统编版版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第46讲 线面平行与面面平行学案.docx
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统编版版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第46讲线面平行与面面平行学案
第46讲 线面平行与面面平行
考试要求 1.空间中线面平行、面面平行的判定定理、性质定理及有关性质(B级要求);2.运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题(B级要求).
诊断自测
1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b,且b⊂平面α,则直线a与平面α的位置关系为________.
答案 a∥平面α或a⊂平面α
2.(教材改编)下列命题中不正确的有________(填序号).
①若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面;
②若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行;
③平行于同一条直线的两个平面平行;
④若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α.
解析 ①中a可以在过b的平面内;②中a与α内的直线可能异面;③中两平面可相交;④中由直线与平面平行的判定定理知b∥α,正确.
答案 ①②③
3.设l,m为直线,α,β为平面,且l⊂α,m⊂β,则“l∩m=∅”是“α∥β”的________条件.
解析 当平面与平面平行时,两个平面内的直线没有交点,故“l∩m=∅”是“α∥β”的必要条件;当两个平面内的直线没有交点时,两个平面可以相交,∴l∩m=∅是α∥β的必要不充分条件.
答案 必要不充分
4.(必修2P45习题9改编)已知α,β,γ是三个不重合的平面,α∥β,β∥γ,那么α与γ的位置关系为________.
答案 平行
5.(教材改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为________.
解析 连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,
则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案 平行
知识梳理
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a,
a⊂α,
l⊄α,
∴l∥α
性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α,
l⊂β,
α∩β=b,
∴l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β,
b∥β,
a∩b=P,
a⊂α,
b⊂α,
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
∵α∥β,
α∩γ=a,
β∩γ=b,
∴a∥b
考点一 直线与平面平行的判定与性质
【例1-1】如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=BC=
AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.
(1)求证:
AP∥平面BEF;
(2)求证:
GH∥平面PAD.
证明
(1)连接EC,
∵AD∥BC,BC=
AD,
∴BC綊AE,
∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点.
又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,
∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,
∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH=H,FH、OH⊂平面OHF,∴平面OHF∥平面PAD.
又∵GH⊂平面OHF,∴GH∥平面PAD.
【例1-2】(2018·镇江月考)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2
.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:
GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
(1)证明 因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,
且平面PBC∩平面GEFH=GH,
所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)解 如图,连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD,
且PO⊄平面GEFH,所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=
DB=
OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=
PO,
即G是PB的中点,且GH=
BC=4.
由已知可得OB=4
,
PO=
=
=6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=
·GK
=
×3=18.
规律方法 判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点);
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α);
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
【训练1】如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求证:
四边形EFGH是矩形.
证明 ∵CD∥平面EFGH,CD⊂平面BCD,
而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.
同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∴CD∥EF,HE∥AB,
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
【例2】(2018·镇江模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,
∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
规律方法 证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义;
(2)面面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
【训练2】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:
平面BDC1∥平面AB1D1.
证明 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,
所以AD1∥平面BDC1.
同理可证B1D1∥平面BDC1.
又因为AD1∩B1D1=D1,AD1,B1D1都在平面AB1D1内,
所以平面AB1D1∥平面BDC1.
考点三 平行关系的综合应用
【例3-1】如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥平面BCC1B1.设E是B1C1上的一点,当
的值为多少时,A1E∥平面ADC1?
请给出证明.
证明 当
=1,即E为B1C1的中点时,
A1E∥平面ADC1.证明如下:
由AD⊥平面BCC1B1,得AD⊥BC.
在正三角形ABC中,D是BC的中点.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
四边形BCC1B1是矩形,
且D,E分别是BC,B1C1的中点,
所以B1B∥DE,B1B=DE.
又B1B∥AA1,且B1B=AA1,
所以DE∥AA1,且DE=AA1.
所以四边形ADEA1为平行四边形,
所以EA1∥AD.
又EA1⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1.
【例3-2】(一题多解)(2018·盐城模拟)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1?
若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
解 法一 存在点E,且E为AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
下面给出证明:
如图,取BB1的中点F,连接DF,
则DF∥B1C1,又DF⊂平面DEF,B1C1⊄平面DEF,
∴B1C1∥平面DEF,
∵AB的中点为E,连接EF,ED,
则EF∥AB1,AB1∥平面DEF,
∵B1C1,AB1⊂平面AB1C1,B1C1∩AB1=B1,
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF,
∴DE∥平面AB1C1.
法二 假设在棱AB上存在点E,
使得DE∥平面AB1C1,
如图,取BB1的中点F,连接DF,EF,ED,则DF∥B1C1,
又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,
∴DF∥平面AB1C1,
又DE∥平面AB1C1,DE∩DF=D,
∴平面DEF∥平面AB1C1,
∵EF⊂平面DEF,∴EF∥平面AB1C1,
又∵EF⊂平面ABB1,平面ABB1∩平面AB1C1=AB1,
∴EF∥AB1,
∵点F是BB1的中点,∴点E是AB的中点.
