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因式分解知识点归纳学习资料
因式分解
知识点回顾
1、因式分解的概念:
把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算
2、常用的因式分解方法:
(1)提取公因式法:
(2)运用公式法:
平方差公式:
;
完全平方公式:
(3)十字相乘法:
因式分解的一般步骤:
(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法;
(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法
5、同底数幂的乘法法则:
(都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:
6、幂的乘方法则:
(都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
如:
幂的乘方法则可以逆用:
即
如:
7、积的乘方法则:
(是正整数)
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如:
(=
8、同底数幂的除法法则:
(都是正整数,且
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
如:
9、零指数和负指数;
,即任何不等于零的数的零次方等于1。
(是正整数),即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如:
10、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
如:
11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即(都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。
]
如:
12、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
如:
三、知识点分析:
1.同底数幂、幂的运算:
am·an=am+n(m,n都是正整数).
(am)n=amn(m,n都是正整数).
例题1.若,则a=;若,则n=
例题2.若,求的值。
例题3.计算
练习
1.若,则=.
2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。
2.积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
例题1.计算:
3.乘法公式
平方差公式:
完全平方和公式:
完全平方差公式:
例题1.利用平方差公式计算:
2009×2007-20082
例题2.利用平方差公式计算:
.
3.(a-2b+3c-d)(a+2b-3c-d)
考点一、因式分解的概念
因式分解的概念:
把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算
1、下列从左到右是因式分解的是()
A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2
C.x2-1=(x+1)(x-1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c
2、若可以因式分解为,则k的值为______
3、已知a为正整数,试判断是奇数还是偶数?
4、已知关于x的二次三项式有一个因式,且m+n=17,试求m,n的值
考点二提取公因式法
提取公因式法:
公因式:
一个多项式每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式
找公因式的方法:
1、系数为各系数的最大公约数2、字母是相同字母
3、字母的次数-相同字母的最低次数
习题
1、将多项式分解因式,应提取的公因式是()
A、abB、C、D、
2、已知可因式分解为,其中a,b,c均为整数,则a+b+c等于()
A、-12B、-32C、38D、72
3、分解因式
(1)
(2)
(3)(4)
4、先分解因式,在计算求值
(1)其中x=1.5
(2)其中a=18
5、已知多项式有一个因式为,另一个因式为,求a+b的值
6、若,用因式分解法求的值
7、已知a,b,c满足,求的值。
(a,b,c都是正整数)
考点三、用乘法公式分解因式
平方差公式
运用平方差公式分解的多项式是二次项,这两项必须是平方式,且这两项的符号相反
习题
1、下列各式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A、B、C、D、
2、分解下列因式
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
(7)
3、若n为正整数,则一定能被8整除
完全平方式
运用完全平方公式分解的多项式是三项式,且符合首平方,尾平方,首尾两倍中间放的特点,其中首尾两项的符号必须相同,中间项的符号正负均可。
习题
1、在多项式①②③④中,能用完全平方公式分解因式的有( )
A、①②B、②③C、①④D、②④
2、下列因式分解中,正确的有( )
①②③④⑤
A、0个B、1个C、2个D、5个
3、如果是一个完全平方式,那么m应为()
A、-5B、3C、7D、7或-1
4、分解因式
(1)
(2)(3)
(4)(5)
(6)(7)4x2-12xy+9y2-4x+6y-3
5、已知,,求
6、证明代数式的值总是正数
7、已知a,b,c分别是的三边长,试比较与的大小
考点四、十字相乘法
(1)二次项系数为1的二次三项式中,如果能把常数项分解成两个因式的积,并且等于一次项系数的值,那么它就可以把二次三项式分解成
例题讲解1、分解因式:
分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=512
解:
=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式:
解:
原式=1-1
=1-6
(-1)+(-6)=-7
练习
分解因式
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
2、二次项系数不为1的二次三项式——
条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
=
例题讲解1、分解因式:
分析:
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
解:
=
分解因式:
(1)
(2)
(3)(4)
3、二次项系数为1的多项式
例题讲解、分解因式:
分析:
将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解:
==
分解因式
(1)
(2)(3)
4、二次项系数不为1的多项式
例题讲解
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解:
原式=解:
原式=
分解因式:
(1)
(2)
考点五、因式分解的应用
1、分解下列因式
(1)
(2)
(3)(4)
2、计算下列各题
(1)
(2)
3、解方程
(1)
(2)
4、如果实数,且,那么a+b的值等于________
5、
6、若多项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数a的值(写出3个)
7、先变形再求值
(1)已知,,求的值
(2)已知,求的值
8、已知a、b、c为三角形三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试说明该三角形是等边三角形
9、两个正整数的平方差等于195,求出这两个正整数
10、阅读下列因式分解的过程,回答问题
(1)上述分解因式的方式是_________,共用了______次。
(2)若分解,则需上述方法______次,结果为_______________________
(3)分解因式(n为正整数)
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