五年级其他题型列方程解应用题李小龙.docx
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五年级其他题型列方程解应用题李小龙
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号:
年级:
小五课时数:
3
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
授课
类型
T(列方程解应用题一般步骤)
C(专题方法主题)
T(学法与能力主题)
授课日期时段
教学内容
-------列方程解应用题的一般步骤
【趣味导入】如图,天平的两个盘内分别盛有51g、45g盐,问该从A盘内拿出多少盐到B盘内,才能使两者所盛盐的质量相等?
【分析】方法:
列方程
关键:
设未知数、找等量关系
(1)设应从A盘拿出xg放到B盘
(2)分析数量
盘A
盘B
原有盐(g)
51
45
现有盐(g)
51-x
45+x
【解答】解:
设应从A盘拿出xg放到B盘内
则根据题意得51-x=45+x
解方程得x=3
经检验符合题意
答:
应从A盘拿出3g放到B盘
一、同步知识梳理
知识点1:
列方程解应用题的一般步骤
(1)审题:
分析题意,弄清哪些是已知量,哪些是未知量,它们之间的数量关系;
(2)设未知数:
未知数有直接与间接两种,恰当的设未知数有利于布列方程和解方程,以直接设未知数居多;
(3)根据已知条件找出等量关系列方程;
(4)解方程或;(5)检验并写出答案.
知识点2:
工程问题中涉及到的基本量及基本量之间的关系式
工程问题的基本量有:
工作量、工作效率、工作时间。
关系式为:
①工作量=工作效率×工作时间;
②工作时间=工作量÷工作效率;
③工作效率=工作量÷工作时间。
知识点3:
数字问题
数字问题是常见的数学问题。
这种列方程解应用题中的数字问题多是整数,要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系:
两位数
=10a+b;三位数
=100a+10b+c。
在求解数字问题时要注意整体设未知数思想的运用。
知识点4:
年龄问题
1、两个人的年龄随着岁月的变化而同时变化;
2、两个人的年龄差不变 ;
3、两个人的年龄倍数关系随着年龄的增加而减少。
知识点5:
盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象,并不是每次都能正好分完。
如果物体还有剩余,就叫盈;如果物体不够分,少了,叫亏。
凡是研究盈和亏这一类的应用题就叫盈亏问题。
盈亏问题的知识背景:
盈亏的问题曾记载在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章--------“盈不足章”中,盈,就是有余;亏,就是不足的意思。
典型的盈亏问题一般以下列的形式表述:
把若干个苹果(未知数)分给若干个人(未知数),如果每人分2个还多20个,如果每人分3个则少5个。
问总共有多少人?
有多少个苹果?
题目中的不变量是人数和苹果数,比较两种不同的分配方法,可知苹果相差:
20+5=25(个);相差25个苹果,亳无疑问是由于每人相差苹果3-2=1(个)而做成的,
事实上,只有唯一一种情况才会导至上述情形,那就是有25人分苹果!
求得人数后,进而可以根据题意,用两种方法求得苹果的数目:
2×25+20=70(个)或3×25-5=70(个)。
二、同步题型分析
题型1:
工程问题
例1:
少先队员参加植树活动,第一小队平均每小时植树22棵,植了48棵后第二小队才开始植。
两个小队6小时后植树的棵数相等。
第二小队平均每小时植树多少棵?
【分析】方法:
列方程
关键:
设未知数、找等量关系
涉及到的关系式为:
工作量=工作效率×工作时间;
【解答】解:
设第二小队平均每小时植树x棵.
则根据题意得6x=22×6+48
解方程得x=30
经检验符合题意
答:
第二小队平均每小时植树30棵.
例2:
工程队运一些黄沙,上午运12车,下午运27车。
上午比下午少运67.5吨。
上午和下午各运几吨?
【分析】方法:
列方程
关键:
设未知数、找等量关系,运用到间接假设的方法。
【解答】解:
设每车装黄沙x吨.
