大学概率习题大全及答案.docx
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大学概率习题大全及答案
第一章随机事件及其概率
第三节事件的关系及运算
选择
1.事件AB表示(C)
(A)
事件A与事件B同时发生
(B)
事件A与事件B都不发生
(C)
事件A与事件B不同时发生
(D)
以上都不对
2.事件代B
,有AB,则AB二(
B)
(A)
A(B)B(C)
AB
(D)AUB
二、填空
1.设A,B,C表示三个随机事件,用A,B,C的关系和运算表示⑴仅A发生为ABC
⑵A,B,C中正好有一件发生为
ABC
ABCABCABC⑶A,B,C中至少有一件发生为
第四节
概率的古典定义
一、选择
1•将数字1、
2、3、4、5写在
5张卡片上,任意取出3张排列成三位数,这个数:
的概率是(B
)
(A)1
(B)
31
(C)(D)
2
5
1010
二、填空
2.把10本书任意放在书架上,求其中指定的
3本书放在一起的概率为
38!
10!
1.从装有3只红球,2只白球的盒子中任意取出两只球,则其中有并且只有一只红球的概
3.为了减少比赛场次,把
20个球队任意分成两组,每组10队进行比赛,则最强的两个队
被分在不同组内的概率为
c2c;810
C2019°
三、简答题
1.将3个球随机地投入
4个盒子中,求下列事件的概率
第1页
(1)A--任意3个盒子中各有一球;
(2)B---任意一个盒子中有3个球;(3)C---任意1个盒子中有2个球,其他任意1个盒子中有1个球。
鉀/八C:
3!
3
解:
(1)P(A)字
48
⑵P(B)号冷
416
(3)P(C)二
c:
c:
c
16
第五节概率加法定理
一、选择
1.设随机事件A和B同时发生时,事件C必发生,则下列式子正确的是(C)
(A)P(C)=P(AB)(B)
P(C)二P(A)P(B)
(C)P(C)_P(A)P(B)-1(D)
P(C)乞P(A)P(B)-1
1
2.已知P(A)二P(B)二P(C)=
4
P(AB)=0,P(AC)=P(BC)
—。
则事件A、
16
B、C全不发生的概率为(B)
23
(A)-(B)-(C)
88
(D)
3.已知事件A、
B满足条件P(AB)二P(AB),且P(A)=p,则P(B)二(A)
(A)1-p(B)p(C)
二、填空
1.从装有4只红球3只白球的盒子中任取
P(D)1-卫
22
3只球,则其中至少有一只红球的概率为
彳C334
1焉(0.97)
C;35
P(AiA2A3)=P(A)P(A2)P(A3)=
212121C9C11'C7C13'C4C16
3
20
=0.671
(2)设事件A表示取出的3件产品中至少有
2件等级相同,那么事件
A表示取出的
3件产品中等级各不相同,则
P(A)=1_P(A=1-
c9c;c:
c2o
=0.779
第六节条件概率、概率乘法定理
一、选择
1.事件代B为两个互不相容事件,且P(A)0,P(B)■0,则必有(B)
(A)P(A)=1-P(B)
(B)
P(A|B)=0
(C)P(A|B)=1
(D)
P(A|B)=1
2.将一枚筛子先后掷两次,设事件
A表示两次出现的点数之和是
10,事件B表小第
出现的点数大于第二次,则
P(BA)二(A
)
1
(A)(B)
3
3.设A、B是两个事件,若
1(C)
4
B发生必然导致
25
(D)
56
A发生,则下列式子中正确的是(A)
(A)P(AB)=P(A)
(B)
P(AB)=P(A)
(C)P(BA)二P(B)
(D)
P(B_A)=P(B)
-P(A)
二、填空
1.已知事件A的概率P(A)=0.5,事件B的概率P(B)=0.6及条件概率P(BA)=0.8,则
和事件AB的概率P(AJB)=2.A,B是两事件,P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B|A)=0.6,贝UP(A|AUB)二15
0.577
26
三、简答题
1.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离便成为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射
第3页
击,这时距离变为200米。
假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率。
解:
设第i次击中的概率为Pj,(i=i,2,3)因为第i次击中的概率Pi与距离di成反比,
k
所以设p=2,3);
由题设,知di=100,pi=0.6,代入上式,得到k=60
再将k=60代入上式,易计算出p^60-0.4,p3=60=0.3
150200
设事件A表示猎人击中动物,事件Bi表示猎人第i次击中动物(i=1,2,3),则所
求概率为:
P(A)=P(BJP(瓦B2)P(BBB3)
=P(BJ+P(B1)P(B2瓦)+P(B?
