据.由于整数、小数都是用的十进制计数法,所以学生比较习惯“满十进一”、“退一作十”的运算方法.进人分数学习后,会因为数的意义的扩展和计算方法的复杂而遇到新的困难.所以,分数是小学数学教学的难点之一.通常分为“分数的初步认识”和“分数的意义”两个阶段学习.
小数的认识主要是认识有限小数,也认识无限循环小数.有限小数是按照十进位制的位置原则,由十进分数(分母是10的幂的分数)改写成不带分母的形式的数,无限循环小数可以化为分数,所以,分数实际上包括了有限小数和无限循环小数.由于小数和整数的计数原则相同,在书写形式和计算方法上也基本一致,只是多了个小数点定位的问题,学生在日常生活中接触小数的机会也比较多,所以小学中通常先讲小数后讲分数.小数通常也分为“小数初步认识”和“小数的意义”两个阶段学习.
将负数内容列入小学,这在新中国成立以来是第三次(第一次是在1958年,第二次是在1978年,后被删掉).负数是数系的又一次扩充.在小学学习负数,主要是和初中学习内容衔接.《标准》对负数学习的要求是:
“在熟悉的生活情景中,了解负数的意义,会用负数表示日常生活中的相反意义的量”,但不要求计算负数.
以下分析讨论几个有关的案例.
案例5—1十以内数的认识
【课题】《认识1—5》(第一课时)
【教材】人教版义务教育课程标准实验教科书,数学,一年级上册
【教材分析】“认识1—5”是小学生数概念学习的起点.小学生在上小学之前,大都能数1、2、3、4、5,但要形成数的概念比较难.比如:
要使学生理解数l是从实际事物中抽象出来的,所有数量是1的事物都可以用数字1表示,是很不容易的.教材体现了弗莱格一罗素的自然数定义,即自然数表示有限集的数量特征.可以建立一一对应的有限集有相同的数量特征.每一个自然数正是可以建立一一对应的一类有限集的共同的数量特征.教材提供了丰富的材料,让学生观察包含了1—5个元素的有限集,然后运用同一性抽象,找出它们的共同点,逐步建立自然数1—5的概念.
教材从编排上有这样的几个层次:
1.分类(构建集合):
将观察到的动物进行分类.
2.建立图像模型:
用小棒表示相应集合中对应元素,引导学生从物体数量的角度观察事物,进而形成关于自然数的表象.
3.建立符号模型:
用数字刻画可以建立一一对应关系的有限集合中元素的个数.
自然数的应用:
用数表达现实生活中事物的多少.
在这一过程中,逐渐舍去了现实对象的其他属性,让学生仅仅关注物体数量的多少,感知自然数基数的含义,初步建立起关于自然数的概念,这实质上是一个数学化的过程.在这一过程中,也渗透了分类的思想、对应的思想以及符号化思想.
【教学目标】
(一)了解5以内数字表示的数的含义,能陈述数表示一类物体的个数.
(二)会读5以内各数.能按物数数、按数取物,会用实物或图形等方式表示物体的个数.
(三)经历从日常生活中抽象出数的过程,感受1—5各数之间的联系,体会数的顺序,初步培养用数学的眼光观察事物的习惯.
(四)能积极主动地参与学习活动.
【教学片段1】认识数“1”
老师请小朋友观察图形,逐步能用完整的语言说出图上画了些什么.比如:
“一只梅花鹿,一只小鸟,……”.老师指出,1只梅花鹿可以用一根“小棒”来表示.并随手贴出一根小棒.再问学生,一根小棒还可以表示什么?
让学生知道:
一根小棒可以表示很多很多的“一个东西”,凡是一个东西都可以用一根小棒来表示.告诉学生,一根小棒所表示的数,可以用数字1表示.
【点评】这一环节,通过“实物图片一小棒一符号”,逐步去掉现实对象的其他无关属性,使学生经历将数从实际事物中抽象出来的过程.并体会所有数量是1的事物都可以用数字1来表示.初步渗透1和一个实物的对应关系.
