公交线路的选择问题B王超 王辉 王波.docx
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公交线路的选择问题B王超王辉王波
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
解放军信息工程大学信息工程学院
参赛队员(打印并签名):
1.王超
2.王辉
3.王波
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
日期:
2007年9月24日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
公交线路的选择问题
摘要
本文首先调查研究查询者的不同需求,建立多目标规划数学模型,并通过约束法求解非劣解,得出在不同需求下公交线路的最佳选择方案,并针对不同人群的需求进行了评价分析。
然后通过对公交线路网络的拓展,做出了含有地铁在内的线路选择方案与评价分析。
最后通过对结果的分析和对搜索过程的分析,分别对问题一模型进行了改进,得出了加入步行时间后的模型。
在问题一中,考虑到三个目标(换乘次数最少,乘车时间最短,乘车花费最少)对线路的影响,利用多目标规划进行线路的选择。
又因为目标之间存在矛盾性,多目标规划最优解的求解是很困难的。
故我们采用约束法,求出在换乘次数的约束下,其余目标最优的所有线路的非劣解。
而约束法的具体实现,是通过起始站点与终止站点沿线路逼近的算法实现的。
即通过对站点集合、线路集族进行相交遍历,然后把集合间和集族间的交点作为换乘点和中间线路,最后通过搜索求解出最优线路。
得到了最优线路如表
(2)-表(7)所示,并针对不同人群做出了评价分析。
问题二中,将地铁线路看为近似公交线路,并将其转换后利用问题一中的算法进行求解。
得到了最优线路如表(8)-表(13)所示,并对求解结果进行了分析说明。
问题三中,因为各不同站点之间的步行时间无法加入到公交网络中,则要对问题一的算法进行改进,为此提出了如下两个优化模型:
模型1:
改进结果的优化模型。
对问题一、二的结果进行分析并考虑时间复杂度后,发现有起点与换乘点、换乘点与终点、两换乘点之间是紧邻的现象,用步行代替乘车,将替换后的结果与其他线路进行比较,从而能得到改进的最优线路。
模型2:
改进搜索过程的优化模型。
考虑到最优解的完备性方面,将该站点紧邻的站点进行合并,作为一个区域,认为在该区域内可以任意步行到达,再将该区域作为一个站点来求得线路的最优解。
最后并对模型进行了分析说明。
关键词:
多目标规划约束法集合集族相交搜索法
一、问题的重述
我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行,届时有大量观众到现场观看奥运比赛,其中大部分人将会乘坐公共交通工具(简称公交,包括公汽、地铁等)出行。
这些年来,城市的公交系统有了很大发展,北京市的公交线路已达800条以上,使得公众的出行更加通畅、便利,但同时也面临多条线路的选择问题。
针对市场需求,某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。
为了设计这样一个系统,其核心是线路选择的模型与算法,应该从实际情况出发考虑,满足查询者的各种不同需求。
请你们解决如下问题:
1、仅考虑公汽线路,给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。
并根据附录数据,利用你们的模型与算法,求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线(要有清晰的评价说明)。
(1)、S3359→S1828
(2)、S1557→S0481(3)、S0971→S0485
(4)、S0008→S0073(5)、S0148→S0485(6)、S0087→S3676
2、同时考虑公汽与地铁线路,解决以上问题。
3、假设又知道所有站点之间的步行时间,请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。
二、问题的分析
问题一
题目中涉及到的公交线路很多,乘客从起点到达终点的路径会不唯一,一般来说存在多条路径,但每一条路径所花时间,车费等属性是不一样的;另外现实中存在从起程点到目地点不能直达的现象,需要经过一次或多次的换乘。
也就是说乘客选择不同线路的代价是不同的。
通常情况下,乘客当然想选择换车次数少,行程时间少,车费少的线路。
可是实际上很少有一条绝对理想的线路,这些因素之间存在矛盾,这使得选择绝对最佳线路存在困难。
现实中不同人对各因素有不同偏好,而且同一个人在不同情况对同一路线的满意度也是不同的,对时间,车费,换车次数很难具体量化比较。
然而现实中对某一人在某一情况下总会存在一条让他最满意的线路,因此考虑求出一系列的非劣解方案以供选择。
针对这个问题,可以考虑采用多目标规划来解决,目标是上述三个因素,方案集是所有可行线路。
但是多目标规划的最优解很难求得,对于本问题而言,也不是特别必要求解出来,因为查询系统要满足不同查询者的需求。
因此寻找非劣解就是一种比较符合现实的求解策略。
换乘次数对于顾客来说是个重要的指标,故我们将换乘次数作为约束,时间花费和金钱花费为目标函数,求解非劣解。
非劣解的具体算法实现可以是最短路算法,也可以是路由算法,为了能够简明地表达问题,又依据所有数据的特点,考虑采用集合的相交方法。
问题二
问题二描述的问题是在第一问的前提下加入地铁的线路,其实地铁线路和公交线路的区别就在于地铁线路一次乘坐无论多远花费固定,其他性质与公交线路基本一致。
那么只要将地铁线路作为公交线路,然后加入到已有的公交线路网中,对模型进行化简。
