课题511相交线初中数学.docx
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课题511相交线初中数学
课题:
5.1.1相交线
【学习目标】
1.了解两条直线相交所构成的角,理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。
2.理解对顶角性质的推导过程,并会用这个性质进行简单的计算。
3.通过辨别对顶角与邻补角,培养识图的能力。
【学习重点】邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。
【学习难点】在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。
【合作探究】1.画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角?
各对角的位置关系如何?
根据不同的位置怎么将它们分类?
例如:
(1)∠AOC和∠BOC有一条公共边OC,它们的另一边互为,称这两个角互为。
用量角器量一量这两个角的度数,会发现它们的数量关系是
(2)∠AOC和∠BOD(有或没有)公共边,但∠AOC的两边分别是∠BOD两边的,称这两个角互为。
用量角器量一量这两个角的度数,会发现它们的数量关系是。
2.根据观察和度量完成下表:
两直线相交
所形成的角
分类
位置关系
数量关系
3.用语言概括邻补角、对顶角概念.
的两个角叫邻补角。
的两个角叫对顶角。
4.探究对顶角性质.
在图1中,∠AOC的邻补角有两个,是和,根据“同角的补角相等”,可以得出=,而这两个角又是对顶角,由此得到对顶角性质:
对顶角相等.
注意:
对顶角概念与对顶角性质不能混淆,对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.
你能利用“对顶角相等”这条性质解释剪刀剪纸过程中所看到的现象吗?
【巩固运用】
1.例题:
如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
提示:
未知角与已知角有什么关系?
通过什么途径去求这些未知角的度数?
规范地写出求解过程.
【达标测评】
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图
(1),三条直线AB,CD,EF相交于一点O,∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______,若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______,∠AOE+∠DOB+∠COF=_____。
3.如图,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,求∠EOB的度数.
4.如图,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=68°,求∠4的度数
课题:
5.1.2垂线
(1)
【学习目标】
1.理解垂线、垂线段的概念,会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
2.掌握点到直线的距离的概念,并会度量点到直线的距离。
3.掌握垂线的性质,并会利用所学知识进行简单的推理。
【学习重点】垂线的定义及性质。
【学习难点】垂线的画法
【学具准备】相交线模型,三角尺,量角器
【自主学习】
1.如图,若∠1=60°,那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______
2.改变上图中∠1的大小,若∠1=90°,请画出这种图形,并求出此时∠2、∠3、∠4的大小。
【合作探究】
1.阅读课本P3的内容,回答上面所画图形中两条直线的关系是__________,知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况。
2.用语言概括垂直定义
两条直线相交,所成四个角中有一个角是_____时,我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____,他们的交点叫做_____。
3.垂直的表示方法:
垂直用符号“⊥”来表示,若“直线AB垂直于直线CD,垂足为O”,则记为__________________,并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。
4.垂直的推理应用:
(1)∵∠AOD=90°()
∴AB⊥CD()
(2)∵AB⊥CD()
∴∠AOD=90°()
5.垂直的生活应用
观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象?
找一找:
在你身边,还能发现哪些“垂直”的实例?
【画图实践】
1.用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L,画出直线L的垂线,能画几条?
L
明确直线L的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
(2)怎样才能确定直线L的垂线位置呢?
在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,能画几条?
再经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?
A
B
.
从中你能得出什么结论?
____________________________________________
归纳总结:
画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在______的垂线.
【达标测评】
(一)判断题.
1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.()
2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.()
3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.()
4.两条直线相交有一组对顶角互补,那么这两条直线互相垂直.().
(二)填空题.
1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE与直线AB
的位置关系是_________.
(三)解答题.
1.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.
(1)画直线DE⊥OB
(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.
2.已知:
如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的
位置关系.
3.画图验证
(1)画直线L,在L外取一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用度量法比较线段PO、PA1、PA2、PA3……的大小,.得出线段最小。
4.归纳结论.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,.简单说成:
.
5.知识类比
(1)垂线段与垂线有何区别联系?
(2)垂线段与线段有何区别与联系?
“点到直线的距离”?
