安徽省蚌埠市第一中学学年高二上学期期中考试数学理试题.docx
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安徽省蚌埠市第一中学学年高二上学期期中考试数学理试题
蚌埠一中2017-2018学年度第一学期期中考试
高二数学(理)
考试时间:
120分钟试卷分值:
150
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1、下列命题中正确的是( )
(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
(4)圆柱的任意两条母线相互平行.
A.
(1)
(2)
B.
(2)(3)
C.
(1)(3)
D.
(2)(4)
2、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( )
A.
B.
C.
D.
3、如图,用斜二测画法作水平放置的直观图形得,其中=,是边上的中线,由图形可知在中,下列四个结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A.B.C.D.都不对
5、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:
“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
6、已知P,Q,R,S分别是所在正方体或四面体的棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
A.
B.
C.
D.
7、如图,在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值是()
A.
B.
C.
D.
8、下列四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( )
A.①、③
B.①、④
C.②、③
D.②、④
9、空间四边形中,若,,那么有( )
A.平面平面
B.平面平面
C.平面平面
D.平面平面
10、以下命题正确的有( )
①;②;③;④.
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
11、过三棱柱的任意两条棱的中点作直线,其中与平面平行的直线共有( )
A.4条
B.6条
C.8条
D.12条
12、如图,正方体中,点P在四边形的内部及其边界上运动,并且总保持,则动点P的轨迹是( )
A.线段
B.线段
C.的中点与的中点的连线
D.的中点与的中点的连线
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13、已知正方形ABCD的边长是1,对角线AC与BD交于O,将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,并给出下面结论:
①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④cos∠ADC=,
则其中的真命题的序号是__________.
14、如图,在三棱锥中,,且,则与底面所成的角为__________.
15、已知分别是平面,的法向量,且,则的值是__________.
16、在平行四边形中,,.将沿折起,使得平面平面,如图所示.若为中点,则二面角的余弦值为__________.
三、解答题(第17题14分,第18题14分,第19题14分,第20题14分,第21题14分,共5小题70分)
17、如图,分别是空间四边形的边的中点,求证:
(1)四点共面;
(2)平面.
(第17题图)(第18题图)
18、如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判断MN与BD的位置关系;
(2)求MN的长.
19、如图4所示,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,为侧棱上的点.
(1)求证:
.
(2)若平面,则侧棱上是否存在一点,使得平面.若存在,求的值;若不存在,试说明理由.
20、如图,在直三棱柱中,,,是的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)求二面角的余弦值.
(第20题图)
21、在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,点O是对角线AC与BD的交点.M是PD的中点,AB=2,∠BAD=.
(1)求证:
OM∥平面PAB;
(2)求证:
平面PBD⊥平面PAC;
(3)当四棱锥P—ABCD的体积等于时,求PB的长.
高二期中理科数学答案解析
选择题答案:
DACBBDCBDABA
第1题答案D
(1)所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符;(3)所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义;
(2)(4)符合圆锥,圆柱母线的定义及性质.
第2题答案A
解:
依题意得
三视图复原的几何体是棱长为2的正方体,除去一个倒放的圆锥,圆锥的高为2,底面半径为1;
所以几何体的体积是:
,故选A.
第3题答案C
解:
依题意得
还原平面图如下:
答案为C
第4题答案B
如图所示,设球的半径为R,则球的直径,所以球的表面积,故选B.
第5题答案B
,则,,.
第6题答案D
在A图中:
分别连接PS,QR,
则PS∥QR,
∴P,S,R,Q共面.
在B图中:
过P,Q,R,S可作一正六边形,如图,故P,Q,R,S四点共面.
在C图中:
分别连接PQ,RS,
则PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.
D图中:
PS与RQ为异面直线,
∴P,Q,R,S四点不共面.
故选:
D.
第7题答案C
连结,由∥可得异面直线所成角为,在中,由余弦定理可得
第8题答案B
①中取上边的点为点,连结,则易证面平面,如图
(2).
第9题答案D
∵,,∴平面.又平面,∴平面平面,故选D.
第10题答案A
①由线面垂直的判定定理可知结论正确;②由线面垂直的性质可知结论正确;③中的关系可以线面平行或直线在平面内;④中直线可以与平面平行或直线在平面内.
第11题答案B
解:
作出如图的图形,H,G,F,I是相应直线的中点,
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中,
由此四点可以组成6条直线,故选B.
第12题答案A
解:
如图,先找到一个平面总是保持与垂直,连接,,,在正方体中,易得⊥,⊥;则⊥面,又点P在侧面及其边界上运动,根据平面的基本性质得:
点P的轨迹为面与面的交线段.
故答案为A.
第13题答案①③④
由于BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,于是AC⊥BD,所以①正确;因为折成60°的二面角,所以∠AOC=60°,又OA=OC,因此△AOC为正三角形,故③正确;cos∠ADC=,故④也正确.故选①③④.
第14题答案
解:
,在底面的射影是的外心,
又,故是的中点,所以与底面所成角为,等边三角形中,设边长为1,,直角三角形中,,三角形中,
,,则与底面所成角为.
第15题答案
∵,∴,则,∴.
第16题答案
过点在平面内作,
因为平面平面,所以平面,平面,平面,所以,.以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立如图空间直角坐标系.
依题意,,,,,,
则,,
设平面的法向量,则,即,
取,得到平面的一个法向量,
又平面的一个法向量为,
所以,
由图可知二面角为锐角,
从而二面角的余弦值为.
第17题答案
证明:
(1)∵分别是空间四边形的边的中点
∴,
∴
∴与确定唯一平面
∴四点共面.
(2)因为E,H分别为AB,AD的中点,
又∵EH平面EFGH,BD平面EFGH
∴BD∥平面EFGH
第18题答案
(1)∥;
(2).
第18题解析
(1)延长交于点,延长交于点,
则分别为,的中点,∥,
又,∴∥,∴∥.
(2)由
(1)知,,∴.
第19题答案
(1)略
(2)
第19题解析
(1)连接,设交于,则.
由题意知平面,以为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系如图,
设底面边长为,则高,于是,,,,
,,则,故,从而.
(2)棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC.
理由如下:
由已知条件知是平面PAC的一个法向量,
且,,,
设,则,
而,解得,
即当时,,而不在平面PAC内,故BE//平面PAC.
第20题答案
(1)连结,交于点,连结.
由是直三棱柱,
得四边形为矩形,为的中点.
又为中点,所以为中位线,
所以∥,
因为平面,平面,
所以∥平面.
(2)由是直三棱柱,且,故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
设,则.
所以,
设平面的法向量为,则有
所以取,得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角,得.
所以二面角的余弦值为.
第21题解析
(1)证明:
∵在△PBD中,O、M分别是BD、PD的中点,∴OM是△PBD的中位线,∴OM∥PB,
∵OM⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,
∴OM∥平面PAB.
(2)证明:
∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.
∵AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,
∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.
(3)∵底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,∴菱形ABCD的面积为S
∵四棱锥P-ABCD的高为PA,∴得
∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.
在Rt△PAB中,
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