四五奥术.docx
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四五奥术
会顶教育
数学四升五
目录
第一讲速算与巧算2
第二讲平均数3
第三讲鸡兔同笼问题4
第四讲倒推法的妙用7
第五讲火车过桥9
第六讲相遇问题综合题11
第七讲追及问题综合题12
第八讲流水行船问题14
第九讲几何中的计数问题16
第十讲必胜策略19
第十一讲逻辑推理&期末复习22
第十二讲综合复习小测验25
第一讲速算与巧算
一、本讲目标:
掌握速算与巧算技巧,提高解题效率,训练观察能力,思维灵活度,敏捷度。
二、典型例题
例1计算9+99+999+9999+99999
例2计算199999+19999+1999+199+19
例3计算1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)
例4计算389+387+383+385+384+386+388
例5计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
例6计算54+99×99+45
例7计算9999×2222+3333×3334
例81999+999×999
例9(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
自我挑战
1.计算899998+89998+8998+898+88
2.计算799999+79999+7999+799+79
3.计算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+1987)
4.计算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993
5.时钟1点钟敲1下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下?
6.求出从1~25的全体自然数之和.
7.计算1000+999—998—997+996+995—994—993+…+108+107—106—105+104+103—102—101
8.计算92+94+89+93+95+88+94+96+87
9.计算54÷32×16
第二讲平均数
把一个整体分成几份,如把一个西瓜切成几块,如果每一块的大小都相同,就叫把一个整体平均分成几份。
如果大小不等,就不是平均地分割的。
例1有一头母猪产下12头猪娃,先产下的6头恰好每头都重4千克,后产下的3头每头都重3千克,最后3头每头都重1千克。
那么,这群猪娃平均每头重多少千克?
分析虽然只有3种重量,却不是只有3头猪。
所以要先计算12头猪娃的总重量,再平均分配成12份,这才是每头的平均重量。
解4×6+3×3+1×3
=24+9+3
=36(千克)
36÷12=3(千克)
答这群猪娃平均每头重3千克。
例2有位小学生特别喜爱数学,他要求自己在一周内平均每天练8道数学题。
星期一至星期四每天都已练9道,星期五参加钢琴比赛没有练数学,星期六练10道题,那么,这个星期日要练几道才达到要求?
解每周的总数8×7=56(道)
已完成的数9×4+10=46(道)
星期日的数56—46=10(道)
答按要求在星期日要练10道数学题。
例3一条大河上游与下游的两个码头相距240千米,一艘航船顺流而下的速度为每小时航行30千米,逆流而上的速度为每小时航行20千米。
那么这艘船在两码头之间往返一次的平均速度是多大?
解总航程240×2=480(千米)
总时间240÷30+240÷20
=8+12
=20(小时)
平均速度480÷20=24(千米)
答往返一次的平均速度为每小时航行24千米。
例4有2个班,每班的学生数相等。
其中一个班平均每人9岁,另一个班平均每人11岁。
那么这两个班的学生平均每人几岁?
不妨假设每班有30人,则总岁数为9×30+11×30=600(岁),总人数为30+30=60(人),平均年龄为600÷60=10(岁)。
如果设每班有10人,就可列式计算如下:
(9×10+11×10)÷(10+10)
=200÷20
=10(岁)
那么更简单些,可设每班1人,则
(9×1+11×1)÷(1+1)
=20÷2
=10(岁)
三种假设得的结果都相等,因为其中有一个特殊条件,即:
两班学生每班人数都相同。
这是一种求平均数的特殊情况。
两班的人数要是不相同就不能简单地对两种年龄求平均数。
解由于两班中每班人数相同,可在各班抽出一人,并且年龄为各班的平均数。
(9+11)÷(1+1)
=20÷2
=10(岁)
答两班学生平均年龄为10岁。
第三讲鸡兔同笼问题
“鸡兔同笼”问题小朋友们听说过吗?
这是一类著名的数学问题。
比如:
“鸡兔同笼,共有45个头,146只脚。
笼中各有多少只鸡兔?
”鸡兔同笼问题的特点是:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。
解题时,首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系,用一个未知数代替另一个未知数,从而将两个未知数装化为一个未知数,从而解出答案。
例【1】鸡兔同笼,共有45个头,146只脚。
笼中鸡兔各有多少只?
