相似三角形的判定导学案共4课时.docx
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相似三角形的判定导学案共4课时
相似三角形的判定导学案(共4课时)
相似三角形的判定
(一)
教学目的:
(1)会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△
;
(2)知道当△ABC与△
的相似比为k时,△
与△ABC的相似比为1/k.
(3)理解掌握平行线分线段成比例定理
重点、难点
教学重点:
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用.
教学难点:
掌握平行线分线段成比例定理应用.
一、知识链接
1、相似多边形的主要特征是什么?
2、相似三角形有什么性质?
二合作探究
1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形.
在△ABC与△A′B′C′中,
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
.
我们就说△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,k就是它们的相似比.
反之如果△ABC∽△A′B′C′,
则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,且
.
2)问题:
如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?
明确
(1)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形。
(2)用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△
;
(3)当△ABC与△
的相似比为k时,△
与△ABC的相似比为1/k.
3)活动1(教材P40页探究1)
(1)如图27.2-1),任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?
任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?
(2)问题,AB︰AC=DE︰(),BC︰AC=()︰DF.强调“对应线段的比是否相等”
(3)归纳总结:
平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线,所得的________线段的比________。
应重点关注:
平行线分线段成比例定理中相比线段同线;
4)例1如图、若AB=3cm,BC=5cm,EK=4cm,写出
==_____、
=______。
求FK的长?
4)活动2平行线分线段成比例定理推论
思考:
1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交,交点A刚落到l3上,如图27.2-2
(1),,所得的对应线段的比会相等吗?
依据是什么?
2、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交,交点A刚落到l4上,如图27.2-2
(2),所得的对应线段的比会相等吗?
依据是什么?
3、归纳总结:
平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线),所得的_______线段的比_________.
三.练习巩固
如图,在△ABC中,DE∥BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.
四.小结巩固
(1)谈谈本节课你有哪些收获.“三角形相似的预备定理”.这个定理揭示了有三角形一边的平行线,必构成相似三角形,因此在三角形相似的解题中,常作平行线构造三角形与已知三角形相似.
(2)相似比是带有顺序性和对应性的:
如△ABC∽△A′B′C′的相似比
,那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是
,它们的关系是互为倒数.
五、当堂检测
1.如图,△ABC∽△AED,其中DE∥BC,找出对应角并写出对应边的比例式.
2.如图,△ABC∽△AED,其中∠ADE=∠B,找出对应角并写出对应边的比例式.
3、已知:
梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,AE=FC,
,
,求:
AE的长。
相似三角形的判定
(二)
一、学习目标
1.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程.
2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.
二、重点、难点
1.重点:
相似三角形的定义与三角形相似的预备定理.
2.难点:
三角形相似的预备定理的应用.
三知识链接
(1)相似多边形的主要特征是什么?
(2)平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么?
(3)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形.
在△ABC与△A′B′C′中,
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
.
我们就说△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,k就是它们的相似比.
反之如果△ABC∽△A′B′C′,
则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
.
(4)问题:
如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?
四、探索新知.
1问题:
如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系?
边呢?
2、思考如图27.2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E。
问题:
(1)△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗?
为什么?
(2)△ADE与△ABC满足对应边成比例吗?
由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等?
(3)根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去?
(作辅助线EF∥AB)
你能证明AE:
AC=DE:
BC吗?
(4)写出△ABC∽△ADE的证明过程。
(5)、归纳总结:
判定三角形相似的(预备)定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所成的三角形与原来三角形相似。
五、例题讲解
例1(补充)如图△ABC∽△DCA,AD∥BC,∠B=∠DCA.
(1)写出对应边的比例式;
(2)写出所有相等的角;
(3)若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.
分析:
可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素.对于(3)可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长.
解:
例2(补充)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,求DE的长.
分析:
由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,再由相似三角形的性质,有
,又由AD=EC可求出AD的长,再根据
求出DE的长.
解:
六、课堂练习
1.(选择)下列各组三角形一定相似的是()
A.两个直角三角形B.两个钝角三角形
C.两个等腰三角形D.两个等边三角形
2.(选择)如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
3、如图,AB∥EF∥CD,图中共有对相似三角形,写出来并说明理由;
4.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE:
EA=2:
3,EF=4,求CD的长.
七、当堂检测
1.如图,△ABC∽△AED,其中DE∥BC,写出对应边的比例式.
2.如图,△ABC∽△AED,其中∠ADE=∠B,写出对应边的比例式.
3.如图,DE∥BC,
(1)如果AD=2,DB=3,求DE:
BC的值;
(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长.