问题的关键就在于增加公交线路和增加公交站点问题,处理方法为将地铁站点与其附近的汽车站点放在一起,形成新的公交线路加入到问题一的路线集合中。
此问题的求解模型只是在第一问的基础上扩大了规模,规模扩大的程度应该不会太大,算法复杂度不会明显增加。
故考虑在第一问的基础上进行求解。
问题三
问题三中将步行时间加入到公交网络中,因为公交线路具有有向性的特点,而步行时间是每个站点到其余站点之间的无向权值,无法将其加入到公交网络中。
所以本文将步行时间的加入当作一种策略,来对最优线路进行改进和选择。
通过对分析,线路中会有起点与换乘点、换乘点与终点、两换乘点之间是紧邻的现象,于是考虑到人们步行的距离不会太远的心理,对结果进行调整。
即:
当上述三种情况发生时,那两点之间用步行代替,然后再将代替后的线路重新加入到可行线路中比较,直至不会出现上述情况为止。
因为这种改进是对出来的结果进行分析的,会忽略了最优解的局限性。
故我们对其搜索的过程进行改进,改进依据就是将某一站的所有紧邻站点作为一个新的站点,然后这些站点之间可通过步行任意到达,然后基于第一问的算法进行求解,求解过程中经过某一点线路就是经过它的所有紧邻点的线路。
这样线路的最优解就是在全局的基础上得来的,不会出现局限性。
三、模型的假设及说明
1、假设题中基本参数设置可用。
2、假设不考虑乘客对线路的倾向性选择。
3、假设不考虑公交车线路的流量,畅通程度等其他变化因素的影响。
四、符号的说明
:
经过起点s的某条线路
:
经过终点e的某条线路
:
经过起点s的所有线路组成的集族
:
经过终点e的所有线路组成的集族
:
一次换乘站点
:
与含起点站线路相交的换乘站点
:
与含终点站线路相交的换乘站点
:
起点到终点的线路
:
起点到终点的站点数
五、模型的建立与求解
5.1问题1模型的建立与求解
5.1.1多目标规划模型
人们对于一个公交线路的选择来说,影响人们对公交线路选择的三个重要的因素:
(1)方便性:
到达目的地所需要换车的次数
(2)时间性:
到达目的地所需要的时间
(3)经济性:
到达目的地所需要的花费
那么我们针对问题多个目标,我们利用多目标规划来进行。
设换乘次数、所需要花费的时间、所需要的花费分别为这3个目标函数
。
于是可以将多目标规划表示为:
其中
代表的是实现可行线路的站点集合。
5.1.2非劣解的求解
由于这三个目标存在矛盾性和目标间的不公度性,故不存在通常意义下的最优解。
故我们通过采用约束法求解非劣解来代替问题的最优解。
非劣解可以通过约束法求解得出。
它是一种常见的直观方法。
对于多目标规划问题,首先根据决策人的偏好任意选择一个目标作为其约束条件,另外的目标作为目标函数,由此求出解就是非劣解。
那么此规划模型可以表示为:
此表达式是指当换乘次数为0次、1次、2次时,以时间花费和金钱花费为目标函数,求得的非劣解。
可以表示为:
(一)
时:
(二)
时:
(三)
时:
式中
代表换乘时线路的第
个分段花费。
上述规划模型的实现可以通过一种基于集合的算法来求得最佳线路。
(1)集合算法的准备
通过一种基于集合的运算操作来实现这种带约束的多目标规划的非劣解。
这是一种搜索遍历的算法,是对所有集合的元素空间一一进行比对搜索,得出的结果全空间最优。
具体描述如下:
将要考察的起点和终点记为s和e,以线路上的每个站点作为元素,则一条线路在不考虑站点次序的情况下可以用集合表示。
将经过起点s的某条线路记为
,
;
将经过终点e的某条线路记为
,
。
记经过起点s的所有线路组成的集族为
,经过终点e的所有线路组成的集族为
。
对应于实际情况,若
,表明有线路可以从s到达e而不需要换乘。
若存在
使得
,则表明可以经过一次换乘从s到达e。
对另外一条线路A,
,若
且
,则表明可以经过两次换乘从s到达e。
(2)集合算法的实现
根据社会的心理调查可知:
在公交网络中,乘客不会为了寻找距离最短路径而随意换车。
因为从一条线路换乘到另一条线路是费时又费力的。
所以对于公交乘客来说,最优路径的意义并不在于路程是否最短,而在于换乘的次数要最少,因为换乘次数的增多会带来很多不可预测的时间等待和意外事件。
故我们选择以最小换乘次数为约束的非劣解求解。
故算法的步骤为:
1)输入乘公交的起始站和终点站s和e;
2)若
,表明有线路可以从s到达e而不需要换乘。
输出
如果
,继续往下执行。
3)若存在
使得
,则表明可以经过一次换乘从s到达e,而且其中
作为一次换乘站点,然后计算出所有能够进行一次换乘的线路中最少花费的线路
,输出结果;
若
,继续往下执行。
4)对另外一条线路A,
,若
且
,则表明可以经过两次换乘从s到达e。
,
就是换乘站点,然后计算所有换乘路线中最少花费的线路
,输出结果;
如果
或
,继续往下执行。
5)一直到求解出所有结果,算法停止。
5.1.3问题1的求解
此算法首先要确定换乘的次数的上界
,然后以最小换乘为约束条件,按换乘次数的递增进行最优搜索,算法一定在小于
的范围里找着很多可行路径,而且在这些路径中能找到最佳线路。
(1)数据的预处理
问题一中涉及到的只有公交网,网络较为简单,主要是由站点和线路组成。
而且线路包含站点,故我们对此网络采用集合来存储每条线路的信息。
对题中所有线路采用单行线路集合
来存储,即
代表公交线路,
代表第
条线路所经过的点。
(2)换乘的次数的上界
的分析
对于一个理想的城市公交系统,换乘次数1次和2次居多,换乘次数的多少影响到算法的时间复杂度,又根据实际的数据表一[3]可以看出换乘次数集中在1次和2次范围内,故我们选取换乘次数的上界
。
表
(1):
公交换乘次数的人数的百分比
换乘次数
0次
1次
2次
3次以上
占总数百分比
7.17%
53.38%
38.07%
1.37%
(3)结果评价分析
利用逐步优化的模型,经过MATLAB编程,可得到每对起讫点的所有局部最优路径。
如下表所示.
1)S3359→S1828最佳线路