有28只。
当然,我们也可以把45只都假设成是鸡,把以上问题反过来考虑。
解法一假设全是兔子。
(4×45-146)÷(4-2)=17(只)——鸡
45-17=28(只)——兔
解法二假设全是鸡。
(146-2×45)÷(4-2)=28(只)——兔
45-28=17(只)——鸡
答:
鸡有17只,兔子有28只。
例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个,共重266克,已知大钢珠每个11克,小钢珠每个7克。
盒中大钢珠、小钢珠各有多少个?
小钢珠的个数是:
64÷(11-7)=16(个)
大钢珠的个数是:
30-16=14(个)
同样,也可以假设全部都是小钢珠。
算法一样。
解法一假设全是大钢珠。
(30×11-266)÷(11-7)=16(个)——小钢珠
30-16=14(个)——大钢珠
解法二假设全是小钢珠。
(266-30×7)÷(11-7)=14(个)——大钢珠
30-14=16(个)——小钢珠
例【3】一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张,总值18元8角。
这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?
解10分一张的邮票的张数有:
(2000-1880)÷(20-10)=12(张)
20分一张的邮票张数有:
100-12=88(张)
答:
10分一张的邮票有12张,20分一张的邮票有88张。
例【4】学校买来3个排球和2个足球,共花去111元。
每个足球比每个排球贵3元。
每个排球和每个足球各多少元?
解每个排球的价钱:
(111-3×2)÷(3+2)=21(元)
每个足球的价钱:
21+3=24(元)
答:
每个排球的价钱是21元,每个足球的价钱是24元。
同样,这道题也可以将3个排球换成3个足球来考虑。
例【5】买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。
如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元,问两种笔每支各多少元?
解一支圆珠笔的价钱:
5+(8÷2)×3=17(支)
17÷17=1(元)
一支钢笔的价钱:
1×8÷2=4(元)
答:
一支钢笔4元,一支圆珠笔1元。
小结解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。
通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数,然后根据已知条件进行假设性的运算,直到求出结果。
概括起来,解“鸡兔同笼问题”的基本公式是:
鸡数=(每只兔脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)
兔数=鸡兔总数-鸡数
自我挑战
(1).三个数的平均数是120,加上一个什么数,四个数的平均数是115。
(2).有6个数排成一列,他们的平均数是27,前四个数的平均数是23,后三个数的平均数是34,求第四个数是多少?
(3).一次数学测验,六
(1)班全班平均91分,男生平均89分,女生平均92.5分,这个班女生有24人,男生有多少人?
(4).学校买来4个篮球和5个排球,一共用了185元,一个篮球比一个排球贵8元。
篮球的单价是多少元?
(5).张大伯卖废纸得到240元,有2元,5元和10元这3种面值的人民币50张,其中2元面值和5元面值的张数同样多。
10元面值的有多少张?
(6).小明参加数学竞赛,竞赛题共有20道,每做对一题加5分,每做错一题或不答题倒扣2分,结果张明得了86分。
小明答对了多少题?
第四讲倒推法的妙用
一、本讲目标:
学习倒推法。
在分析应用题的过程中,倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发,利用已知条件一步一步倒着分析、推理,直到解决问题.
二、典型例题
例1一次数学考试后,李军问于昆数学考试得多少分。
于昆说:
“用我得的分数减去8加上10,再除以7,最后乘以4,得56。
”小朋友,你知道于昆得多少分吗?
例2马小虎做一道整数减法题时,把减数个位上的1看成7,把减数十位上的7看成1,结果得出差是111.问正确答案应是几?
例3树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上,这时三棵树上鸟的只数相等.问:
原来每棵树上各落多少只鸟?
例4篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问:
篮子里原有梨多少个?
例5甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来,售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍;然后从乙桶倒一部分给甲桶,使甲桶油也增加一倍,这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问:
售货员从两个桶里各卖了多少千克油?
例6菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克,结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克?
自我挑战
1.某数除以4,乘以5,再除以6,结果是615,求某数.
2.生产一批零件共560个,师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个?
3.有砖26块,兄弟二人争着挑.弟弟抢在前,刚刚摆好砖,哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多,就抢过一半.弟弟不肯,又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服,弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问:
最初弟弟准备挑几块砖?
