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分数认识的三次深化与发展
分数认识的三次深化与发展
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分数认识的三次深化与发展
王永
一、分数与除法
在自然数集合里,加法和乘法运算总是可以实施,但减法和除法却不行;引入分数,自然数集合扩充为非负有理数集合后,除法运算才变得畅通无阻。
例如,3宁4=?
在自然数集合里找不到一个与3宁4对应的自
然数,而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数-,与3
4
—4对应,即3—4=—。
4
如何理解3+4=的数学意义呢?
4
(1)表示3是4的—。
其中3与4表示不同的两个量,而3是量数,
44
是以4为基准量去度量3所得的结果。
0——I13——4
3
041
般地,a、b都是非零的自然数时,a宁b=-
b
0ab
a
0b1
⑵表示3平均分成4份,每份是-;或者3的4倍是3。
这里,
44
3和3都表示量,而4是量数。
4
01
3
1I11
3
1
0
n~~r
1
i
4
事实上,任意两个正有理数相除,都具有上述两种数学意义。
例如“3+**=?
”也有下面两种数学意义:
2
⑴3是5的几分之几?
0
*1111
1?
1
3
1
\\\
5
2
从上图0也可以看出:
315——
2
在一场足球比赛中,猛虎队获得一次罚点球的机会,他们准备派
F列三名队员中的一名去罚点球。
下面是这三名队员在过去比赛中罚
点球的成绩统计表。
队员
踢点球的次数
罚中的次数
3号队员
18
20
5号队员
21
25
7号队员
13
12
从这个实际问题抽象成的数学问题是:
比较分数里、2、12的
202513
大小。
解法1:
(化为同分母的分数进行比较)
18_
1170
20
1300'
21.
1092
25
1300’
12=
1200
13
1300。
因为
1200
>
1170
1300
1300
所以
1218
>-
21
>—
1320
25
O
1092
>—,
1300
由此可知,7号队员以往罚点球的成绩最佳,派他去罚点球是明
智的选择
不过,上面三个分数分母的最小倍数(1300)是比较大的,因此
通分不仅比较费劲,也容易出差错
解法2:
(化为小数进行比较)
=18-20=0.90,
=21-25=0.84,
上=12+13>0.923。
13
因为0.923>0.90>0.84,所以。
132025
化为小数,虽然可以借以比较分数的大小,但小数却失去了原来分数的特性,即表示量的倍比关系的意义。
因此,需要寻找既能保持分数的特性,计算又比较简便的解题方法。
就在这种需要的驱动下,百分数应运而生了。
新的办法就是把分母统统变成100。
把18与21化为分母是100的分数不难:
18=昱巴二竺。
20252010025100
问题在于怎样把12也变成分母是100的分数呢?
13
设所化成的分数的分子为x,即
x_12
100—13,
两边同乘100,得
12
x=12X100,
13
x〜92.3。
所以,芝需。
这个结果与前面学过的分数不同的地方是,它的分子是一个小数。
瓷的意义是:
如果把13平均分成10。
份,那么12大约占其中的92.3份。
也就是说,这种分数只能表示两个量的倍比关系,而不具
有表示量的功能。
于是,人们把形如魚,卷,盜,……等,只能表示量的倍比关系,不能表示量的分数,统称为百分数;并引入新的符号“%(叫做百
分号),把百分数记为84%,90%,92.3%,……,以便从形式上与前面
学过的分数加以区别。
显然,84%<90%V92.3%通过百分数的大小比较,也说明是7号队员点球的罚中率最高。
诚然,把分数化为百分数还有更简捷的途径,即通过小数转化。
女口,兰〜0.923=92.3%。
但是这种方法,对于理解百分数13
的意义,不如方程的方法直观。
三、比
比,顾名思义,与人类比较事物的实践活动密切相关。
比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。
下面先探讨一个现实问题——平面图画得像不像。
例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形,如下图A。
⑴在B、C、D、E、F等图形中,你认为哪几个长方形的形状像图A,哪几个不像?