默写一遍:
叫做点到直线的距离。
【运用举例】
例1:
判断对错,并说明理由:
.
(1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
(2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
(3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
例:
2:
已知直线a、b,过点a上一点A作AB⊥a,交b于点B,过B作BC⊥b交a于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离?
并且用刻度尺测量这个距离.
【达标测评】
1.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是_______,点A到BC的距离是________,点B到CD的距离是_____,A、B两点的距离是_________.
2.如图,在线段AB、AC、AD、AE、AF中AD最短.小明说垂线段最短,因此线段AD的长是点A到BF的距离,对小明的说法,你认为对吗?
3.用三角尺画一个是30°的∠AOB,在边OA上任取一点P,过P作PQ⊥OB,垂足为Q,量一量OP的长,你发现点P到OB的距离与OP长的关系吗?
课题:
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
【学习目标】
1.理解三线八角中没有公共顶点的角的位置关系,知道什么是同位角、内错角、同旁内角.毛
2.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征,能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.
【学习重点】同位角、内错角、同旁内角的识别。
【学习难点】较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别。
【自主学习】
1.指出右图(3)中所有的邻补角和对顶角?
2.图中的∠1与∠5,∠3与∠5,∠3与∠6是邻补角或对顶角吗?
若都不是,请自学课本P6内容后回答它们各是什么关系的角?
【合作探究】
1.如图
(1),将木条
,
与木条c钉在一起,若把它们看成三条直线则该图可说成“直线和直线与直线相交”也可以说成“两条直线,被第三条直线所截”.构成了小于平角的角共有个,通常将这种图形称作为“三线八角”。
其中直线,称为两被截线,直线称为截线。
2.如图(3)是“直线,被直线所截”形成的图形
(1)∠1与∠5这对角在两被截线AB,CD的,在截线EF的,形如“”字型.具有这种关系的一对角叫同位角。
(2)∠3与∠5这对角在两被截线AB,CD的,在截线EF的,形如“”字型.具有这种关系的一对角叫内错角。
(3)∠3与∠6这对角在两被截线AB,CD的,在截线EF的,形如“”字型.具有这种关系的一对角叫同旁内角。
4.讨论与交流:
(1)“同位角、内错角、同旁内角”与“邻补角、对顶角”在识别方法上有什么区别?
(2)归纳总结同位角、内错角、同旁内角的特征:
同位角:
“F”字型,“同旁同侧”
内错角:
“Z”字型,“之间两侧”
同旁内角:
“U”字型,“之间同侧”
【运用举例】
例1.如图
(2)中∠1与∠2,∠3与∠4,∠1与∠4
分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的什么角?
【达标测评】
1.如图(4),下列说法不正确的是()
A、∠1与∠2是同位角B、∠2与∠3是同位角
C、∠1与∠3是同位角D、∠1与∠4不是同位角
2.如图(5),直线AB、CD被直线EF所截,∠A和是同位角,∠A和是内错角,∠A和是同旁内角.
3.如图(6),直线DE截AB,AC,构成八个角:
①指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.
②∠A与∠5,∠A与∠6,∠A与∠8,分别是哪一条直线截哪两条直线而成的什么角?
4.如图(7),在直角
ABC中,∠C=90°,DE⊥AC于E,交AB于D.
①指出当BC、DE被AB所截时,∠3的同位角、内错角和同旁内角.
②试说明∠1=∠2=∠3的理由.(提示:
三角形内角和是1800)
课题:
5.2.1平行线
【学习目标】
1.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行公理的推论.
2.会用符号语言表示平行公理推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
【学习重点】探索和掌握平行公理及其推论.
【学习难点】对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.
【学前准备】分别将木条a、b与木条c钉在一起,做成图示的教具.
【问题探索】
1.两条直线相交有几个交点?
相交的两条直线有什么特殊的位置关系?
2,在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?
请同学门观察黑板相对的两条横及格本中两条横线,若把他们向两方延长,看成直线,他们还是相交直线吗?
3.把三根木条看成三条直线,观察三根木条之间的关系,有几种可能性?