4.阿凡提去赶集,他用钱的一半买肉,再用余下钱的一半买鱼,又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱,他说:
“买菜的钱是1、2、3;3、2、1;1、2、3、4、5、6、7的和;加7加8,加8加7、加9加10加11。
”你知道阿凡提一共带了多少钱?
买鱼用了多少钱?
第五讲火车过桥
一、本讲目标
火车过桥问题是行程问题的一种,也有路程、速度与时间之间的数量关系,同时还涉及车长、桥长等问题。
二、典型例题
例1一列火车长150米,每秒钟行19米。
全车通过长800米的大桥,需要多少时间?
课堂练习
一列火车长200米,它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道,从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒?
例2一列火车长200米,以每秒8米的速度通过一条隧道,从车头进洞到车尾离洞,一共用了40秒。
这条隧道长多少米?
课堂练习
一支队伍1200米长,以每分钟80米的速度行进。
队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末尾传达命令。
问联络员每分钟行多少米?
例3一列火车长119米,它以每秒15米的速度行驶,小华以每秒2米的速度从对面走来,经过几秒钟后火车从小华身边通过?
课堂练习
一人以每分钟60米的速度沿铁路步行,一列长144米的客车对面开来,从他身边通过用了8秒钟,列车的速度是每秒多少米?
例4一列火车通过530米的桥需40秒钟,以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟。
求这列火车的速度是每秒多少米?
车长多少米?
课堂练习
一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速度和车身长各是多少?
例5快车每秒行18米,慢车每秒行10米。
现两列火车同时同方向齐头行进,经过10秒后,快车超过慢车;如果两车车尾相齐行进,则7秒后,快车超过慢车。
求两列火车的车身长度各是多少米?
课堂练习快车每秒行12米,慢车每秒行8米。
现两列火车同时同方向齐头行进,经过15秒后,快车超过慢车;如果两车车尾相齐行进,则12秒后,快车超过慢车。
求两列火车的车身长度各是多少米?
家庭作业
1、一列火车长700米,以每分钟400米的速度通过一座长900米的大桥.从车头上桥到车尾离要多少分钟?
2、一座铁路桥全长1200米,一列火车开过大桥需花费75秒;火车开过路旁电杆,只要花费15秒,那么火车全长是多少米?
3、铁路沿线的电杆间隔是40米,某旅客在运行的火车中,从看到第一根电线杆到看到第51根电线杆正好是2分钟,火车每小时行多少千米?
第六讲相遇问题综合题
一、本讲目标
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.
在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,并且已经了解到:
上述三个量之间存在这样的基本关系:
路程=速度×时间.因此,在这一讲中,我们将在前面学习的基础上,主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题,也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题,指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题;所谓相背问题,指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题,下面,我们来具体看几个例子。
解题时,可以画图帮助分析。
二、典型例题
例1甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,问:
二人几小时后相遇?
例2一列货车早晨6时从甲地开往乙地,平均每小时行45千米,一列客车从乙地开往甲地,平均每小时比货车快15千米,已知客车比货车迟发2小时,中午12时两车同时经过途中某站,然后仍继续前进,问:
当客车到达甲地时,货车离乙地还有多少千米?
例3两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发现:
从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求乙车的车长.
例4甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶,并且在到达对方出发点后,立即沿原路返回,途中两车在距A地48千米处第二次相遇,问两次相遇点相距多少千米?
例5甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行,甲骑车,乙步行,在行走过程中,甲的车发生故障,修车用了1小时.在出发4小时后,甲、乙二人相遇,又已知甲的速度为乙的2倍,且相遇时甲的车已修好,那么,甲、乙二人的速度各是多少?
例6甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时,8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇,求丙车的速度.
自我挑战
1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发,相向而行,已知甲车到达B城需4小时,乙车到达A城需6小时,问:
两车出发后多长时间相遇?
2.东、西镇相距45千米,甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行,甲比乙每小时多行1千米,5小时后两人相遇,问两人的速度各是多少?
3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离.
4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行,甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇,又已知甲比乙每小时快2千米,求甲、乙二人的速度.
5.一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢车的车长为385米,坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少?