【教学片段2】巩固和拓展练习一
(一)老师拿出5个同样大小的小方木块,请学生数完后从5块中拿出一块.
(二)老师把这5块木块按2、3块分成两堆,请学生到讲台前,分别拿出两堆中的一堆,并说出拿的一堆是几块.让学生感知,都是一堆,但是每一堆里的木块有多有少。
(三)老师请大家举起准备的5根一捆的小木棍.并把各自的一捆小木棍放在桌子上数一数,分一分.分完了说说分几堆.再请学生把分的“堆”收在一起.
【点评】老师的高明之处在于,在使学生认识1的同时,渗透了“1和多,,的辩证思想:
多中有1,1中有多;也渗透了“整体和部分”的辩证关系:
1根和1捆的关系,1捆可以分成几小堆,几小堆可以合成1大堆.教师采用的渗透方法巧妙、自然,符合一年级儿童的接受能力,也使课上得有深度.
【教学片段3】巩固和拓展练习二(说话练习)
师:
谁能说说自己的学习用品中哪些可以用数字l表示.
生:
我有一本书,一支铅笔,一本本子,一块橡皮.
师:
(随时纠正学生说错了的量词)
师:
刚才那位小朋友说到了有一个老师.那么,我们这些小朋友怎么用数字l表示呢?
(老师边说边用手朝全体同学画了一个大圈)谁想好了谁就说.
生:
一帮小朋友.
生:
老师,我说,一班小朋友.
师:
好!
他俩说得都对!
但讲“一班”好些.
师:
再想想,教室外、操场上还有什么可以用数字1来表示?
【点评】在教师引导下,学生通过观察和想象,说出l的应用,由近及远,由里到外,层次清楚,条理分明.这样做不仅使学生进一步体会1和实物的对应关系,而且培养了学生的观察能力、说话能力以及思维能力.
师:
用数字“l”表示的事物能不能说完?
【点评】让学生体会到用数字1表示的事物是说不完的,渗透“有限和无限”的辩证思想.处理方法自然,画龙点睛,恰到好处.
【总评】
教学10以内数的认识,要把握以下几点:
(一)让学生学会数数,建立起数与物体的一一对应关系,知道数到的最后一个数,就是总数.
(二)理解数的基数和序数意义,理解数的顺序和大小;
(三)掌握10以内数的组成.熟练地掌握数的组成,不仅可以加深对1到10的各数的理解,还可以为学习加、减法做准备.
(四)学会正确读、写1到10的数.书写10以内的数字也是本阶段的学习重点·教师要指出字的结构和笔顺,做好书写示范,注意从一年级起逐步培养学生良好的书写习惯·比如在教学1的书写时,老师指着“日”字格中用虚线标出的1的位置,向学生说明,写1的时候不只是要注意写得直,还要注意从“日,字格的右上角起笔,向左下角运笔,到左下角收笔.要“一口气”写完.并注意指导学生握笔和写字的姿势.
案例5—2100以内数的认识
【课题】100以内数的认识(一课时)
【教材】北师大版义务教育课程标准实验教科书,数学,一年级下册
【教材分析】
(一)“100以内数的认识”是小学数概念教学的重要内容.是在学生认识20以内数、且基本上已能数百以内数的基础上进行教学的.学生在一10以内,,数的认识中,主要是学习数数、数的顺序、数的组成、大小关系、数的读写、理解自然数基数意义和序数意义.通过“11--20”的认数学习,逐步从按个计数过渡到按群计数,初步了解数位与计数单位“十”的概念.这些知识为学生认识100以内数奠定了基础.
(二)学生认识100以内数的标志是:
1·能熟练地数数·利用十进制计数法,先用计数单位“十”、再用计数单位“一”来数·从而弄清该数是由几个十、几个一组成.这不仅是正确读数、写数的基础,也是理解100以内数的大小和数位意义的基础.
2·正确理解“数位”和“计数单位”的概念,了解记数的位置原则.能正确读数、写数.理解数所表示的意义.