)P(BZB1)P(B3瓦瓦)
=0.6(1—0.6)0.4(1—0.6)(1—0.4)0.3
=0.832
第七节全概率公式
一、选择
1.袋中有5个球,3个新球,2个旧球,现每次取一个,无放回的取两次,则第二次取到新球的概率为(A)
(A)
(B)
(C)2(D)
4
3
10
2.若随机事件A和B都不发生的概率为
p,则以下结论中正确的是(
(A)A和B都发生的概率等于1-p(B)
A和B只有一个发生的概率等于1-p
(C)A和B至少有一个发生的概率等于
1-p(D)A发生B不发生或B发生A不发生的概
率等于1-p
二、填空
1.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,
则第二次抽出的是次品的概率为-
6
2.老师提出一个问题,甲先回答,答对的概率是0.4;如果甲答错了,就由乙答,乙答
对的概率是0.5;如果甲答对了,就不必乙回答,则这个问题由乙答对的概率为0.3
3.试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有一个答案是正确的。
任一考生
如果会解这道题,则一定能选出正确答案;如果他不会解这道题,则不妨任选一个答案。
若考生会解这道题的概率是0.8,则考生选出正确答案的概率为0.85
三、简答题
1.玻璃杯成箱出售,每箱20只•假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1.
一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员任取一箱,而顾客随机的察看4只,若无残次品
则买下该箱玻璃杯,否则退还.试求顾客买下该箱的概率。
解:
设Ai=“每箱有i只次品”(i=0,12),B二“买下该箱”.
P(B)=P(A°)P(B|A。
)P(AJP(B|AJP(A2)P(B|民)
=0.810.1
Cl49
c2o
0.1
Cl48
Co
0.94
2.一工厂有两个车间,某天一车间生产产品100件,其中15件次品;二车间生产产品50件,其中有10件次品,把产品堆放一起(两车间产品没有区分标志),求:
(1)从该天生
产的产品中随机取一件检查,它是次品的概率;
(2)若已查出该产品是次品,则它是二车
间生产的概率。
解:
(1)设事件“取的产品来自1车间”为A,事件“取的产品来自2车间”为A2,
“从中任取一个是次品”为B,
211
PB[=PB|APAPB|A,PA20.15—0.2
336
P(AB)P(B|A)P(A)2
(2)PA2|B22-
P(B)P(B)5
3•发报台分别以概率0.6及概率0.4发出信号“•”及“-”。
由于通信系统受到干扰,当发出信号“•”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“•”及“-”;又当发出信号“时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“•”。
求:
(1)当收报台收到信号“”时,发报台确系发出信号“”的概率;
(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率。
解:
设事件A表示发报台发出信号
•”,则事件A表示发报台发出信号
设事件B表示收报台收到信号
•”,则事件B表示收报台收到信号
根据题设条件可知:
P(A)=0.6,P(A)=0.4;
P(BA)=0.8,P(B$)=0.1;P(B|A)=0.2,P(B[A)=0.9;
应用贝叶斯公式得所求概率为:
(1)P(AB)=
P(AB)
PW
P(A)P(B|A)
P(A)P(BA)P(A)P(BA)
0.6汉0.8
0.60.80.40.1
=0.923
(2)P(AB)
P(AB)
P(A)P(BA)
0.40.9
P(A)P(BA)P(A)P(BA)
0.40.90.60.2
=0.75
第八节
随机事件的独立性
、选择
1.设P(A)=0.8,P(B)=0.7,
P(AB)=0.8,则下列结论正确的是(C)
(A)
事件A与B互不相容(B)
(C)
事件A与B互相独立(D)
P(AB)=P(A)P(B)
2.设A、B是两个相互独立的随机事件,P(A)P(B)0,则P(ABH(B)
(A)P(A)P(B)
(B)
1-P(A)P(B)
(C)1P(A)P(B)
(D)
1-P(AB)
、填空
1.设A与B为两相互独立的事件,P(AB)=0.6,P(A)=0.4,则P(B)』
3_
2.加工某一零件共需经过三道工序。
设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%3%
5%假定各道工序是互不影响的,则加工出来的零件的次品率是0.09693
三、简答题
1.一个工人看管三台车床,在一小时内车床不需要工人看管的概率:
第一台等于0.9,第
二台等于0.8,第三台等于0.7。
求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人看管的概率。
解:
设事件Ai表示第i台车床不需要照管,事件A表示第i台车床需要照管,(i=1,2,3),
根据题设条件可知:
P(AJ=0.9,P(AJ=0.1
P(A2)=0.8,P(A2)=0.2
Pg=0.7,P(A;)=0.3
设所求事件为b,贝yp(b)二p(aa2A3aa2a3aA2a,a,a,A3)
根据事件的独立性和互不相容事件的关系,得到:
P(B)二P(A)P(A2)P(A3)P(A;)P(A2)P(A3)
p(a1)p(A;)p(a3)P(A1)P(A2)P(A;)
