专题立体几何.docx
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专题立体几何
复习专题:
立体几何
空间几何体的体积
重点
1.了解球、棱柱、棱锥、台体积的计算公式
2.会求一些简单的组合体、不规则几何体的体积
难点
不规则几何体体积的求法,等积转换法的应用
考试要求
考试
Ø题型选择题、填空题、解答题
Ø难度中等
类型一:
求简单几何体的体积
例题1如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )
A.3B.C.1D.
答案:
C
解析:
如题图,因为△ABC是正三角形,
且D为BC中点,则AD⊥BC。
又因为BB1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,
故BB1⊥AD,且BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BCC1B1,
所以AD⊥平面BCC1B1,
所以AD是三棱锥A-B1DC1的高。
所以=·AD
=××=1
总结提升:
求规则几何体的体积,关键在求底面积和体高,然后代公式求解即可。
斜棱柱要注意体高和斜高的区别。
例题2如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长都是a,截面AB1C和A1BC1相交于DE,求三棱锥B-B1DE的体积。
解:
∵V三棱锥B-B1DE=V三棱锥B1-BDE,又在ΔA1BC1中,D,E分别是A1B,BC1的中点,
∴。
又
即。
总结提升:
三棱锥是最简单的几何体,它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点,每一个面均可作为棱锥的底面,因此要多角度观察图形,适当进行等积变换,可简化求解过程。
类型二:
求不规则几何体的体积
例题3 如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积。
解法1:
如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥。
则V几何体=V三棱柱+V四棱锥。
由题知三棱柱ABC-NDM的体积为V1=×8×6×3=72。
四棱锥D-MNEF的体积为
V2=×S梯形MNEF×DN
=××(1+2)×6×8=24,
则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.
解法2:
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=×S△ABC×AA′=×24×8=96。
总结提升:
常用的求几何体体积的方法
(1)公式法:
直接代入公式求解。
(2)等积法:
例如,四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面面积和高都易求出的形式即可。
(3)补形法:
对几何体补成易求体积的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等。
(4)分割法:
将几何体分割成易求出体积的几部分,分别求体积。
1.求组合体的体积,要根据相应情况把它分解成柱、锥、台体等后分别求体积,然后求代数和。
2.不规则几何体常通过分割或补形转化为规则几何体来求面积或体积。
(答题时间:
30分钟)
一、选择题
1.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形,则这个圆柱的体积是()
A.B.C.D.
2.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为()
A.B.C.D.2
3.已知圆台上、下底面的面积分别为,,侧面积为,则这个圆台的体积为().
A.B.C.D.
二、填空题
4.如图所示,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。
若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则=________。
5.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________。
1.答案:
A
解析:
底面圆周长,,所以
故选:
A
2.答案:
B
解析:
由底面边长为1和侧棱长为,可知高。
又因为底面积,所以正六棱锥体积。
故选B。
3.答案:
C
解析:
依题意知圆台上底面半径为,下底面半径为,,解得l=2。
所以高
圆台的体积故选C。
4.答案:
解析:
由水面高度升高r,得圆柱体积增加了πR2r,恰好是半径为r的实心铁球的体积,因此有πr3=πR2r。
故=。
5.答案:
12
解析:
设六棱锥的高为h,则V=Sh,
所以××4×6h=2,解得h=1。
设六棱锥的斜高为h′,
则h2+()2=h′2,故h′=2。
所以该六棱锥的侧面积为。
球的内切、外接问题
重点
会解决一些简单几何体的内切球、外接球问题
难点
处理几何体与球的组合体问题时如何确定球心的位置
考试要求
考试
Ø题型选择题、填空题、解答题
Ø难度中等
核心知识点一:
球与长方体、正方体组合问题
1.正方体的内切球与外接球:
设正方体的棱长为,求:
(1)内切球半径;
(2)外接球半径。
解:
(1)截面图为正方形的内切圆,得;
(2)正方体的外接球:
正方体的八个顶点都在球面上,如图,以对角面AC1作截面图得,圆为矩形的外接圆,易得。
2.长方体的外接球
设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,其外接球的半径为R,如图,则R=。
核心知识点二:
棱锥的内切、外接球问题
正四面体的外接球和内切球的半径是多少?
解:
如图所示,设点是内切球的球心,正四面体棱长为。
由图形的对称性知,点也是外接球的球心。
设内切球半径为,外接球半径为。
在中,,即,
又AE=R+r=
解得,。
总结提升:
由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为(为正四面体的高),且外接球的半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
例题1长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为2a,a,a,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积为()
A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa2
答案:
B
解析:
长方体的体对角线长为球的直径,而长方体的体对角线长为:
,所以这个球的表面积为。
例题2若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的体积是____。
答案:
解析:
因为三棱锥的三条侧棱两两垂直,联想到正方体同一顶点处的三条侧棱,构造正方体,如图所示,设AB⊥BC,AB⊥BD,BC⊥BD,且AB=BC=BD=。
则该正方体的体对角线长,而l=2R,所以4R2=9,所以,所以其外接球的体积为。
总结提升:
关于几何体的外接球问题,解决问题的关键是确定球心的位置。
构造法是解决几何体的外接球的常用技巧。
例题3如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________。
答案:
解析:
设球O的半径为R,∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R。
。
球与几何体的内切、外接问题是高考的热点问题之一,此类问题综合性较强,求解时需要较强的空间想象能力。
解决此类题目应注意以下两点:
(1)球外接于几何体,则几何体的各顶点均在球面上。
解题时要认真分析图形,一般需依据球和几何体的对称性,明确接点的位置,根据球心与几何体特殊点间的关系,确定相关的数量关系,并作出合适的截面进行求解。
(2)解决几何体的内切球问题,应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面),这个截面应包括几何体与球的主要元素,且能反映几何体与球的位置关系和数量关系。
(答题时间:
30分钟)
一、选择题
1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12πB.πC.8πD.4π
二、填空题
2.已知,,,是球的球面上的四点,,,两两垂直,,且三棱锥的体积为,则球的表面积为______。
3.三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的体积为。
三、解答题
4.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为,点S、A、B、C、D都在同一球面上,求此球的体积。
1.答案:
A
解析:
由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π,故选A。
2.答案:
解析:
三棱锥的体积为,故,
因为,,两两垂直,,故可把三棱锥补成正方体,
该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径,
又体对角线的长度为,故球的表面积为。
填。
3.答案:
解析:
因为PA⊥面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,构造如图所示长方体,则该长方体同一个顶点处的三条棱长分别为2,2,4,则该长方体的体对角线,
所以,
所以球O的体积为。
4.解:
设正四棱锥的底面中心为O1,外接球的球心为O,
如图所示,由球的截面的性质,可得OO1⊥平面ABCD。
又SO1⊥平面ABCD,∴球心O必在SO1所在的直线上。
∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径。
在△ASC中,由SA=SC=,AC=2,得SA2+SC2=AC2。
∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形。
∴=1是外接圆的半径,也是外接球的半径。
故。
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