浅谈函数极值的求法及应用大学本科毕业论文.docx
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本科毕业论文
论文题目:
浅谈函数极值的求法及应用学生姓名:
于淼
学 号:
201000810327
专 业:
数学与应用数学(师范类)指导教师:
吴家超
学 院:
数学科学学院
2014年5月4日
目录
中文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1
英文摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1
一、 对一元函数极值问题的简单回顾„„„„„„„„„„„ 2
(一)一元函数极值的定义„„„„„„„„„„„„„„ 2
(二)一元函数极值的必要条件„„„„„„„„„„„„ 2
(三)一元函数极值的充分条件„„„„„„„„„„„„ 2
(四)一元函数求极值的现实应用„„„„„„„„„„„ 3
二、多元函数极值的求法„„„„„„„„„„„„„„„„ 4
(一)多元函数的简单介绍„„„„„„„„„„„„„„ 4
1.多元函数极值的定义„„„„„„„„„„„„„„ 4
2.多元函数极值的必要条件„„„„„„„„„„„„ 4
3.多元函数极值的充分条件„„„„„„„„„„„„ 4
4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型„„„„ 5
(二)多元函数条件极值„„„„„„„„„„„„„„„ 7
1.Lagrange数乘法„„„„„„„„„„„„„„„„ 7
2.Lagrange数乘法的步骤„„„„„„„„„„„„„ 8
3.多元函数条件极值的必要条件„„„„„„„„„„ 9
4.多元函数条件极值的充分条件„„„„„„„„„„ 9
5 .Lagrange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型
„„„„„„„„„„„„„„„10
参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 15
附录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 16
浅谈函数极值的求法及应用
于淼
摘要:
在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中,我们往往要考虑到在前提
条件一定的情况下,怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。
这些问题都可以转化为函数中求最大(小)的问题。
在求最值的问题中,我们就用到了函数极值的概念,所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。
本文首先对一元函数极值做了简单回顾,然而现实生活中的问题往往是复杂的,所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法,并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。
关键词:
极值;多元函数;条件极值;极值应用
中图分类号:
O1
Introductiontothecalculationalmethodsandapplicationofabsoluteextremesoffunction
YuMiao
Abstract:
Indailyproductionandlife,economicmanagementandaccounting,weoften
havetothinkabouthowtogetamaximumreturnattheminimuminvestmentonissuessuchasprofitmaximizationundercertaincircumstances.Theseproblemscanbeconvertedtoafunctionforthelargest(smallest)problem.Inseekingtheabsoluteextremesoffunction,weusedtheconceptoffunctionextreme.Sothediscussionsonfunctionextremeholdaveryimportantpracticalsignificance.
Atfirst,thispassagemadeasimplereviewoncalculationalmethodsofextremevalueofthefunctionofonevariable;theproblemisoftencomplicatedinreallife,however.Sointhispaper,furtherresearchontheextremesformultivariatefunctionaregiventhoughlasernumbermultiplication,andcorrespondinglygivestheconcreterealitymodelforapplication.
Keywords:
absoluteextremes;multivariatefunction;extremeswithacondition;application
15
一、对一元函数极值问题的简单回顾
(一)一元函数极值的定义
定义1设f(x)是定义在(a,b)上的函数,x0
(a,b),
若存在一点x0的某个邻域O(x0,)
(a,b),使得,f(x)
f(x0),x
O(x0,
),那
么,称x0是f(x)的一个极大值点,f(x0)就是其相应的极大值。
若存在一点x0的某个邻域O(x0,)
(a,b),使得,f(x)
f(x0),x
O(x0,
),那
么,称x0是f(x)的一个极小值点,f(x0)就是其相应的极小值。
(二)一元函数极值的必要条件
定理1(Fermat引理)假若x0是f(x)的一个极值点,并且f(x)在x0处可导,那么
f(x0) 0。
(三)一元函数极值的充分条件
定理2(极值的第一充分条件)假若f在点x0某邻域U(x0;
)内导数存在。
(i)如果当x
(x0
,x0)时f
(x)
0,而当x
(x0,x0
)时f
(x)
0,那
么f(x0)为极小值。
(ii)如果当x
(x0
,x0)时f
(x)
0,而当x
(x0,x0
)时f
(x)
0,那
么f(x0)为极大值。
定理3(极值的第二充分条件)假若f在点x0的某邻域U(x0;
)内存在一阶导数,在
x x0处存在二阶导数,并且f
(x0)
0,f
(x0) 0。
(i)如果f
(ii)如果f
(x0)
(x0)
0,那么f(x0)为极大值。
0,那么f(x0)为极小值。
第一极值条件对稳定点和不可导点适用,第二条件用起来较简便,但在以下三种
情况下不适用:
f(x0)不存在,即x0是不可导点;
f(x0)存在,但f
(x0)不存在;
f(x0) f(x0) 0。
当第三种情况出现时,就用到极值的第三充分条件:
定理4(极值的第三充分条件)假若f在x0的某邻域内直到n
1阶可导,在x0处n阶
导数存在,并且f(k)(x0)
0(k
1,2,...,n
1),f(n)(x0)
0,那么
(i)若n为偶数,f在x0处取得极值,并且当
f(n)(x)
0时取得极大值,
0
0
f(n)(x) 0时取得极小值。
(ii)若n为奇数,f在x0处不取极值。
(四)一元函数求极值的现实应用
例1 把一批货物从河边上A城运往距离河BC
akm的B城(见图1),轮船运费单
a2 x2
价为 元/km,火车运费单价为 元/km( ),问若在河边一点M处,建筑铁路MB,怎样才能使总运费最少。
B 解:
设MC
x,则AM
d x,BM 。
a
B
x
d
M
a2 x2
总运费L(x) (d x)
由L(x)
0,得
a2 x2
x 0
, (2
2)x2
a22 ,
A x0
图1
由x0
a 。
2
2
2
2
a 是其唯一的稳定点,且由
L(x)
a2
(a2
x2)3
a
2
2
0可知,x0是最小值点。
所以M点选在距离C点
km处
时修建铁路,总运费可达到最少。
在matlab中求稳定点,程序见附录1。
二、多元函数极值的求法
(一)多元函数的简单介绍
1.多元函数极值的定义
定义2已知D Rn是一开区域,f(x)是D上的函数,x
(x0,x0,. ,x0)
D。
如果
存在x0的一个邻域O(x0,r),使
0 1 2 n
f(x)
0
f(x)(或f(x)
0
f(x)),x
O(x,r),
0
我们称x0是f的极大值点(或极小值点);相应地,我们称f(x0)是其相应的极大值(或极小值)。
2.多元函数极值的必要条件
定理5如果点x0是函数f的极值点,并且f在x0点有偏导数,那么,f在x0点的一阶偏导数都等于零,即
x
0
x
0
f x f x
1 2
...
f
n
x(x0) 0
3.多元函数极值的充分条件
定理6(多元函数极值的充分条件)如果n元函数f(x)在x (x0,x0,. ,x0)点附近
0 1 2 n
具有二阶连续偏导数,并且x0是fx的驻点。
那么,当二次型
g()
n
xx
f
ij
i,j1
(x0)ij
正定时,f(x0)为函数的极小值;当g(
时,f(x0)不是极值。
)负定时,f(x0)为函数的极大值;当g(
)不定
i
j
a11
a12
L
a1n
a21
a22
L
a2n
M
M
M
ak1
ak2
L
akk
记aij
fxx
(x0),并记
Ak
它称为f的k阶Hesse矩阵。
推论1假若detAk
0(k
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- 浅谈 函数 极值 求法 应用 大学本科 毕业论文