3·掌握100以内数的顺序,能正确地进行数的大小比较.--
【教学目标】
(一)学会正确数出100以内的数,初步了解计数单位“十”、“一”,会用十进制计数法去数100以内的数.
(二)掌握100以内的数是由几个“十”、几个“一”组成的,初步理解个位、十位上的数所表示的意义.
(三)培养学生动手操作、观察力、想象力和抽象概括能力.在学习过程中,注意认真倾听、有条理的表达,形成良好的学习习惯.
【教学过程】
(嘉兴市教育研究院朱国荣设计①.)
(一)数数,掌握不同的数法
1.齐数教师的手指数(一个一个地数).
2·请三名学生站在前面,指名数他们的手指总数,展示不同的数法(有一个一个地数、两个两个地数、五个五个地数、十个十个地数).数完后,指名说一说“你喜欢哪一种数法”?
(二)画圈,认识计数单位“十”
1.第一次画圈
指名说出图中某班人数(三十三人),并用数“33”表示.请学生思考:
如果用一个圈表示一个小朋友,要表示全班三十三位小朋友,应该画多少个圈?
回答后,组织全体学生画圈,画之前,教师明确提出:
怎样画,能让老师很容易看出画的正好是三十三个圈?
【点评】学生自己画圆圈表示33个同学,这是一个有趣的事情.但教师明确提出画圈要求:
要“很容易看出正好是三十三个圈”,这是一个对学生的思维具有挑战性的任务.因为学生需要记住总数,同时需要思考如何画,边画还要边数数-这是一个学生个性化学习的机会,也有助于学生通过操作、比较、反思,学习数数,体会使用计数单位“十”进行计数的价值.
学生独立画圈后,组织交流
(1)展示没有结构地、随机地画的作品.
(2)展示五个五个画的作品.
(3)展示十个十个画的作品.
教师组织学生对上述各种画法进行分析、评价.并统计十个十个画的学生数,给予表扬.
教师让学生数出(3)展示的圆圈个数,先十个十个地数,再一个一个地数.
小结:
个、十都是计数单位.
【点评】教师呈现学生作品,引导学生对不同的画法进行评价,并把讨论的重点放在十个十个画的情形:
利用对应的方法,引导学生由第一行的个数,推断以下几行的个数,由此确认圆圈的总数,并用“十、个”去数数.使学生在比较中建立“十”这个计数单位的概念,培养学生的推理意识.
(4)认识数的组成,初步理解个位、十位上的数所表示的意义
师:
根据刚才的讨论,请小朋友们想一想,“33”里面的两个数字“3”所表示的意思一样吗?
(同桌说一说)
生:
前面那个“3”是在十位上的,后面那个“3”是在个位上的.
生:
十位上的“3”代表3个十,个位上的“3”代表3个一.
教师引导学生再次观察刚才十个十个画的作品,分别圈出两个“3”所对应的不同的圈.逐步沟通数的组成与画圈结果之间的关系,理解33由3个十、3个一组成,能根据数的组成说出数的名称.
【点评】这里,教师没有直接问学生33里有几个“十”和几个“一”,而是让学生讨论,自己去解释知识.同时,通过数形结合的方法,沟通画圈结果和数的组成之间的联系,促进学生了解数的组成,体会记数的位置原则,培养学生独立思考的能力。
22解读教师画的作品(每行画十个圈,画了九行,最后一行画了一个圈)
先让学生独立观察,数一数老师一共画了多少个圈.然后组织交流:
说说你是怎样数的?
学生先十个十个地数,再随着老师画的圈,依次数到一百.引导学生整体观察画有一百个圈的方阵,最后得出“10个十是100”.
【点评】学生经历从100个一到一个百的数数过程,体会数的顺序和大小关系·会用计数单位“十”来数较大的数.这里得出十个10是一百以后,还可以反过来说,一个百里面有10个“十”.训练学生逆向思考的能力.同时,可将100看成一个整体(如果是小棒,可以将100根或10个小捆捆成一大捆),建立以“百”做计数单位的概念.注意在数数时,接近整十的地方是学生数数的难点.