⑵对形状与图A(羽毛球场)相同的长方形,请你比较它们的长和宽,能发现其中的规律吗?
⑶在图A内,请你画一个形状与图A相同的长方形,且这个长方形的长是图A的长的-。
3
任何正方形的形状都一样,但长方形的形状却有差异。
图A恰好可以分成两个大小相同的正方形。
发现图A的这个特性,能帮助我们找出其他形状与图A相同的长方形,如图D和E。
而图B、C和F都不具有图A的这种特性,所以它们的形状与图A不同。
图A可以分成两个大小相同的正方形,等价于它的长是宽的2倍。
形状与图A相同的长方形,长都是宽的2倍;形状与图A不同的长方形,长都不是宽的2倍。
这就是我们发现的规律。
一般地,a>b分别表示一个长方形的长和宽,分数-表示这个长
b
方形的长与宽的倍比关系。
这个分数-的重要性在于它提供了长方形
b
的一个分类标准:
凡是长是宽的-倍的长方形,都是形状相同的长方形,
b
它们归为一类。
图形的分类对于认识图形的性质具有重要的意义。
不过用“长是宽的-倍”来刻画长方形的形状特征,有时很麻烦。
b
例如,当a或b是分数时,旦是一个繁分数。
为了避免进行繁分数的繁
b
难运算,就需要改进对“长是宽的a倍”这一特征的描述,从而引入比
b
的概念。
“长是宽的旦倍”,可以用“长与宽的比是a:
b”取而代之。
b
当a、b表示两个不同的量时,a:
b=里二a—b。
b
所以,比可以定义为:
两个量相除,叫做这两个量的比。
虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的,但对于不同的问题情境,仍然需要选择恰当的简便的表征方式,并掌握它们的相互转换。
例2蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料,要配制450毫升这种饮料,需要蜂蜜和绿茶各多少毫升?
在这个问题中,蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便,即蜂蜜:
绿茶=2:
7。
解法1:
(应用方程)
设:
一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升,则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升,绿茶7x毫升。
2x+7x=450,
9x=450
x=50。
2x=2X50=100,
7x=7X50=350。
答:
配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶。
解法2:
(综合应用比和分数)蜂蜜:
绿茶=2:
7=2:
7,且
99
2+7=1。
因此,蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分
99
与整体(蜂蜜绿茶)的倍比关系。
从而,为应用分数解决问题创造了条件,图示如下:
0I
?
?
1
4
r1
?
―1
0
9
9
1
450x2=100,
9
450X7=350。
9
解法1是代数方法,解法2是算术方法,殊途同归。
例37个女生平分4个蛋糕,3个男生平分2个蛋糕。
是每个女生分得多一些,还是每个男生分得多一些?
解法1:
每个女生分得4个蛋糕,每个男生分得2个蛋糕。
问题
73
可以归结为比较分数4与2的大小。
比较两个量的倍比关系又有如下
73
两种方法。
方法1:
(利用除法)
4.2=4x3=6。
73727
因为6<1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。
7
方法2:
(利用比)
4:
2=12:
14。
73
因为12:
14V1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法2:
(利用比)分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系。
女生蛋糕:
男生蛋糕=4:
2=2:
1,
女生人数:
男生蛋糕=7:
3。
因为7:
3>6:
3=2:
1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。
解法3:
(利用图解)
上图说明,如果只有6个女生平分4个蛋糕,那么女生和男生将分得同样多。
但女生有7个,7个女生平分4个蛋糕,每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些。
所以,男生分得的蛋糕比女生多。
上述解法2与解法3有异曲同工之妙,妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法——对应。
比的概念不仅进一步揭示了分数的本质量的倍比关系,而且也丰富了表征思维过程的方法和手段,使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候,有更多的思路和方法可以选择,可以灵活转换,左右逢源。
(2007年2月17日于福州)
事实上,百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。
我们先来解决下面的实际问题
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