表
(2):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L436→S1784→L167
101
3
34
②
1
L436→S1784→L217
101
3
34
③
2
L351→S2903→L366→S1790→L041
73
3
24
线路①②换乘次数最小,适合喜好方便的人选择,如老人,有货物在身的人等。
线路③时间花费最小,适合赶时间的人群选择,如上班族,学生,赴约等。
2)S1557→S0481最佳线路
表(3):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
2
L084→S1919→L189→S3186→L460
106
3
35
②
2
L084→S1919→L189→S3186→L460
106
3
35
线路①②适合所有人群。
3)S0971→S0485最佳线路
表(4):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L013→S2184→L417
128
4
43
②
2
L094→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
③
2
L013→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
④
2
L119→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
⑤
2
L024→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
⑥
2
L263→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
线路①换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路②③④⑤⑥时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
4)S0008→S0073最佳线路
表(5):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L463→S2083→L057
83
2
28
②
1
L159→(S2683,S0291)→L058
83
2
28
③
1
L159→(S0400,S2633,S3053)→L474
83
2
28
④
1
L355→(S3917,S2303)→L057
83
2
28
⑤
2
L198→S3766→L296→S2184→L345
67
3
22
线路①②③④换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路⑤时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
5)S0148→S0485最佳线路
表(6):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
2
L308→S0036→L156→S2210→L417
106
3
35
②
2
L308→S0036→L156→S3332→L417
106
3
35
③
2
L308→S0036→L156→S2210→L417
106
3
35
④
2
L308→S0036→L156→S3332→L417
106
3
35
线路①②③④适合所有人群。
6)S0087→S3676最佳线路
表(7):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L454→S3496→L209
65
2
22
②
2
L454→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
③
2
L454→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
④
2
L206→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
⑤
2
L206→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
⑥
2
L021→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
⑦
2
L021→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
线路①换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路②③④⑤⑥⑦时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
因为这种非劣解有很多,当线路有很多选择时,可以从中随机选择,那么对与整个公交系统来说,会缓解公交压力。
误差来源:
因为在非劣解求解过程当中,我们限定了换乘次数,在这些线路当中可能会存在全局的最优解,所以不可避免地会使得最后结果出现误差。
但是这种误差出现人们还是会接受的,因为换乘次数太多会带来给人们带来很大的不便利,故人们会放弃对时间和金钱的最小的追求所带来的换乘次数的增加,人们还是接受把换乘次数限定在2次之内的,所以这种忽略并不会产生很大误差。
换乘次数对模型的影响:
由于该算法是一个遍历搜索算法,时间复杂度为
,其中
为公交系统的总共线路数量。
可以知道,换乘次数的线性增长会导致时间复杂度成指数增长,普通计算机实现会比较困难。
而且对于大于三次以上的换乘次数在实际生活中难以发生。