4.自我演示.
顺时针转动木条b两圈,然后思考:
把a、b想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?
在这个过程中,有没有直线b与a不相交的位置?
5.同学交流并形成共识.
转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a的交点就会从A点的右边又转动A点的左边……可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都如下图
【自主学习】---平行线定义、表示法
1.结合演示的结论,用自己的语言描述平行线的认识:
①平行线是同一的两条直线
②平行线是交点的两条直线
2.尝试用数学语言描述平行定义
特别注意:
直线a与b是平行线,记作“”,这里“”是平行符号.
思考:
如何确定两条直线的位置关系?
.
【合作探究】----画图、观察、探索平行公理及平行公理推论
1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行?
2.用直线和三角尺画平行线.
已知:
直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?
3.观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.平行公理:
(2)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:
都是“”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是的.
不同点:
平行公理中所过的“一点”要在已知直线,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线,也可在直线.
4.探索平行公理的推论.
(1)直观判定过B点、C点的a的平行线b、c是互相.
(2)从直线b、c产生的过程说明直线b∥直线c.
(3)用三角尺与直尺用平推方法验证b∥c.
(4)用数学语言表达这个结论
用符号语言表达为:
如果那么
(5)简单应用.将一张长方形纸片对折两次,得到三条折痕,这三条折痕有什么关系,请说明理由。
【达标测评】
一、填空题.
1.在同一平面内,两条直线的位置关系有_________
2、两条直线L1与L2相交点A,如果L1‖L,那么L2与L(),这是因为()。
3.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.
4.两条直线相交,交点的个数是________,两条直线平行,交点的个数是_____个.
二、判断题.
1.不相交的两条直线叫做平行线.()
2.如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行,那么它与另一条直线也互相平行.()
3.过一点有且只有一条直线平行于已知直线.()
三、解答题.
1.读下列语句,并画出图形后判断.
(1)直线a、b互相垂直,点P是直线a、b外一点,过P点的直线c垂直于直线b.
(2)判断直线a、c的位置关系,并借助于三角尺、直尺验证.
课题:
5.2.2平行线的判定
【学习目标】
1、使学生掌握平行线的四种判定方法,并初步运用它们进行简单的推理论证。
2、初步学会简单的论证和推理,认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。
【学习重点】在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导
【学习难点】定理形成过程中的逻辑推理及其书面表达。
【自主学习】
1、填空:
经过直线外一点,________与这条直线平行.
【合作探究】
(一)平行线判定方法1:
1、观察思考:
过点P画直线CD∥AB的过程,
图中,∠1和∠2什么关系?
2、判定方法1:
应用格式:
。
∵∠1=∠2(已知)
简单说成:
。
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
【反馈提高】
方法1:
若a∥b,b∥c,则a∥c。
即两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行。
方法2:
如图1,若∠1=∠3,则a∥c。
即。
方法3:
如图1,若。
方法4:
如图1,若。
方法5:
如图2,若a⊥b,a⊥c,则b∥c。
即在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
【达标测评】
(一)选择题:
1.如图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是()
A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD
(1)
(2)(3)(4)
2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么()
A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF
3.下列说法错误的是()
A.同位角不一定相等B.内错角都相等
C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行
4.(2000.江苏)如图,直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠-5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明
a∥b的条件序号为()
A.①②B.①③C.①④D.③④
(二)填空题:
1.如图3,如果∠3=∠7,或______,那么______,理由是__________;
如果∠5=∠3,或_______,那么________,理由是______________;
如果∠2+∠5=______或者______,那么a∥b,理由是________.
2.如图4,若∠2=∠6,则______∥______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,那么____∥_______,如果∠9=_____,那么AD∥BC;如果∠9=_____,那么AB∥CD.
3.在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.
4.如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.
(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.
(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.
六、【拓展延伸】
1、已知直线a、b被直线c所截,且∠1+∠2=180°,
试判断直线a、b的位置关系,并说明理由.
2、如图,已知
,
,试问EF是否平行GH,并说明理由。
3.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.
4、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=-30°,试说明AB∥CD.