即当点E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
规律方法
(1)“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形或关系的平行性质.题目的本质仍是线与面的平行关系.
(2)利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决.
一、必做题
1.(2018·南通模拟)有下列命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;
④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数是________.
解析 命题①,l可以在平面α内,不正确;命题②,直线a与平面α可以是相交关系,不正确;命题③,a可以在平面α内,不正确;命题④正确.
答案 1
2.(2018·苏北四校联考)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD是正方形,E,F分别为PA,PD的中点.在此几何体中,给出下列四个结论:
①直线BE与直线CF是异面直线;
②直线BE与直线AF是异面直线;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号为________.
解析 因为EF綊
AD,AD綊BC,所以EF綊
BC,所以E,B,C,F四点共面,所以BE与CF共面,所以①错误;因为AF⊂平面PAD,E∈平面PAD,E∉直线AF,B∉平面PAD,所以BE与AF是异面直线,所以②正确;因为EF∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,所以③正确;由于不能推出线面垂直,故平面BCE⊥平面PAD不成立,所以④错误.
答案 ②③
3.对于空间中的两条直线m,n和一个平面α,下列命题中的真命题是________(填序号).
①若m∥α,n∥α,则m∥n;
②若m∥α,n⊂α,则m∥n;
③若m∥α,n⊥α,则m∥n;
④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
解析 对①,直线m,n可能平行、异面或相交,故①错误;对②,直线m与n可能平行,也可能异面,故②错误;对③,m与n垂直而非平行,故③错误;对④,垂直于同一平面的两直线平行,故④正确.
答案 ④
4.(2018·南京、徐州、连云港联考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列正确命题的序号是________.
①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;
②若m∥n,m∥β,则n∥β;
③若m∥α,m∥β,则α∥β;
④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.
解析 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这一平面,①正确;若m∥n,m∥β,则n∥β或n⊂β,②不正确;若m∥α,m∥β,则α,β可能平行也可能相交,③不正确;若n⊥α,n⊥β,则α∥β,④不正确.
答案 ①
5.(2016·全国Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).
解析 当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
答案 ②③④
6.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足条件________时,有平面D1BQ∥平面PAO.
解析 假设Q为CC1的中点.
因为P为DD1的中点,
所以QB∥PA.
连接DB,因为O是底面ABCD的中心,
所以D1B∥PO,
又D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,且PA∩PO于P,
所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,
又D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.
故点Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
答案 Q为CC1的中点
7.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是________.
解析 设
=
=k,∴
=
=1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k.
又∵0 答案 (8,10) 8.如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是________. 解析 如图,分别取另三条棱的中点A,B,C,将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ∥AL,PR∥AM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR. 答案 平行 9.如图,E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证: (1)EG∥平面BB1D1D; (2)平面BDF∥平面B1D1H. 证明 (1)取B1D1的中点O,连接GO,OB, ∵OG綊 B1C1,BE綊 BC, ∴OG綊BE, ∴四边形BEGO为平行四边形,故OB∥EG, 又EG⊄平面BB1D1D,OB⊂平面BB1D1D, ∴EG∥平面BB1D1D. (2)由题意可知BD∥B1D1,B1D1∥平面BDF, 如图,连接HB、D1F, 易证四边形HBFD1是平行四边形,故HD1∥BF,HD1∥平面BDF. 又B1D1∩HD1=D1,B1D1,HD1⊂平面B1D1H. 所以平面BDF∥平面B1D1H. 10.(2016·全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点. (1)证明: MN∥平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积. (1)证明 由已知得AM= AD=2. 如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN= BC=2. 又AD∥BC,故TN綊AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB, 所以MN∥平面PAB. (2)解 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点, 所以N到平面ABCD的距离为 PA. 如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE= = . 由AM∥BC得M到BC的距离为 ,故S△BCM= ×4× =2 .所以四面体N-BCM的体积VN-BCM= ×S△BCM× = . 二、选做题 11.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________. 解析 如图,取AC的中点G,连接SG,BG. 易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G, 故AC⊥平面SGB, 所以AC⊥SB. 因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD, 则SB∥HD. 同理SB∥FE. 又D,E分别为AB,BC的中点, 则H,F也为AS,SC的中点, 从而得HF綊 AC綊DE, 所以四边形DEFH为平行四边形. 又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC, 所以DE⊥HD, 所以四边形DEFH为矩形, 其面积S=HF·HD= · = . 答案 12.(2018·南通模拟)如图所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点. (1)当 等于何值时,BC1∥平面AB1D1? (2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求 的值. 解 (1)如图所示,取D1为线段A1C1的中点,此时 =1. 连接A1B,交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形, ∴点O为A1B的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点, ∴OD1∥BC1. 又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, ∴BC1∥平面AB1D1. ∴当 =1时,BC1∥平面AB1D1. (2)由平面BC1D∥平面AB1D1, 且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 得BC1∥D1O,同理AD1∥DC1, ∴ = , = , 又∵ =1,∴ =1,即 =1.
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