高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结全.docx
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高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结全
必修四常考公式及高频考点
第一部分三角函数与三角恒等变换
考点一角的表示方法
1.终边相同角的表示方法:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以构成一个集合:
{β|β=k·360°+α,k∈Z}
2.象限角的表示方法:
第一象限角的集合为{α|k·360°<α 第二象限角的集合为{α|k·360°+90°<α 第三象限角的集合为{α|k·360°+180°<α 第四象限角的集合为{α|k·360°+270°<α 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法: (1)若所求角β的终边在某条射线上,其集合表示形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z},其中α为射线与x轴非负半轴形成的夹角 (2)若所求角β的终边在某条直线上,其集合表示形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z},其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 (3)若所求角β的终边在两条垂直的直线上,其集合表示形式为{β|β=k·90°+α,k∈Z},其中α为直线与x轴非负半轴形成的任一夹角 例: 终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z} 终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z} 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z} 易错提醒: 区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0~90、小于180度的角 考点二弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化 , ,1弧度 2.扇形的弧长和面积公式(分别用角度制、弧度制表示方法) 弧长公式: 其中 为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式: = R2| |,其中 为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒: 利用S= R2| |求解扇形面积公式时, 为弧所对圆心角的弧度数,不可用角度数 规律总结: “扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量,“知二求二”,注意公式选取技巧 考点三任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义 设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 ,那么 , , ( );化简为 . 2.三角函数值符号 规律总结: 利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值 SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4 除此之外,还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线 经典结论: (1)若 ,则 (2)若 ,则 (3) 考点四三角函数图像与性质 图象 定义域 值域 最值 当 时, ; 当 时, . 当 时, ;当 时, . 既无最大值也无最小值 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数; 在 上是减函数. 在 上是增函数; 在 上是减函数. 在 上是增函数. 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 考点五正弦型(y=Asin(ωx+φ))、余弦型函数(y=Acos(ωx+φ))、正切性函数(y=Atan(ωx+φ))图像与性质 1.解析式求法 (1)y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B解析式确定方法 字母 确定途径 说明 A 由最值确定 A= B 由最值确定 B= ω 由函数的周期确定 相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期 φ 由图象上的特殊点确定 可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点,然后列方程确定;也可通过解简单三角方程确定 A、B通过图像易求,重点讲解φ、ω求解思路: ①φ求解思路: 代入图像的确定点的坐标.如带入最高点 或最低点坐标 ,则 或 ,求 值. 易错提醒: y=Asin(ωx+φ),当ω>0,且x=0时的相位(ωx+φ=φ)称为初相.如果不满足ω>0,先利用诱导公式进行变形,使之满足上述条件,再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600 ②ω求解思路: 利用三角函数对称性与周期性的关系,解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半;相邻的对称轴之间的距离是周期的一半;相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”: 学好三角函数,图像是关键。 易错提醒: “左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x,不可针对-x或2x等. 例: “两域”: (1)定义域 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解. (2)值域(最值): a.直接法(有界法): 利用sinx,cosx的值域. b.化一法: 化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值). c.换元法: 把sinx或cosx看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区间上的值域(最值)问题. 例: 1.y=asinx2+bsinx+c 2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx2 3.y=(asinx+c)/(bcosx+d) 4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c “四性”: (1)单调性 ①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的单调递增区间由2kπ- <ωx+φ<2kπ+ ,k∈Z解得,单调递减区间由2kπ+ <ωx+φ<2kπ+1.5π,k∈Z解得; ②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ+2π,k∈Z解得,单调递减区间由2kπ<ωx+φ<2kπ+π,k∈Z解得; ③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的单调递增区间由kπ- <ωx+φ ,k∈Z解得,. 规律总结: 注意ω、A为负数时的处理技巧. (2)对称性 ①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得; ②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解得; ③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得. 规律总结: φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (3)奇偶性 ①函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z),函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ+ (k∈Z); ②函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ+ (k∈Z);函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z); ③函数y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ= (k∈Z). 规律总结: φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号. (4)周期性 函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T= , y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T= . 考点六常见公式 常见公式要做到“三用”: 正用、逆用、变形用 1.同角三角函数的基本关系 ; = 2.三角函数化简思路: “去负、脱周、化锐” (1)去负,即负角化正角: sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosa;tan(-a)=-tana; (2)脱周,即将不在(0,2π)的角化为(0,2π)的角: sin(2kπ+a)=sina;cos(2kπ+a)=cosa;tan(2kπ+a)=-tana; (3)化锐,即将在(0,2π)的角化为锐角: 6组诱导公式 , , . , , . , , . , , . , . , . 口诀: 奇变偶不变,符号看象限.均化为“kπ/2±a”,做到“两观察、一变”。 一观察: k是奇数还是偶数;二观察: kπ/2±a终边所在象限,再由kπ/2±a终边所在象限,确定原函数对应函数值的正负.一变: 正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式 (1)也可理解为终边相同角的三角函数值相同,公式(3)也可按照函数奇偶性理解 3.两角和差公式 ; ; 4.二倍角公式 ; ; , 二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式,当α=β时的特殊情况 倍角是相对的,如0.5α是0.25α的倍角,3α是1.5α的倍角 5.升降幂公式 (升幂缩角). (降幂扩角), 6.辅助角公式 = (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ,- < < ). 7.半角公式 sin =± ;cos =± tan = ;tan = = 8.其它公式 1+sina=(sin +cos )2;1-sina=(sin -cos )2 9.万能公式 sina= ;cosa= ;tana= 10.和差化积 sina+sinb=2sin cos ;sina-sinb=2cos sin cosa+cosb=2cos cos ;cosa-cosb=-2sin sin tana+tanb= 11.积化和差 sinAsinB=- [cos(A+B)-cos(A-B)];cosAcosB= [cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB= [sin(A+B)+sin(A-B)];cosAsinB= [sin(A+B)-sin(A-B)] 12.三倍角公式 ; ; 14.三角形中三角函数关系 在△ABC中,有 . ; ;tan(A+B)=-tanC; 等. 15.三角函数化简的常用技巧 1.三角函数化简要做到“四看、四变” (1)看角、做好角的变换: 观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系,采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简. (2)看名、做好名的变换: 利用同角三角函数基本关系实现弦切互化,掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法 (3)看次数、做好次数的变换: 利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次 (4)看形、做好形的变换: 利用辅助角公式,统一函数形式 2.具体技巧 (1)遇分式通分、遇根式升幂. (2)和积转换法 掌握sinα±cosα,sinαcosα化简方法,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,“知一求二”. (3)巧用“1”的变换 1=sin2θ+cos2θ==tan450=sin =cos0…. 3.四种常见题型 给角求值、给值求值、给值求角,辅助角公式 若角的范围在(0,90),选择正弦、余弦函数均可;若角
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