学年四川省高一下学期期中考试数学试题解析版10.docx
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学年四川省高一下学期期中考试数学试题解析版10
高一下学期期中考试数学试题
一、选择题
1.已知集合,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】因为所以,故选B.
2.已知,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】,则两边平方得,即,故选A.
3.已知向量,且,则()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】根据题意,向量,若,则有,解可得,故选A.
4.在数列中,,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,数列是周期为的周期数列,.故选C.
5.在下列区间中,函数的零点所在大致区间为()
A.B.C.()D.()
【答案】B
【解析】对于函数在上是连续函数,由于,故,故函数的零点所在的大致区间是,故选B.
6.下列命题正确的是()
A.若,则B.若,,则
C.若,则D.若,则
【答案】D
【解析】因为与没任何关系,所以A错误;当时,,故错误;若或则,但时,,故错误;若,则,则,即D正确,故选D.
7.已知的内角、、的对边分别为.若,,,且,则()
A.B.C.D.或
【答案】B
【解析】在中,由余弦定理得,或,故选B.
8.等差数列中,,则此数列的前20项的和()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,,,故选B.
9.将函数的图像向左平移个单位,得到函数的图像,则下列关于函数的说法正确的是()
A.奇函数B.周期是C.关于直线对称D.关于点对称
【答案】D
【解析】函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,可得函数是偶函数且周期为,所以选项A、B错误,又,所以选项D正确,故选D.
10.在中,内角、、所对的边分别为,若,则的形状为()
A.直角三角型B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】因为在中的内角所对的边分别为,若
所以,所以,可得,所以三角形是正三角形,故选C.
【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、特殊角的三角函数以及判断三角形形状,属于中档题.判断三角形状的常见方法是:
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;
(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
11.已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,则的大小关系为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】为偶函数;;;在上单调递减,并且;,故选A.
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性及比较大小问题,属于难题.解答比较大小问题,常见思路有两个:
一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间,);二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
12.定义在上的函数满足:
,当时,有,且.设,则实数与的大小关系为()
A.B.C.D.不确定
【答案】C
【解析】函数满足,令得;令得在为奇函数,单调减函数且在时,,则在时,,又,
,即,故选C.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:
①;②
;③;
④;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
二、填空题
13.已知各项均为正数的等比数列,满足,则__________.
【答案】
【解析】各项均为正数的因为是等比数列,所以,又因为各项均为正数,所以,故答案为.
14.若,且,则的值为__________.
【答案】
【解析】由得
,,则,故答案为.
15.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度m.
【答案】
【解析】试题分析:
由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
【考点】正弦定理及运用.
16.下列说法中,正确的有__________.(写出所有正确说法的序号)
①已知关于的不等式的角集为,则实数的取值范围是.
②已知等比数列的前项和为,则、、也构成等比数列.
③已知函数(其中且)在上单调递减,且关于的方程恰有两个不相等的实数解,则.
④已知,且,则的最小值为.
⑤在平面直角坐标系中,为坐标原点,则的取值范围是.
【答案】④⑤
【解析】对于①,时关于的不等式的解集也为,所以①错;对于②当,为偶数时,结论错误,故②错,对于③,
是上的单调递减函数,在上单调递减,在上单调递减,且上的最小值大于或等于,解得,作出和的函数如图所示:
恰有两个不相等的实数解,,即,综上,.故③错;对于④;,故④正确;对于⑤,可得,,再由可得的夹角为,同理的夹角、的夹角都是,设,则,则,所以的取值范围是,故⑤正确,故答案为.
【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断综合考查不等式、数列、函数、向量、三角函数以及数学化归思想,属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题,综合性较强,同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”,解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清,其次先从最有把握的命题入手,最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
三、解答题
17.已知等差数列中,.等比数列的通项公式.
(I)求数列的通项公式;
(II)求数列的前项和.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(I)根据列出关于与的方程组,求出与的值进而可得数列的通项公式;(II)由(I)知,,利用分组求和法,分别求出等差、等比数列列的和即可得结果.
试题解析:
(I)由题知,
解得,
所以.
(II)由(I)知,,
所以
,
从而.
【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项公式及利用“分组求和法”求数列前项和,属于中档题.利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种:
一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.
18.已知向量.
(I)若,求的值.
(II)求的最大值.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(I)根据已知,可得,进而可得结果;(II),,根据三角函数有界性可得结果.
试题解析:
(I)由题,所以,
从而.
(II)因,所以,
,
因为,所以,
从而,
所以.
19.已知.
(I)求的值;
(II)求的值.
【答案】
(1)
(2)12
【解析】试题分析:
(I)根据可得结果;(II)由,得,进而利用正弦、余弦的二倍角公式可得结果.
试题解析:
(I)由题知.
所以.
(II)因为,所以.
所以.
20.经过长期观测得到:
在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量(千辆/)与汽车的平均速度之间的函数关系式为.
(I)若要求在该段时间内车流量超过2千辆/,则汽车在平均速度应在什么范围内?
(II)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?
最大车流量为多少?
【答案】(I)如果要求在该时段内车流量超过2千辆/,则汽车的平均速度应该大于且小于.
(II)当时,车流量最大,最大车流量约为(千辆/).
【解析】试题分析:
(I)直接列出关于汽车的平均速度的不等式求解即可;(II),根据基本不等式求解即可.
试题解析:
(I)由条件得,
整理得到,
即,解得.
(II)由题知,.
当且仅当即时等号成成立.
所以(千辆/).
答:
(I)如果要求在该时段内车流量超过2千辆/,则汽车的平均速度应该大于且小于.
(II)当时,车流量最大,最大车流量约为(千辆/).
21.设.
(I)求的单调递增区间;
(II)在锐角中,、、的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】
(1)
(2)
【解析】试题分析:
(I)函数可化为,根据正弦函数的单调性求解即可;(II)由可得,再由余弦定理可得,根据基本不等式可求得的最大值,结果进而可得.
试题解析:
(I)由题意知.
由可得.
所以函数的单调递增区间是.
(II)由,得到,
由题知为锐角,所以.
由余弦定理:
,可得.
,则,当且仅当时等号成立.
因此,
所以面积最大值为.
22.已知正项数列的前项和为,对任意,点都在函数的图像上.
(I)求数列的首项和通项公式;
(II)若数列满足,求数列的前项和;
(III)已知数列满足.若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】
(1)
(2)(3)
【解析】试题分析:
(I)由点都在函数的图像上,可得,进而得,两式相减可得结论.;(II)由(I)知,所以,利用错位相减法可得结果;(III),利用分组求和及裂项相消法可得,进而利用不等式恒成立解答即可.
试题解析:
(I)由题知,当时,,所以.
,所以,两式相减得到
,
因为正项数列,所以,
数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以.
(II)由(I)知,所以,
因此①,
②,
由①-②得到
所以.
(III)由(II)知,所以
.令为的前项和,易得.
因为,当时,
,而,得到
,所以当时,,所以.
又,的最大值为.
因为对任意的,存在,使得成立.
所以,由此.
【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和,以及不等式恒成立问题,属于难题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:
①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
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