则根据题意得27x-12x=67.5
解方程得x=4.5
经检验符合题意
则12x=12×4.5=54(吨)27x=27×4.5=121.5(吨)
答:
上午运54吨,下午运121.5吨。
例3:
机床厂原计划每天制造机床40台,实际每天制造50台,结果16天就完成了任务。
机床厂实际比原计划提前几天完成任务?
【分析】方法:
列方程
关键:
设未知数、找等量关系,涉及到的公式为:
工作量=工作效率×工作时间
【解答】解:
设机床厂实际比原计划提前x天完成任务.
则根据题意得40×(16+x)=50×16
解方程得x=4
经检验符合题意
答:
机床厂实际比原计划提前4天完成任务。
题型2:
数字问题
例1:
一个小数,小数点向右移动两位,得到的新数与原数的差为18.81,求原来的小数?
【分析】把一个小数的小数点向右移动两位,相当于把这个小数扩大100倍。
注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系。
【解答】解:
设原来的小数为x.
则根据题意得100x-x=18.81
解方程得x=0.19
经检验符合题意
答:
原来的小数为0.19。
例2:
有一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大2,若把这个两位数的十位与个位对调,所得的两位数比原数小18,求原来的两位数。
【分析】用到的知识点为:
两位数=10×十位数字+个位数字.可设原数个位数字为未知数x,原数为10(x+2)+x,对调后的两位数为10x+(x+2),然后建立等量关系。
【解答】解:
设原数个位数字为x.
则根据题意得10(x+2)+x–[10x+(x+2)]=18
解方程得18=18
x为任意正整数都可以.
十位上的数字满足比个位大2即可比如31,,42,53,64……
答:
十位上的数字满足比个位大2即可比如31,,42,53,64……
例3:
一个三位数,三个数位上的数字和为13,百位上的数字比十位上的数少3,个位上的数字是十位上的数字的2倍,求这三位数。
【分析】解答本题的关键是设出未知数,表示三个数位上的数字.
【解答】解:
设十位上的数字为x,则个位上的数字为2x,百位上的数字为(x-3).
则根据题意得x+2x+(x-3)=13
解方程得x=4
经检验符合题意
即可得个位数字为8,十位数字为4,百位数字为1
答:
这三位数是148。
题型3:
年龄问题
例1:
父子二人今年年龄之和为40岁,已知两年前父亲年龄是儿子的8倍,那么两年前父子二人各几岁?
【分析】两个人的年龄随着岁月的变化而同时变化。
可以假设儿子两年前的年龄为x岁。
【解答】设设儿子两年前的年龄为x岁,则两年前父亲8x岁,今年儿子(x+2)岁,父亲(8x+2)岁.
则根据题意得(x+2)+(8x+2)=40
解方程得x=4
经检验符合题意
即可得父亲8x=8×4=32
答:
两年前父亲32岁,儿子4岁。
例2:
小兵今年13岁,小毛的年龄的3倍比小兵的年龄的2倍多10岁,求小毛的年龄,设小毛的年龄为X岁,请你列出方程。
【分析】此题容易找出等量关系:
“小毛的年龄×3=小兵的年龄×2倍+10岁,”设小毛的年龄为x岁,由此即可列出方程解决问题.
【解答】解:
设小毛的年龄是x岁,根据题意可得方程:
3x=13×2+10,
3x=36,
x=12,
经检验符合题意
答:
小毛的年龄是12岁.
例3:
小胖问爷爷多少岁,爷爷说我像你这么大时你才2岁,你长我这么大时,我就128岁了,小胖的爷爷今年多少岁?
【分析】根据年龄差不会变这一特性,从年龄差入手,年龄差+2=孙子现在的年龄,年龄差+爷爷现在的年龄=128,所以爷爷+孙子的年龄=130,设爷爷今年岁数为x,则孙子的岁数是130-x岁,再根据年龄差+爷爷现在的年龄=128,列出方程解决问题.
