春浙教版八年级数学下册同步练习微专题八 菱形的判定技巧.docx
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春浙教版八年级数学下册同步练习微专题八菱形的判定技巧
微专题八__菱形的判定技巧__
(教材P123作业题第4题)
已知:
如图1,O是矩形ABCD的对角线的交点.作DE∥AC,CE∥BD,DE,CE相交于点E.求证:
四边形OCED是菱形.
图1
证明:
∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
在矩形ABCD中,AC=BD,OC=OA,OB=OD,
∴OD=OC,∴四边形OCED是菱形.
【思想方法】菱形的判定方法是证明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:
①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.
如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,且AE∥CD.CE∥AB,连结DE交AC于F.
(1)证明:
四边形ADCE是菱形;
(2)试判断BC与线段EF的关系,并说明理由.
图2
解:
(1)证明:
∵AE∥CD,EC∥AD,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵∠ACB=90°,BD=AD,
∴CD=AD=BD,
∴四边形ADCE是菱形;
(2)BC∥EF,BC=2EF.
理由:
∵四边形ADCE是菱形,
∴DE⊥AC,DF=EF,
∴∠DFA=∠ACB=90°,
∴DE∥BC,∵BD=AD,
∴BC=2DF=2EF.
如图3,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点.点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连结MD,AN.
(1)求证:
四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:
①当AM的值为__1__时,四边形AMDN是矩形;
②当AM的值为__2__时,四边形AMDN是菱形.
图3
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,
又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形;
(2)①理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.
∵AM=
AD=1,∠DAM=60°,∴∠AMD=90°,
∴平行四边形AMDN是矩形.
(2)②理由如下:
∵AM=2,∴AM=AD=2,
∵∠DAB=60°,∴△AMD是等边三角形,
∴AM=DM,
∴平行四边形AMDN是菱形.
如图4,在▱ABCD中,E为BC边上的一点,连结AE,BD,且AE=AB.
(1)求证:
∠ABE=∠EAD;
(2)若∠AEB=2∠ADB,求证:
四边形ABCD是菱形.
图4
证明:
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠EAD=∠AEB,又∵AE=AB,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠ABE=∠EAD;
(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,
∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
已知:
如图5,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点,点F,G是边AC的三等分点,DF,EG的延长线相交于点H.
(1)求证:
四边形FBGH是平行四边形;
(2)如果AC平分∠BAH,求证:
四边形ABCH是菱形.
图5
变形4答图
证明:
(1)∵点F,G是边AC的三等分点,
∴AF=FG=GC.
又∵点D是边AB的中点,∴DH∥BG.
同理:
EH∥BF.
∴四边形FBGH是平行四边形;
(2)如答图,连结BH,交AC于点O.
∵四边形FBGH是平行四边形,
∴BO=HO,FO=GO.
又∵AF=FG=GC,
∴AF+FO=GC+GO,即AO=CO.
∴四边形ABCH是平行四边形.
∴AH∥BC,∴∠HAC=∠BCA.
∵AC平分∠BAH,∴∠HAC=∠BAC.
∴∠BAC=∠BCA,∴AB=BC.
又∵四边形ABCH是平行四边形,
∴四边形ABCH是菱形.
如图6,已知四边形ABCD是矩形,对角线AC的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,连结AF,CE,解答下列问题:
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)记AB=a,BF=b,若a,b是方程x2-2(m+1)x+m2+1=0的两根,问当m为何值时,菱形AECF的周长为8
?
图6
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵EF垂直平分AC,
∴AO=CO,FE⊥AC,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(ASA),∴EO=FO,
∴四边形AFCE是平行四边形,
又∵FE⊥AC,∴四边形AECF是菱形;
(2)在△ABF中,∵∠ABF=90°,
∴AB2+BF2=AF2,
∴AF2=a2+b2=(a+b)2-2ab,
由根与系数的关系,得a+b=2(m+1),ab=m2+1,
∴AF2=[2(m+1)]2-2(m2+1)=2m2+8m+2,
∵菱形AECF的周长为8
,∴AF=2
,
∴2m2+8m+2=(2
)2,解得m=1或m=-5,
∵原方程有实数根,则Δ≥0,
∴[-2(m+1)]2-4(m2+1)≥0,解得m≥0,
∴m=-5不合题意,舍去,∴m=1,
即当m=1时,菱形AECF的周长为8
.
如图7,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于点E,F,EH⊥AB于点H,连结FH.求证:
四边形CFHE是菱形.
图7
证明:
∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠HAE.
∵EH⊥AB于点H,∴∠AHE=∠ACE=90°.
在△ACE和△AHE中,
∴△ACE≌△AHE(AAS).∴EC=EH,AC=AH.
在△AFC和△AFH中,
∴△AFC≌△AFH(SAS).∴FC=FH.
∵CD⊥AB于点D,
∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°.
又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE.
∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE.
∴EC=EH=HF=FC.∴四边形CFHE是菱形.
[2018·安顺]如图8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连结CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图8
解:
(1)证明:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.
在△FAE和△BDE中,
∴△FAE≌△BDE.∴AF=DB.
∵AD是BC边上的中线,
∴DB=DC,∴AF=DC;
(2)四边形ADCF是菱形.
证明:
由
(1)知AF綊DC,∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.
∵AD是BC边上的中线,∴AD=BD=CD.
∴四边形ADCF是菱形.
如图9,将等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置,AB与A1C1相交于点D,AC与A1C1,BC1分别交于点E,F.
(1)求证:
△BCF≌△BA1D;
(2)当∠C=α度时,判定四边形A1BCE的形状并说明理由.
图9
解:
(1)证明:
∵△ABC是等腰三角形,
∴AB=BC,∠A=∠C,
∵△A1BC1由等腰三角形ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度得到,
∴A1B=AB=BC,∠A=∠A1=∠C,∠A1BD=∠CBF,
在△BCF与△BA1D中,
∴△BCF≌△BA1D(ASA);
(2)四边形A1BCE是菱形.理由:
∵∠ADE=∠A1DB,∠A=∠A1,
∴∠AED=∠A1BD=α,∴∠DEC=180°-α,
∵∠C=α,∴∠A1=α,
∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α,
∴∠A1=∠C,∠A1BC=∠A1EC,
∴四边形A1BCE是平行四边形,
∵A1B=BC,∴四边形A1BCE是菱形.
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