课题:
5.3.1平行线的性质
【学习目标】
1.使学生理解平行线的性质,能初步运用平行线的性质进行有关计算.
2.通过本节课的教学,培养学生的概括能力和“观察-猜想-证明”的探索方法,培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力.
3.培养学生的主体意识,向学生渗透讨论的数学思想,培养学生思维的灵活性和广阔性.
【学习重点】平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点.
【学习难点】正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点.
1、归纳性质:
(三)两条平行线的距离
1、如图,已知直线AB∥CD,E是直线CD上任意一点,过E向直线AB
作垂线,垂足为F,这样做出的垂线段EF的长度是平行线的距离。
2、结论:
两条平行线的距离处处相等,而不随垂线段的位置而改变
3、对应练习:
如右图,已知:
直线m∥n,A、B为CDm
直线n上的两点,C、D为直线m上
的两点。
(1)请写出图中面积相等的各对三角形;
(2)如果A、B、C为三个定点,点D在m上移动。
那么,无论D点移动到任何位置,
总有三角形与ABn
三角形ABC的面积相等,理由是。
【达标测评】
(一)选择题:
1.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
(1)
(2)(3)
2.如图2所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为()
A.35°B.30°C.25°D.20°
3.∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么∠1和∠2的大小关系是()
A.∠1=∠2B.∠1>∠2;C.∠1<∠2D.无法确定
(二)填空题:
2.如图4,若AD∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______,
∠ABC+∠_______=180°;若DC∥AB,则∠______=∠_______,
∠________=∠__________,∠ABC+∠_________=180°.
(4)(5)
3.如图5,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路,从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通,则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.
(三)解答题
1.如图,AB∥CD,∠1=102°,求∠2、∠3、∠4、∠5的度数,并说明根据?
2.如图,EF过△ABC的一个顶点A,且EF∥BC,如果∠B=40°,∠2=75°,那么∠1、∠3、∠C、∠BAC+∠B+∠C各是多少度,并说明依据?
3、如图,已知:
DE∥CB,∠1=∠2,求证:
CD平分∠ECB.
2如图所示,已知:
AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且AB∥CD.求证:
∠1+∠2=90°.
证明:
∵AB∥CD,(已知)
∴∠BAC+∠ACD=180°,()
又∵AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,()
∴
,
,()
∴
.
即∠1+∠2=90°.
结论:
若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的平分线互相。
推广:
若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相。
课题:
5.3.2命题、定理
【学习目标】
1、掌握命题的概念,并能分清命题的组成部分.
2、经历判断命题真假的过程,对命题的真假有一个初步的了解。
3、初步培养不同几何语言相互转化的能力。
【学习重点】命题的概念和区分命题的题设与结论
【学习难点】区分命题的题设和结论
【学前准备】
1、预习疑难:
。
2、填空:
①平行线的3个判定方法的共同点是。
②平行线的判定和性质的区别是。
【自主学习】
(一)命题:
1、阅读思考:
①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
这些句子都是对某一件事情作出“是”或“不是”的判断
2、定义:
的语句,叫做命题
3、练习:
下列语句,哪些是命题?
哪些不是?
(1)过直线AB外一点P,作AB的平行线.
(2)过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行吗?
(3)经过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行.
请你再举出一些例子。
(二)命题的构成:
1、许多命题都由和两部分组成.
是已知事项,是由已知事项推出的事项.
2、命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分是,
"那么"后接的的部分是.
(三)命题的分类真命题:
。
(定理:
的真命题。
)
假命题:
。
【合作探究】
1、指出下列命题的题设和结论:
(1)如果两个数互为相反数,这两个数的商为-1;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)等式两边乘同一个数,结果仍是等式;
(5)绝对值相等的两个数相等.
(6)如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90°
2、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:
(1)互补的两个角不可能都是锐角:
。
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行:
。
(3)对顶角相等:
。
3、判断下列命题是否正确:
(1)同位角相等
(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补;
(3)如果两个角互补,这两个角是邻补角.
【学习体会】
1、本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
2、预
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