高考数学试题届高考理科数学第一轮总复习检测17.docx
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高考数学试题届高考理科数学第一轮总复习检测17
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
【最新考纲】 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.平面的基本性质
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
公理2:
过不共线的三点,有且只有一个平面.
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理:
平行于同一条直线的两条直线平行.
等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:
(0,
].
1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”.)
(1)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60°D.90°
解析:
连接B1D1,D1C,则B1D1∥EF,
故∠D1B1C为所求,
又B1D1=B1C=D1C,
∴∠D1B1C=60°.
答案:
C
3.(经典再现)在下列命题中,不是公理的是( )
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析:
A不是公理,是个常用的结论,需经过推理论证;B,C,D是平面的基本性质公理.
答案:
A
4.(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
解析:
法一 ∵l与l1,l2分别共面.
故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.
若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾.
故l至少与l1,l2中的一条相交.
法二 如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.
答案:
D
5.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________.
解析:
连接DF,则AE∥DF,
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.
设正方体棱长为a,
则D1D=a,DF=
a,D1F=
a,
∴cos∠D1FD=
=
.
答案:
两点注意
1.异面直线不同在任何一个平面内,不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.
2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.
两种方法
异面直线的判定方法:
1.判定定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
2.反证法:
证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面,从而可得出两直线异面.
三个作用
1.公理1的作用:
(1)判断直线在平面内;
(2)由直线在平面内判断直线上的点在平面内;(3)由直线的“直”刻画平面的平.
2.公理2的作用:
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法.
3.公理3的作用:
(1)判定两平面相交;
(2)作两平面相交的交线;(3)证明多点共线.
A级 基础巩固
一、选择题
1.给出以下命题:
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:
①中显然是正确的;②中若A,B,C三点共线则A,B,C,D,E五点不一定共面,不正确;③构造长方体或正方体,如图显然b、c异面故不正确;④中空间四边形中四条线段不共面,不正确.故只有①正确.
答案:
B
2.(2015·湖北卷)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线,q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
解析:
若l1,l2异面,则l1,l2一定不相交;若l1,l2不相交,则l1,l2是平行直线或异面直线.
故p⇒q,q⇒/p,故p是q的充分不必要条件.
答案:
A
3.(2016·郑州联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
解析:
依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.
答案:
D
4.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( )
A.互相平行B.异面且互相垂直
C.异面且夹角为
D.相交且夹角为
解析:
将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连结AD,则△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为
.
答案:
D
5.(2016·山东师大附中月考)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC、AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为( )
A.1B.
C.
D.
解析:
如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设AB=α,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=
a,A1D1=
a,∴sin∠A1BD1=
.
答案:
D
二、填空题
6.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________(注:
把你认为正确的结论序号都填上).
解析:
由图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.
因为D1C∥MN
所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.
答案:
③④
7.如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面为正方形,侧棱与底面垂直)中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________.
解析:
连接BC1,A1C1,则A1B与BC1所成角即为所求.在△A1BC1中,设AB=a,则A1B=BC1=
a,A1C1=
a,
所以cos∠A1BC1=
=
.
答案:
8.(2014·江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
解析:
取CD的中点为G,由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内.
所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案:
4
三、解答题
9.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1,B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由.
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由.
解:
(1)AM,CN不是异面直线.理由:
连结MN,A1C1,AC.
因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C,所以A1ACC1为平行四边形,
所以A1C1∥AC,所以MN∥AC,
所以A,M,N,C在同一平面内,
故AM和CN不是异面直线.
(2)直线D1B和CC1是异面直线.
理由:
因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,
所以D1,B,C,C1∈α,
这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立,
即D1B和CC1是异面直线.
10.(2017·广州一模)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.
图1 图2
(1)求证:
AB⊥平面ADC;
(2)若AD=1,二面角CABD的平面角的正切值为
,求二面角BADE的余弦值.
解析:
(1)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD,所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC.
(2)由
(1)知AB⊥平面ADC,所以二面角C—AB—D的平面角为∠CAD.
又DC⊥平面ABD,AD⊂平面ABD,所以DC⊥AD.
依题意tan∠CAD=
=
.
因为AD=1,所以CD=
.
设AB=x(x>0),则BD=
.
依题意△ABD~△BDC,所以
=
,
即
=
.
解得x=
,故AB=
,BD=
,BC=
=3.
如图所示,建立空间直角坐标系D—xyz,则D(0,0,0),B(
,0,0),C(0,
,0),
E
,A
,
所以
=
,
=
.
由
(1)知平面BAD的法向量n=(0,1,0).
设平面ADE的法向量m=(x,y,z)
由
得
令x=
,得y=-
,z=-
,
所以m=(
,-
,-
).
所以cos〈n,m〉=
=-
.
由图可知二面角BADE的平面角为锐角,
所以二面角BADE的余弦值为
.
B级 能力提升
1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
解析:
在A图中分别连结PS,QR,
易证PS∥QR,∴P,Q,R,S共面;
在C图中分别连结PQ,RS,
易证PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面;
如图所示,在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;
D图中PS与QR为异面直线,
∴P,Q,R,S四点不共面.
答案:
D
2.(2016·青岛质检)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为________.
解析:
取DE的中点H,连接HF,GH.
由题设,HF
AD.
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)
在△GHF中,可求HF=
,GF=GH=
,
∴cos∠HFG=
=
.
答案:
3.(2016·佛山质检)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.
(1)求证:
PC⊥AD;
(2)在棱PB上是否存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面?
若存在,指出点Q的位置并证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明:
取AD的中点O,连接OP,OC,AC.
因为四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形.
所以∠ADC=60°,AD=CD,
则△ACD是等边三角形,OC⊥AD
在等边△PAD中,PO⊥AD
又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,
所以AD⊥平面POC,
由PC⊂平面POC,得PC⊥AD.
(2)解:
存在.当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:
取棱PB的中点Q,连接QM,QA.
因为点M为PC的中点,所以QM∥BC
在菱形ABCD中,AD∥BC
所以QM∥AD
故A,Q,M,D四点共面.
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