=0.90.80.70.10.80.70.90.20.70.90.80.3=0.902
2.如下图所示,设构成系统的每个电子元件的可靠性都是p(0
正常工作是相互独立的,求系统
(1)和
(2)的可靠性。
(1)
(2)解:
(1)p3(2-p3);
(2)(2p-p2)3
第九节独立试验序列
一、选择
1.每次试验成功率为p(0:
:
:
p<1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的
概率为(B)
(A)Ci40p4(1-p)6(B)C;p4(1-p)6(C)C;p4(1-p)5(D)C;p3(1-p)6
二、填空
1.某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875,则这射手在一次射击中命中的概率
为0.5
2.设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等.若已知事件A至少出现一次的概率等于
19
则事件A在一次试验中出现的概率为13
27
三、简答题
1.射击运动中,一次射击最多能得10环。
设某运动员在一次射击中得10环的概率为0.4,
得9环的概率为0.3,得8环的概率为0.2,求该运动员在五次独立的射击中得到不少于
第7页
48环的概率。
解:
设事件A表示5次射击不少于48环,事件A表示5次射击每次均中10环,事件A2表示5次射击一次中9环,4次中10环,事件A表示5次射击2次中9环,3次中10环,
事件A4表示5次射击一次中8环,4次中10环,并且A,A2,Aq,A4两两互不相容,由于
每次射击是相互独立的,
则所求概率P(A)
=P(AJ八P(Ai)
i4iz4
=(0.4)5+c5(0.3y(0.4)4+C;(0.3)2(0.4)3+C;(0.2)1(0.4)4
0.1318
第二章随机变量及其分布
第二节离散随机变量
、选择
1设离散随机变量
X的分布律为:
p{x
=k}=b,,(k=1,2,3,),
且b-0,则■为(
(C)
(A)•・0的任意实数
b-1
因为》P{X=k}=Wb^k=1
Sn—bI)
k=1
k=1
k=1
所以
lim.Sn=limb•(1_)=1
于是可知,当人<1时,b=1
1-九
:
:
:
1,(因b0)所以应选(C).
、填空
1如果随机变量X的分布律如下所示,则C=
概率论与数理统计标准作业纸
班级
学号
姓名
1
1
1
1
P-
C
2C
3C
4C
3
解根据'、P(Xi)=1
刁曰・
得:
C
25
为卫
12
41
2进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为-,失败的概率为-,将试验进
55
行到出现一次成功为止,以X表示所需试验次数,则X的分布律是
.(此时称X服从参数为p的几何分布).
解:
X的可能取值为1,2,3,汶二Ki第1~K-1次失败,第K次成功
所以X的分布律为P「X=^-
(1)KJ4,K=1,2,
55
三、简答
1一个袋子中有5个球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的
3个球中的最大号码,试求X的概率分布.
解X的可能取值为3,4,5.
1,2,3,只有一种取法,所以
事件{X=3},只能是取出的3只球号码分布为
P{X-3}=
1
C5
10
事件{X=4},意味着3只球中最大号码是
4,另外2个号码可在1,2,3中任取
2只,共有C;种取法,故
P{X
=4}
10
事件{X=5},意味着3只球中最大号码是
2只,共有C;=6种取法,故
P{X=5}二Cf—
C55
从而,X的概率分布是
5,另外2个号码可在1,2,,4中任取
X
3
4
5
P
丄
3
3
10
10
5
2一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有绿路灯信号的路口,每个信号灯为红和绿与其他信号为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数,求X的概率分布•
解由题设知X的可能值为0,1,2,3,设A(i=123)表示"汽车在第i个路口首次
遇到红灯",A,A2,A3相互独立,且P(A)二卩国)冷于是
1--1
P{X詢=p(a)匕P{X=1}=p(AA2)=p(a)p(A2)=戸
P{X=2}二P(AA2A3)=P(A)P(A2)P(A3)弓
P{X7十(人入2入3)=P(A)P(A2)P(A3)=戸
故分布律为
123
11
222323
第三节
泊松分布
超几何分布二项分布
一、选择
1甲在三次射击中至少命中一次的概率为0.936,则甲在一次射击中命中的概率
P=•
(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.6
解:
D
设X二”三次射击中命中目标的次数”,则X~B(3,p),
已知P(X-1)“—P(X=0)=1-(1—p)3=0.936,
解之得(1-p)3=0.064二1-p=0.4二p=0.6
2设随机变量X~b(2,p),Y~b(3,p),若P&>^=5,则p2畠
9
(A)
(B)29
19
(C)27
(D)
设X工”三次射击中命中目标的次数”,则X~B(3,p),
已知P(X_1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.936,
解之得(1—p)3=0.064二1-p=0.4二p=0.6
二、填空
1设离散随机变量X服从泊松分布,并且已知P「X=1,P「X=21
则p{x=4^.