【解答】解:
设爷爷今年岁数为x,则孙子的岁数是130-x岁,根据题意可得方程:
x-(130-x)+x=128,
x-130+x+x=128,
3x=258,
x=86,
经检验符合题意
答:
爷爷今年86岁.
题型四:
盈亏问题
【例1】一个植树小组,如果每人植5棵,还剩14棵;如果每人植7棵,就缺4棵。
这个植树小组有多少人?
一共有多少棵树?
【分析】因为树苗数一定,可知本题中的等量关系:
小队人数×5+14=小队人数×7-4,据此等量关系可列方程解答.
【解答】解:
设这个植树小组有x名学生,根据题意得
5x+14=7x-4
解方程得x=9
经检验符合题意
则可得5x+14=5×9+14=59
答:
这个植树小组有9人,一共有59棵树。
【例2】小波从家去体育馆参加比赛,先以每分钟50米的速度走了4分钟,发现这样走下去要迟到3分钟;后来他改用每分钟65米的速度前进,结果提前3分钟到达。
问:
小波家和体育馆相距多少米?
【分析】设准确到达的时间为x分钟,那么以每分钟50米的速度走了x+3分钟,路程表示为50×(x+3)米,改用每分钟65米的速度走了x-3-4分钟,路程表示65×(x-3-4)+50×4米,然后根据路程相等列方程解答即可.
【解答】解:
设准确到达的时间为x分钟,根据题意得
50×(x+3)=65×(x-3-4)+50×4
解方程得x=25
经检验符合题意
则可得50×(25+3)=1400
答:
小波家和体育馆相距1400米。
【例3】猴子分桃。
如果每只猴子分5个,还剩32个;如果其中10只小侯分4个,其余的猴子分8个,就恰好分完。
问:
猴山有猴子多少只?
共有桃子多少个?
【分析】这道题是典型的盈亏问题,我们可以直接假设猴子有x只,建立等量关系即可。
【解答】解:
设猴子有x只,根据题意得
5x+32=4×10+(x-10)×8
解方程得x=24
经检验符合题意
则可得50×24+32=1232
答:
猴山有猴子24只,共有桃子1232个。
【例4】某中学买一批英文打字机,分给高中三年级各个班。
其中两个班各分6台,其余各班分3台,则多6台;如果一个班分7台,其余每个班分5台,则还差12台。
问:
学校买来多少台打字机?
分给多少个班?
【分析】这道题是典型的盈亏问题,我们可以直接假设有x个班,建立等量关系即可。
【解答】解:
设分给x个班,根据题意得
2×6+(x-2)×3+6=7+(x-1)×5-12
解方程得x=11
经检验符合题意
则可得2×6+(11-2)×3+6=45
答:
学校买来45台打字机,分给11个班。
三、课堂达标检测
1、解方程.(打*的要检验)
(1)12.6(x+4.8)÷2=63*
(2)18.5-2(x+5)=4.2
【答案】x=5.2x=2.15
(3)
(4)46+4x―18=9x
【答案】x=3x=5.6
2、填空题。
(1)梯形的面积=(上底+下底)×高÷2,如果用S表示梯形面积,a表示上底,b表示下底,h表示高,那么梯形面积的计算公式用字母表示是()。
(2)如果用S表示路程,v表示速度,t表示时间,根据路程=速度×时间可知
S=(),v=(),t=()。
(3)在含有字母的式子里,数字和字母中间的乘号可以(),但应当把()写在()前面。
(4)一箱苹果重25千克,a箱苹果重()千克。
【答案】
(1)S=(a+b)×h÷2
(2)S=vt,v=s÷t,t=s÷v(3)省略数字字母(4)25a
3、选择(将正确答案的序号填在括号里)
1、a2与()相等。
(1)a×2
(2)a+2(3)a×a
2、2x一定()x2。
(1)大于
(2)小于(3)等于(4)不能确定
3、丁丁比昕昕小,丁丁今年a岁,昕昕今年b岁,2年后丁丁比昕昕小()岁。
(1)2
(2)b-a(3)a-b(4)b-a+2
4、当a=5、b=4时,ab+3的值是()。
(1)5+4+3=12
(2)54+3=57(3)5×4+3=23
5、甲数是a,比乙数的4倍少b,乙数是()。
(1)a÷4-b
(2)(a-b)÷4(3)(a+b)÷4
6.在奇数a后面的两个奇数分别是().