故两次的假设上限是较为科学的。
5.2问题2的模型建立与求解
问题二是在问题一的基础上增加了地铁网,这样将地铁网的线路融入在公交网中从而形成新网络,其实质就是在公交网中增加了两条线路,线路上的站点就是地铁线路的站点和临近的站点。
根据题中附件中给出的数据,可以将地铁线路添加到单行线路集合
中。
将地铁线路的站点作为公交站点添加到公交网络中,统一作为公交网络。
故此问题的多目标规划模型可以表示为:
(一)
时:
(二)
时:
(三)
时:
式中
,
,
分别为起点与第一换乘点、第一换乘点与第二换乘点、第二换乘点与终点之间的站点数。
由问题一的算法,增加地铁网后的最佳线路选择可由问题一模型求解得出结果,如表所示:
1)S3359→S1828最佳线路
表(8):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L436→S1784→L167
101
3
34
②
1
L436→S1784→L217
101
3
34
③
2
L351→S2903→L366→S1790→L041
73
3
24
线路①②换乘次数最小,适合喜好方便的人选择,如老人,有货物在身的人等。
线路③时间花费最小,适合赶时间的人群选择,如上班族,学生,赴约等。
2)S1557→S0481最佳线路
表(9):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
2
L084→S1919→L189→S3186→L460
106
3
35
②
2
L084→S1919→L189→S3186→L460
106
3
35
线路①②适合所有人群。
3)S0971→S0485最佳线路
表(10):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L013→S2184→L417
128
4
43
②
2
L094→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
③
2
L013→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
④
2
L119→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
⑤
2
L024→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
⑥
2
L263→S1609→L140→S2654→L469
106
4
35
线路①换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路②③④⑤⑥时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
4)S0008→S0073最佳线路
表(11):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L463→S2083→L057
83
2
28
②
1
L159→(S2683,S0291)→L058
83
2
28
③
1
L159→(S0400,S2633,S3053)→L474
83
2
28
④
1
L355→(S3917,S2303)→L057
83
2
28
⑤
2
L198→S3766→L296→S2184→L345
67
3
22
线路①②③④换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路⑤时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
5)S0148→S0485最佳线路
表(12):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
2
L308→S0036→L156→S2210→L417
106
3
35
②
2
L308→S0036→L156→S3332→L417
106
3
35
③
2
L308→S0036→L156→S2210→L417
106
3
35
④
2
L308→S0036→L156→S3332→L417
106
3
35
线路①②③④适合所有人群。
6)S0087→S3676最佳线路
表(13):
最佳线路
编号
换乘次数
线路
时间
花费
站点
①
1
L454→S3496→L209
65
2
22
②
2
L454→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
③
2
L454→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
④
2
L206→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
⑤
2
L206→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
⑥
2
L021→S0088→L231→S0427→L907
46
3
15
⑦
2
L021→S0088→L231→S0427→L462
46
3
15
线路①换乘次数最小,适合喜好方便的人选择。
线路②③④⑤⑥⑦时间花费最小,适合赶时间的人群选择。
5.2.1结果的分析
比较问题
(1)和问题
(2)的结果,可以看出两者的线路几乎一样,这里有两方面的原因:
(1)可能是由于这六个点客观不存在地铁站点,这种可能可以通过带入其他点检验。
假如带入其他点能够含有地铁站点,那么该可能存在。
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