人教版高中数学必修1知识点总结.docx
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人教版高中数学必修1知识点总结
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{⋯}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰
洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{a,b,c⋯⋯}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,
写在大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形
}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)
有限集
含有有限个元素的集合
(2)
无限集
含有无限个元素的集合
2=-5}
(3)
空集
不含任何元素的集合
例:
{x|x
二、集合间的基本关系
1.?
包含?
关系—子集
注意:
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.?
相等?
关系:
A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}?
元素相同则两集合相等?
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有
n
个子集,2
n
-1
n
个非空真子集
2
个真子集,2-2
三、集合的运算
运算
交
集
并
集
补
集
类型
定
由所有属于
A且属
由所有属于集合
A或
义
于B的元素所组成
属于集合B的元素所
的集合,叫做A,B的
组成的集合,叫做A,B
交集.记作A
B(读
的并集.记作:
AB
作‘A交B’),即
(读作‘A并B’),即
AB={x|x
A,且
AB={x|x
A,或
设S是一个集合,A是
S的一个子集,由S中
所有不属于A的元素组
成的集合,叫做S中子
集A的补集(或余集)记作CSA,即
第1页共7页
x
B}.
x
B}).
CA={x|x
S,且xA}
S
韦
S
恩
A
B
A
B
A
图
示
图1
图2
性
A
A=A
A
A=A
u
u
(CA)
(C
B)
A
Φ=Φ
A
Φ=A
=Cu
(A
B)
A
B=B
A
A
B=B
A
(C
B)
(CA)
A
BA
A
BA
u
u
=C(AB)
质
ABB
ABB
u
A
(CuA)=U
A
(CuA)=Φ.
二、函数的有关概念
1.函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于
集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)
实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)
;
②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:
先考虑其定义域
(1)
观察法
(2)
配方法
(3)
代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数
值
y
为纵坐标的点P,
y)
的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一
(x
点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足
y=f(x)的每一组有序实
数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
第2页共7页
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对
于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么
就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作?
f(对应关系):
A(原
象)B(象)?
对于映射f:
A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充:
复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合
函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: 任取x1,x2∈D,且x1 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f [ g(x) ]的单调性与构成它的函数 u=g(x) , 的单调性密切相关, y=f(u) 其规律: ? 同增异减? 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 不能把单调性相同的区间和 在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)=f(x) ,那么f(x) 就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x) 的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)=—f(x) ,那么f(x) 第3页共7页 就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○2确定f(-x)与f(x)的关系; ○ f(-x)=f(x)或f( -x)-f(x)=0,则f(x)是偶函 3作出相应结论: 若 数;若f(-x)=-f(x) 或f(-x)+f(x)=0 ,则f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的 定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称, (1)再根据 定义判定; (2)由f(-x) ±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3) 利用定理,或 借助函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) ○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○2利用图象求函数的最大(小)值 ○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x) 在x=b处有最小值f(b); 第二章基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 一般地,如果xn a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 负数没有偶次方根; 0的任何次方根都是 0,记作n0 0。 当n是奇数时,n an a,当n是偶数时,n an a (a 0) |a| (a 0) a 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: m ann am(a 0,m,n N*,n 1) , m 1 1 a n (a 0,m,n * n 1) m n am N an 0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)ar 〃ar ars (a 0,r,s R); 第4页共7页 (2)(ar)s ars (a 0,r,s R); (3)(ab)r aras (a 0,r,s R). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念: 一般地,函数 y ax(a0,且a1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 1 -4 -2 2 4 6 -4 -2 0 2 4 6 0 -1 -1 定义域R 定义域R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定 函数图象都过定 点(0,1) 点(0,1) 注意: 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f(x) ax(a 0且a 1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; (2)若x 0,则f(x) 1;f(x)取遍所有正数当且仅当 x R; (3)对于指数函数f(x) ax(a 0且a 1),总有f (1) a; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: 一般地,如果 ax N (a 0,a1) ,那么数 x 叫做以 为底 .a..N 的对数,记作: xlogaN(a—底数,N—真数,loga N—对数式) ○ 注意底数的限制 a0,且a 1; 说明: 1 ○2 ax N loga N x; logaN ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 常用对数: 以10 为底的对数lgN; 1 ○2 自然对数: 以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 lnN. 指数式与对数式的互化 幂值真数 ab=NlogaN=b 底数 第5页共7页 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果a0,且a 1,M 0,N 0,那么: ○1 loga(M〃N) logaM+logaN; 2 M loga M-logaN; ○ loga N ○3 logaMn nlogaM (n R). 注意: 换底公式 logab logcb (a 0 ,且a 1;c 0 ,且c 1 ;b 0). logca 利用换底公式推导下面的结论 (1)logambn nlogab; (2)logab 1 . m logb a (二)对数函数 1、对数函数的概念: 函数 y loga x(a 0 ,且a 1)叫做对数函数,其中 x是 自变量,函数的定义域是( 0,+≦). ○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: 注意: 1 y 2log2 x,y log5x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○ 5 对数函数对底数的限制: (a 0,且a 1). 2 2、对数函数的性质: a>1 0 3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5 11 11 0.5 0.5 -1 1 2 34 5 6 7 8 -1 0 1 2 3456 7 8 0 1 1 -0.5 -0.5 -1 -1
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