①a+1,a+2②a+1,a+3③a+2,a+4④a-2,a-4
7、用含有字母的式子表示比x的2倍少18的数,应是().
①18-2x②2x-18③18+2x④2x+18
8、用含有字母的式子表示:
a的2倍与b的和的2倍,是().
①2a+2b②2(a+2b)③2(2a+2b)④2(2a+b)
9、小明身高a厘米,小刚比小明高18厘米,小刚比小强矮12厘米,三人的平均身高是().
①(a+16)厘米②(a+12)厘米③(a+8)厘米④(a+10)厘米
【答案】(3)(4)
(2)(3)(3)(3)
(2)(4)
(1)
3、列方程解应用题。
(1)一个三位数,基个位上的数字相加之和为9,百位上的数字比十位上的数字大1,个位上的数字比十位上的数字小1,求这个三位数。
【答案】432
(2)兄弟两人的年龄相差5岁,哥哥7年后的年龄是弟弟的4年前的3倍。
问兄弟两人今天各是多少岁?
【答案】弟弟12岁,哥哥17岁
(3)甲每天生产某种零件80个,甲生产3天后,乙也加入生产同一种零件,再经过5天,两人共生产这种零件940个,问乙每天生产这种零件多少个?
【答案】60个
(4)箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2个。
每次从箱子里取出7个白球和15个红球。
如果经过若干次后,箱子里还剩下3个白球和53个红球。
问:
箱子里原有的红球比白球多多少个?
【答案】106个
(5)某校有若干个学生寄宿学校,若每一间宿舍住6人,则多出34人;若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍。
问宿舍有多少间?
住宿学生有多少人?
【答案】62间406人
----其他类型的列方程解应用题
一、专题精讲
例1:
已知三个连续奇数的和比它们相间的两个偶数的和多15,求这三个连续奇数。
【分析】三个连续的奇数的设法(2n+1)(2n+3)(2n+5)相间的两个偶数分别为(2n+2)(2n+4)
【解答】解:
设这三个连续的奇数为(2n+1)(2n+3)(2n+5),则相间的两个偶数分别为(2n+2)(2n+4)
由题意得(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)—(2n+2)—(2n+4)=15
解得n=6
所以2n+1=132n+3=152n+5=17
答:
这三个连续的奇数为131517
【点评】此题难度稍大,关键是能否设出三个连续奇数和偶数
例2:
三年前,父亲的年龄是儿子的4倍,三年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍,求父子今年各多少岁?
【分析一】这个问题的相等关系式三年后父亲的年龄=儿子年龄的3倍
三年前
现在
三年后
儿子
x-3
x
x+3
父亲
4(x-3)
4(x-3)+3
4(x-3)+6
【解答一】设儿子现在的年龄是x岁,则三年前为(x-3)岁,三年后为(x+3)岁,则父亲三年后的年龄为(4(x-3)+6)岁
则由题意得3(x+3)=4(x-3)+6
解得x=15
答:
父亲今年的年龄是51岁,儿子三年后的年龄是15岁
【分析一】这个问题的相等关系式三年后父亲的年龄=儿子年龄的3倍
三年前
现在
三年后
儿子
x
X+3
x+6
父亲
4x
4x+3
4x+6
【解答一】三年前儿子的年龄为X岁,那么父亲的年龄为4X岁。
三年后儿子X+6岁,父亲4X+6岁。
由题意得3(x+6)=4x+6
解得x=12
4x=48
答:
父亲今年的年龄是51岁,儿子三年后的年龄是15岁
【点评】此题属于年龄问题,难度较大,等量关系很多,但未知数的假设直接决定了方程的难易程度。
例3:
箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍多2个。
每次从箱子里取出7个白球和15个红球。
如果经过若干次后,箱子里还剩下3个白球和53个红球。
问:
箱子里原有的红球比白球多多少个?