6、有2辆火车,相向而行,甲车上乘客从看见乙车车头到看见乙车车尾共用了6秒钟,已知甲车每小时行45千米,乙车每小时行36千米,求乙车的全长。
第七讲追及问题综合题
一、本讲目标
在本讲中,我们研究两个运动物体作方向相同的运动时,路程、速度、时间这三个基本量之间有什么样的关系。
解题时,可以画图帮助分析。
二、典型例题
例1下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?
(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家).
例2甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙;若甲让乙先跑2秒钟,则甲跑4秒钟就能追上乙.问:
甲、乙二人的速度各是多少?
例3某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走,这时有一列长520米的火车从背后开来,此人在行进中测出整列火车通过的时间为42秒,而在这段时间内,他行走了68米,则这列火车的速度是多少?
例4某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长105米,每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米?
边学边练
一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行,一列长144米的客车从他身后开来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度。
例5某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒,若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟?
例6幸福村小学有一条200米长的环形跑道,冬冬和晶晶同时从起跑线起跑,冬冬每秒钟跑6米,晶晶每秒钟跑4米,问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米,第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈?
例7军事演习中“我”海军英雄舰追击“敌”军舰,追到A岛时,“敌”舰已在10分钟前逃离,“敌”舰每分钟行驶1000米,“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米,在距离“敌”舰600米处可开炮射击,问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?
自我挑战
1.解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时6千米的速度向某地前进,6小时后,部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络,问多少时间后,通讯员能赶上先遣队?
2.小明以每分钟50米的速度从学校步行回家,12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明,结果在距学校1000米处追上小明,求小强骑自行车的速度.
3.甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米?
这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米?
4.两人骑自行车从同一地点出发沿着长900千米环形路行驶,如果他们反向而行,那么经过2分钟就相遇,如果同向而行,那么每经过18分钟快者就追上慢者,求两人骑车的速度?
第八讲流水行船问题
一、本讲目标:
船在江河里航行时,除了本身的前进速度外,还受到流水的推送或顶逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水行船问题。
流水行船问题,是行程问题中的一种,因此行程问题中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到.此外,流水行船问题还有以下两个基本公式:
顺水速度=船速+水速,
(1)
逆水速度=船速-水速.
(2)
这里,船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程.水速,是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系,
由公式(l)可以得到:
水速=顺水速度-船速,船速=顺水速度-水速。
由公式
(2)可以得到:
水速=船速-逆水速度,船速=逆水速度+水速。
这就是说,只要知道了船在静水中的速度,船的实际速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量。
另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式
(1)和公式
(2),相加和相减就可以得到:
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,水速=(顺水速度-逆水速度)÷2。
二、典型例题
例1甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。
例2某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
例3甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港需35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船,静水中速度是每小时12千米,这机帆船往返两港要多少小时?
例4小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?
例5甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?
如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?
自我挑战
1.甲、乙之间的水路是234千米,一只船从甲港到乙港需9小时,从乙港返回甲港需13小时,问船速和水速各为每小时多少千米?
2.一艘每小时行25千米的客轮,在大运河中顺水航行140千米,水速是每小时3千米,需要行几个小时?
3.一只小船静水中速度为每小时30千米.在176千米长河中逆水而行用了11个小时.求返回原处需用几个小时。
4.一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速。
5.两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时.逆流而上,行完全程需要16小时,求这条河水流速度。
6.A、B两码头间河流长为90千米,甲、乙两船分别从A、B码头同时启航.如果相向而行3小时相遇,如果同向而行15小时甲船追上乙船,求两船在静水中的速度。
第九讲几何中的计数问题
一、本讲目标
几何中的计数问题包括:
数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等.通过这一讲的学习,可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯,逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力.
二、典型例题
(一)数线段
我们把直线上两点间的部分称为线段,这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素.因此,观察图形中的线段,探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系,对于了解图形、分析图形是很重要的.
例1数一数下列图形中各有多少条线段.
(二)数角
例2数出右图中总共有多少个角.
例3数一数右图中总共有多少个角?
(三)数三角形
例4如右图中,各个图形内各有多少个三角形?
例5如右图中,数一数共有多少条线段?
共有多少个三角形?
例6如右图中,共有多少个角?
自我挑战
1.数一数下图中,各有多少条线段?
2.数一数下图中各有多少角?
3.数一数下图中,各有多少条线段?
4.数一数下图中,各有多少条线段,各有多少个三角形
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- 四五
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