3.第二次画圈——在头脑中画
请学生独立想象:
47个圈应该怎样画,同桌交流后组织反馈.
(三)解释与应用
1·呈现3捆(每捆10根)再加5根小棒,请学生说一说一共有几根.
请学生想象,怎样摆出53根小棒,交流后组织讨论:
35和53中的“3”和“5”所表示的意思相同吗?
为什么?
2.呈现百羊图,先让学生估一估,再数一数.
【点评】会数数,就是会用十进制计数法来数.要强调由大到小使用各个计数单位来数,使得每种计数单位的个数都不超过九.弄清数的组成.以便根据数的组成读数、写数.怎样画并不重要,不论怎样画,都可以用十进制计数法去数,弄清该数是由几个十与几个一组成的。
【总评】
(一)布鲁纳认为:
学科基本原理的学习,有助于促进记忆和迁移.用十进制计数法来分析一个数的组成,是数的命名的基础,也是数的读、写的基础.因此是各个阶段“认数”教学的核心问题.教师合理地选择学习材料,引导学生将数与形结合,正确数数.通过操作、比较、想象,逐渐抽象出计数单位的概念,了解计数单位“一”、“十”、“百”、……,感知数的大小、顺序及数的组成.
(二)在100以内数的认识中,“数位”的概念也是教学的重要内容.只有正
确理解数位的意义,才能正确地读数和写数.在后续的教学中,可以在学生掌握
数的组成的基础上,借助于计数器和数位表,突出各个数字所占的具体位置的含义,促进学生对数位和数位的计数单位等概念有更深刻的理解.
(三)整数的组成是制定数的四则运算法则的基本依据.所以在教学中要注意为学习数的运算做好铺垫.比如,学习数“35”的组成时,除要求学生按“35由3个十和5个一组成”去思考和表述外,还可以引导他们按照“3个十和5个一合起来组成35”的思路进行叙述.这样,不仅可以促进学生对数的组成有较全面的理解,而且可以为后面的计算作必要的孕伏.
案例5—3分数的意义
【课题】分数的意义(第二次认识)
【教材分析】
(一)分数是数系的一次重要的扩充.分数概念的教学是分数教学中最基本的内容.掌握分数概念,也为学习分数的四则运算、理解和掌握小数和百分数打下基础.分数概念建立在“平均分”和单位“1”两个概念基础上.掌握分数的概念对小学生来说是一个难点.在学习本节教材之前,学生已经对分数有了初步的认识,了解到分数的实质是“平均分”,认识了分子是l的分数.但对单位“1”的认识局限在一个物体或一个计量单位.本课时教学主要使学生理解:
单位“1”,不仅能表示一个物体,一个计量单位,还可以表示由一些物体组成的整体;明确分数的意义和分子分母的含义;理解分数单位,知道不同分母的分数有着不同的分数
单位,一个分数和“1”都是由几个分数单位组成的.
(二)小学生理解单位“1”比较困难.因为把一些物体组成的单位“1”平均分,分得的一份,可能含有几个物体.比如学生认为四个三角形不能看成一个整体,因为“一个三角形就是一个整体,而现在是四个三角形”.所以,它需要学生从把单个物体看成整体向把多个物体看成一个整体的思维跨越.另外,分数是一个数,同时也表示部分和整体的关系.这一点,小学生较难理解.学生对于分数是一个数的概念较难形成,往往停留在直观图的基础上.
(三)在教学中,应关注学生的学习起点.注意使学生充分利用已有的关于分数的知识和经验,积极主动地参与学习,概括出分数的意义.
【教学目标】
(一)知道单位“1”既可以表示一个物体、一个计量单位,也可以表示一些物体组成的整体.感知不同单位“1”的不同表现形式.