【分析】本题的难度较大,有几个未知数,红球的数目、白球的数目、若干次取的次数等,未知数可以设白球表示红球,但是取的次数再设一个未知数方程就变为二元方程;故只设未知数为取的次数为n,总共取了7n个白球15n个红球又因为还剩余3白53红所以可得总共有7n+3个白球和15n+53个红球,通过红球数是白球数的3倍多2个来建立方程即可。
【解答】解:
设总共取了n次,则白球有(7n+3)个,红球有(15n+53)个
由题意得15n+53=3×(7n+3)+2
解得n=7
7n+3=52(个)15n+53=158(个)158-52=106(个)
答:
红球比白球多106个
【点评】本题难度较大,未知数的假设是这道题的关键。
例4:
回收公司搬运工搬运1000个啤酒瓶,规定运1个可得运费3角,但打碎一个,不仅不计运费,还要赔5角,如果运完后,搬运工共得搬运费260元,问搬运时,他一共打碎了多少个啤酒瓶?
【分析】本题需要注意打碎一个瓶子不但没有运费而且会赔0.5元钱,假设1000个瓶子都安全运到,那么搬运费应该是300元,现在搬运费只有260元,故一定打碎了瓶子。
【解答】设:
搬运打碎了x个啤酒瓶,则有(1000-x)个安全运到
则由题意得(1000-x)×0.3-0.5x=260
解得x=50
答:
他一共打碎了50个啤酒瓶。
【点评】本题难度较前面几题而言难度相对较小,理解题意是本题的关键。
二、专题过关
1、填空题
(1)每包书有12册,n包书有()册
(2)一本书共a页,每天看b页,则10天看了()页,剩下()页
(3)甲鱼缸有金鱼b条,比乙鱼缸的条数少12条,b+12表示(),2b+12表示()
(4)钢笔每支a元,本子每本b元,李明买了3支钢笔和5个本子,一共()元
(5)甲每小时加工零件a个,乙每小时比甲多2个,两个人1小时加工()个,m小时加工()个
(6)三个连续整数之和是81,这三个整数分别是:
_______ 、_______、_______
(7)连续三个偶数之和是276,这三个数分别是:
_______、_______、_______
【解答】
(1)12n
(2)10ba-10b(3)乙鱼缸的金鱼数两鱼缸共有多少条(4)3a+5b(5)2a+2m(2a+2)(6)26、27、28(7)90、92、94
2、解方程(打※的要检验)
4.6x+2(16-x)=45※15-2.5(x+5)=2.5
【解答】x=5;x=0
3、应用题
(1)叔叔今年的年龄是侄子的6倍,6年后,叔叔的年龄是侄子的3倍,今年两人各多少岁?
【解答】叔叔24岁;侄子4岁。
(2)有拾圆钞票和伍圆钞票共128张,其中拾圆的比伍圆的多260元,两种面额的钞票各多少张?
【解答】拾元的有60张;伍元的有68张。
(3)某校四、五年级的学生乘坐汽车去春游。
如果每车坐65人,则有15人坐不下;如果每车坐70人,恰好多出一辆车。
四、五年级去春游的学生共有多少人?
【解答】一共有1120人。
(4)一个书架有两层,上层放的书是下层的4倍,如果把上层的书搬60本到下层,则两层的书的本书相同。
原来上、下各有多少本书?