解:
D
设X三次射击中命中目标的次数”,则X~B(3,p),
已知P(X-1)=1-P(X=0)=1-(1-p)3=0.936,
解之得(1~■p)3=0.064=1—p=0.4=p=0.6
简答
1.某地区的月降水量X(单位:
mm服从正态分布N(40,42),试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm勺概率.
解:
设A=“某月降水量不超过50mm”
P(A)=P(x乞50)=P(岂50一4°)=(2.5)=0.9938
44
观察10个月该地区降水量是否超过50mm,相当做10天贝努利试验设Y=“该地区降水量不超过50mm的月数”,贝VY〜B(10,0.9938)
P(Y=10)=0.993810=0.9396
2某地区一个月内发生交通事故的次数X服从参数为■的泊松分布,即
X~P(■),据统计资料知,一个月内发生8次交通事故的概率是发生10次交通
事故的概率的2.5倍.
(1)求1个月内发生8次、10次交通事故的概率;
(2)
求1个月内至少发生1次交通事故的概率;
(3)
求1个月内至少发生2次交通事故的概率;
这是泊松分布的应用问题X~P(),P{X=k}
■ke
一丸
0,1,2,.
这里■是未知的,关键是求出■.
据题意有P{X=8}=2.5P{X=1C}
■8e」亠
一人
2.5
8!
10!
解出'2=36,■=6
8.610.6
6e6e
⑴P{X-8}0.1033P{X-10}:
&10!
(2)P{X=0}=e二e」0:
0.00248
P{X_1}=1-P{X=0}:
1-0.00248:
0.9975⑶P{X=1}=6e“0.01487
62e上
P{X=2}0.04462
2!
P{X乞2}=P{X=0}P{X=1}P{X=2}
:
0.002480.014870.04462:
0.0620
:
0.0413
第五节随机变量的分布函数
填空题
1
1则X的分布函数为
2」
解当x:
:
:
-1时,F(x)二P{X乞x}二0;
1当一1ZX:
:
:
0时,F(x)二P{X 3 111当0EX: : : 1时,F(x)二P{Xex}; 362 111当x_1时,F(x)=P{X空x}1 362 整理,得 选择 0, 1 F(x)=t3 1 2 1, 当x一1 当一1乞x: : : 0 当0乞x: : 1 当x_1 1设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使 ,在下列给定的数值中应取 F(x)二aFjx)-bF2(x)是某一变量的分布函数(A)a=3,b=—2(B)a=2,b=Z(C)a=—」,b=3(D)a二丄,b= 55332222 分析根据分布函数的性质: limF(x)=1,因此有 xt讼 町卩⑴“虬务)—by映/2(x)即1b故应选(A). …数F(x)」: /2, 1, x: : 0 0Ex: : 1.则F(x) (A)是随机变量的分布函数 (B)不是随机变量的分布函数 (C)是离散型随机变量的分布函数.(D)是连续型随机变量的分布函数 解: A 显然F(x)满足随机变量分布函数的三个条件 (1)F(x)是不减函数 (2)0乞F(x)乞1,且F(—: : )=0,F(: : )=1 F(x0)=F(x) Qx兰(*) 2 x 3.设F(x),(*): : x: : 2当(*)取下列何值时,F(x)是随机变量的分布函 I4 1,x_2 数• (A)0(B)0.5(C)1.0(D)1.5 解: A只有A使F(X)满足作为随机变量分布函数的三个条件 三•简答 1设随机变量X的分布函数为F(x)二A•Barctanx,求A,B的值• 解: 由随机变量分布函数的性质 limF(x)=0. x_• limF(x)=1.知 0pim: : F(x)pim: : (ABarcta(n=AB(石) 兀 =AB. 2 jiji Barctanx)=ABAB. 22 Tt A_—B=0 2 解< Ji A+—B=1 L.2 第六节连续随机变量的概率密度 选择 1.设f(x)、F(x)分别表示随机变量X的密度函数和分布函数,下列选项中错误的是 (A)0_f(x)_1(B)0_F(x)_1 : : ' (C)f(x)dx=1(D)f(x)=F(x) *□00 2.下列函数中,可为随机变量 X的密度函数的是(B) (A) 「sinx, ◎I, 其它 (B) f(X)二 sinx, .0- JT 0_x_— 2 其它 3兀 0二x二 2 其它 Isinx, (C)f(x)= 【0, 二、填空 1.设连续随机变量X的分布函数为 11 F(X)arctanx,-二: : x: : : : 2兀 (D)f(x)=sinx, : : : x: : -: : (1)P(一仁X辽1)=0.5 (2)概率密度 f(X)_二(x21)' 三、简答题1.设随机变量X的概率密度 f(x) Ax2e", 0, 求: (1)常数A; (2)概率P(X_1)。 1 答案 (1)— (2)0.9197 2 2.设随机变量X的概率密度 'c+x,—1乞x兰0
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