(二)能正确表述分数、分子、分母、分数单位的意义.会用分数表示出图形的部分或数轴上的对应点.会指认分数单位.初步了解分数和所对应的具体量之问的联系
【教学片段1】分数概念的形成①
(一)认识单位“1”
1.请同学用图表示1/4,在小组里交流这样表示的理由(图5—1)
2.学生陈述表示1/4的过程,初步认识单位“1”·
【点评】教师利用学生已有的分数初步知识,放手让学生在一个物体为单位“1”,和一些物体为单位“1’’的不同情景中表不1/4,体会分数概念的本质“平均分”.并着重突破对多个物体组成的单位“1”的理解.通过讨论使学生认识到:
一个物体、一个单位或一些物体,都可以看成整体,把它平均分成几份,而用分数表示其中的一份或几份.
(二)分数的含义
师:
刚才4幅图都是把单位“1”平均分成4份,表示这样的1份,我们都可以用1/4表示.其余的部分可以用什么分数表示?
生:
用3/4来表示.
师:
请说说每一幅图中,3/4表示什么意思?
(学生表述)
师:
如果把单位“1”平均分成7份,表示这样的5份,用什么分数表示?
如果把单位“1”平均分成21份,表示这样的8份,用什么分数表示?
……像这样的分数还能列举吗?
师:
到底什么是分数呢?
你能试着用文字描述一下什么是分数吗?
(指导学生看书,并板书分数的意义)
..【点评】在上述关于分数表示的意义的讨论中,教师注重引导学生抓住分数概念的关键特征:
单位“1”、“平均分”、‘‘这样的一份或几份”.进而抽象、概括出分数概念的本质属性.
师:
我们班男生人数占全班人数的14/25,这个14/25表示什么意思?
谁是单位“1”?
单位“1”被平均分成了几份?
男生人数占这样的几份?
【点评】学生认识分数的意义后,注意让学生弄清楚每一个分数所对应的单位“1”以及什么样的事物可以作为单位“1”而加以平均分.
【教学片段2】分数概念的形成①
以前我们已经学过分数的初步认识,现在请大家仔细观察:
下面把一个物体或一个计量单位平均分成了几份?
其中的一份或几份怎样用分数表示?
(出示糕点图、正方形图、1米长的线段图,边讨论边板书)
我们也可以把许多物体看作一个整体,如一堆苹果、一批玩具、一班学生等.苹果图中,把什么看成一个整体?
把它平均分成几份?
每份是几个苹果?
每份苹果是这个整体的几分之几?
(出示苹果图、熊猫图,边讨论边板书).
将两类图表示的意义进行比较,他们有什么相同点和不同点?
通过讨论使学生认识到:
一个物体、一个单位或一些物体都可以看成整体1,都可以用自然数“1”表示,通常把它叫做单位“1”.它们的相同点在于都表示把各自的单位“1”平均分成若干份,取这样的一份或几份.
根据上面的例子,谁能说一说什么样的数叫做分数?
【点评】本课紧扣教材要求,通过实例的观察、讨论、比较和归纳,明确分数的意义.
【教学片段3】练习
(一)独立作业.(课本练习并反馈.)
1.用分数表示图5—2中的空白部分:
2.指出图5—3直线上a、b、c、d各点各表示几分之几?
【点评】用数轴上的点表示分数,可以让学生直观感受到分数与整数一样也是数.不同的是整数是由若干个1组成,分数是由若干个分数单位组成.从而理解分数的意义以及与整数的联系.
(二)从图5—4中任选一幅图,表示出它的5/6.
【点评】当单位“1”表示一个群体的时候,群体的数量变化,它的部分,即几分之几,所表示的数量也随之起变化.作为抽象的数来看,5/6与5/6是相等的.但在具体问题中,如果它们表示的分别是不同的单位“1”的5/6,那么它们所表示的数量就不一定相等.这是很重要的数学思想,也是学生学习分数时容易产生困惑之处.所以在教学中要注意澄清.
【总评】
(一)本节课涉及单位“1”、“分数的意义”、“分数单位”等几个概念的教学.教师注意遵循概念教学的一般规律,利用能突出概念关键特征的例证,激活学生原有的知识经验,逐步引导学生概括出概念例证中共同的本质属性,形成概念.并在练习中利用变式,促进学生对概念的理解.
(二)小学数学中有很多概念,包括:
数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念以及
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