【解答】上层有160本;下层有40本。
(5)甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲、乙从A地,丙从B地同时出发,相向而行,丙遇到乙后2分钟遇到甲,求A、B两地的距离是多少?
【解答】距离是3120米。
三、学法提炼
1、专题特点:
用字母表示未知数,根据题目中数量之间的相等关系,列出一个含有未知数的等式(也就是方程),再解出来。
本专题较同步专题难度稍大,不管在列方程还是在解方程都需要认真仔细,解题方法多样灵活,对学生思维能力灵活的培养和解决问题能力的提高都是很有帮助的。
2、解题方法:
(1)审清楚题意,找出已知条件与未知条件;
(2)找出应用题中数量之间的等量关系,并用x表示未知数,列出方程;(3)解方程;(4)检验,并写出答句。
3、注意事项:
(1)审清题意,找准“等量关系”:
找等量关系要抓住关键词,“比”“是”“等于”等;
(2)设未知数时要注意是直接设(问什么设什么),还是间接设(问什么不设什么,设与之有关系的量),另,设未知数时含有x或者x的式子后面要带上单位(式子要整体打括号带单位),
(3)列出方程正确求解,判断解的正确性,即检验过程,注意正确的检验过程。
一、能力培养
1、今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四。
问人数、物价各几何?
-----《九章算术》“盈不足”问题
【分析】《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。
全书分九章共246个应用问题,是以问题集形式出现的数学名著。
它成书于公元1世纪,内容丰富多彩,在许多方面都居于世界领先地位。
本题意思:
几个人一起去购买某物品,如果每人出8钱,则多了3钱;如每人出7钱,则少4钱,问有多少人,物品的价格是多少?
【解答】设有x人
由题意得8x-3=7x+4
解得x=7
7×8-3=53
答:
人数为7人,物价为53
2、某校附小举行了两次数学竞赛,第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人,第二次及格人数增加5人,正好是不及格人数的6倍,问参加竞赛的有多少人?
【分析】两次竞赛的总人数没有改变,当及格人数增加时,不及格人数必然减少相同的人数,所以可以以此为等量关系列方程。
由于第二次竞赛的及格人数和第一次有关系,而第一次及格人数又和不及格人数有关系,所以可以设第一次不及格人数为未知数,进而可以表达出第二次的及格人数。
解:
设第一次不及格人数为x人,则第一次及格人数为(3x+4)人,那么第二次及格人数即为
(3x+4+5)人,第二次不及格人数为(x-5)
(3x+4+5)=6(x-5)
x=134x+4=56
答:
参加竞赛的有56人。
3、如图所示,蚂蚁和蜗牛同时从A点出发,沿着各自方向绕长方形行进,蚂蚁的速度为0.5米/分,蜗牛的速度为0.3米/分。
当蚂蚁达到C点时,蜗牛到达离C点1.2米处的E店,它们各行了及分钟?
解:
设它们各行了x分钟,那么,蚂蚁行的路程是0.5x,蜗牛行的路程是0.3x米。
由题意得0.5x=0.3x+1.2
0.2x=1.2
X=0.6
答:
它们各行了0.6分钟。
二、能力点评
培养学生的综合能力,能对一些跟古代数学有关、实际的行程问题的理解能力,建立方程并求解,题目本身不是很难,但是有一定的综合性。
学法升华
一、知识收获
1、首先是审题,确定未知数。
审题,理解题意。
就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。
特别要把牵涉到的一些概念术语弄清,如同向、相向、增加到、增加了等,并确立未知数。
即用x表示所求的数量或有关的未知量。
在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂,一般只需要直接把要求的数量设为未知数,如:
“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本,科技书有495本,文艺书有多少本?
”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道,所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。
2、寻找等量关系,列出方程是关键。
“含有未知数的等式称为方程”,因而“等式”是列方程必不可少的条件。
所以寻找等量关系是解题的关键。
如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的
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