4、如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)
相似三角形的判定(三)
一、学习目标:
(1)初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法,以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.
(2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
重点、难点
学习重点:
掌握两种判定方法,会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点:
(1)三角形相似的条件归纳、证明;
(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.
二.知识链接
(1)两个三角形全等有哪些判定方法?
(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(3)相似三角形与全等三角形有怎样的关系?
二、探索新知
探讨问题:
1、如图,如果要判定△ABC与△A’B’C’相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法,能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等,来判定两个三角形相似呢?
3、探究2
任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?
这两个三角形相似吗?
与同学交流一下,看看是否有同样的结论。
(1)问题:
怎样证明这个命题是正确的呢?
(2)探求证明方法.(已知、求证、证明)
如图27.2-4,在△ABC和△A′B′C′中,
,
求证△ABC∽△A′B′C′证明:
4【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
5、探讨问题:
可否用类似于判定三角形全等的SAS方法,能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等,来判定两个三角形相似呢?
(画图,自主展开探究活动)
6【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等,且它们的夹角相等,那么这两个三角形相似.
三、例题讲解
解:
归纳分析:
判定两个三角形是否相似,可以根据已知条件,画草图,看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中,对于
(1)由于是已知一对对应角相等及四条边长,因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”,对于
(2)给的几个条件全是边,因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可,其方法是通过计算成比例的线段得到对应边.
例2(补充)已知:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=
,求AD的长.
分析:
由已知一对对应角相等及四条边长,猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明.计算得出
,结合∠B=∠ACD,证明△ABC∽△DCA,再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式
,从而求出AD的长.
解:
四、课堂练习
1.如果在△ABC中∠B=30°,AB=5㎝,AC=4㎝,在△A’B’C’中,∠B’=30°A’B’=10㎝,A’C’=8㎝,这两个三角形一定相似吗?
试着画一画、看一看?
2.如图,△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,求证:
△ABC∽△DEF.
五、回顾与反思.
(1)谈谈本节课你有哪些收获.
六当堂检测
1.如图,AB•AC=AD•AE,且∠1=∠2,求证:
△ABC∽△AED.
2.已知:
如图,P为△ABC中线AD上的一点,且BD2=PD•AD,求证:
△ADC∽△CDP.
相似三角形的判定(四)
一、学习目标
1.掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
二、重点、难点
1.重点:
三角形相似的判定方法3——“两角对应相等,两个三角形相似”
2.难点:
三角形相似的判定方法3的运用.
三、知识链接
(1)我们已学习过哪些判定三角形相似的方法?
(2)如图,△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD•AB,那么△ACD与△ABC相似吗?
说说你的理由.
(3)如
(2)题图,△ABC中,点D在AB上,如果∠ACD=∠B,那么△ACD与△ABC相似吗?
(4)【归纳】
三角形相似的判定方法3
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
四、例题讲解
例1(教材P48例2).弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:
PAPB=PCPD
分析:
要证PA•PB=PC•PD,需要证
,则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似.由于所给的条件是圆中的两条相交弦,故需要先作辅助线构造三角形,然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等,再由三角形相似的判定方法3,可得两三角形相似.
例2(补充)已知:
如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长.
分析:
要求的是线段DF的长,观察图形,我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中,因此只要证明这两个三角形相似,再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例,从而求得DF的长.由于这两个三角形都是直角三角形,故有一对直角相等,再找出另一对角对应相等,即可用“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似.
五、课堂练习
1、填一填
(1)如图3,点D在AB上,当∠=∠时,
△ACD∽△ABC。
(2)如图4,已知点E在AC上,若点D在AB上,则满足
条件,就可以使△ADE与原△ABC相似。
2.已知:
如图,∠1=∠2=∠3,求证:
△ABC∽△ADE.
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.
4.下列说法是否正确,并说明理由.
(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形;
(2)有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.
六、作业
1、图1中DE∥FG∥BC,找出图中所有的相似三角形。
2、图2中AB∥CD∥EF,找出图中所有的相似三角形。
3、在△ABC和△A′B′C′中,如果∠A=80°,∠C=60°,∠A′=80°,∠B′=40°,那么这两个三角形是否相似?
为什么?
4、已知:
如图,△ABC的高AD、BE交于点F.求证:
.
5.已知:
如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
(1)求证:
AC•BC=BE•CD;
(2)若CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.
6.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点,若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°求证:
AD·AB=AE·AC
7、如图:
在Rt△ABC中,∠ABC=900,BD⊥AC于D,若E是BC中点,ED的延长线交BA的延长线于F,
求证:
AB:
BC=DF:
BF
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