全国初中数学竞赛试题选编.docx
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全国初中数学竞赛试题选编
重庆市2002年初一数学竞赛试题
一、填空题(每小题6分,共36分,请将各题的答案直接填在题中的横线上)
1、计算:
-|-5|+(-3)3÷(-22)=____________.
2、如果m、n满足|3m-6|+(n+4)2=0,则mn=__________.
3、甲、乙、丙三人到李老师那里学钢琴,甲每6天去一次,乙每8天去一次,丙每9天去一次,如果7月10日他们三人学钢琴时在李老师见面,那么下一次他们学钢琴在李老师处见面的时间是________月_______日。
4、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27,则x的值是________。
5、现有某物质73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走,且每辆车都要装满,已知载重量7吨的卡车每台车运费65元,载重量5吨的卡车每台车运费50元,则最省的运费是_________元。
6、如图,正方形ABCD面积为36cm2,P为BC边上的一点,M为AP的中点,N为PD上的一点,且PN=2DN,则△MND的面积是_____________。
二、选择题(每小题6分,共36分)
1、有理数a等于它的倒数,则a2002是( )
A、最大的负数 B、最小的非负数
C、绝对值最小的整数 D、最小的正整数
2、下图是一个正方形的纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形,正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图应当是( )
3、如图,从A点到B点(只从左向右,从上到下),共有( )种不同的走法。
A、24 B、20 C、16 D、12
A
B
4、某种出租车的收费标准是:
起步价是5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费),超过3千米以后,每增加0.5千米,加收0.9元,(不足0.5千米按0.5千米计),某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.5元,则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是( )千米。
A、12 B、11 C、10 D、9
5、五位老朋友a、b、c、d、e在公园聚会,见面时候握手致意问候,已知:
a握了4次,b握了1次,c握了3次,d握了2次,到目前为止,e握了( )次。
A、1 B、2 C、3 D、4
6、某商场国庆期间举行优惠销售活动,采取“满一百元送二十元,并且连环赠送”的酬宾方式,即顾客每消费满100元(100元可以是现金,也可以是购物券,或二者合计)就送20元购物券,满200元就送40元购物券,依次类推,现有一位顾客第一次就用了16000元购物,并用所得购物券继续购物,那么他购回的商品大约相当于打( )销售。
A、9折 B、8.5折C、8折 D、7.5折
三、解答题(每小题14分,共28分)
1、一个盒子里装有不多于200颗糖,如果每次2颗,3颗,4颗或6颗地取出,最终盒内都只剩一颗糖,如果每次11颗地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少颗糖?
2、某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车,第一辆出租车出发后,每隔4分钟就有一辆出租汽车开出,在第一辆汽车一出2分钟后,有一辆出租汽车进站,以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站,回站的出租汽车,在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆,问:
第一辆出租汽车开出后,经过最少多少时间,车站不能正点发车?
2003年全国初中数学联赛第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.2√(3-2√2)+√(17-12√2)等于
A.5-4√2B.4√2-1C.5D.1
2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是
A.0B.1C.3D.5
3.若函数y=kx(k>0)与函数y=1/x的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为
A.1B.2C.kD.k2
4.满足等式x√y+y√x-√(2003x)-√(2003y)+√(2003xy)=2003的正整数对的个数是
A.1B.2C.3D.4
5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且AD/AB=1/3.若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为3/4,则CE/EA的值为
A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5
6.如图,在平行四边形ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为
A.3B.4C.15/4D.16/5
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,
则ac=__________.
2.设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-9/5而小于3/7,则m=____________.
3.如图AA',BB',分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若AA'=BB'=AB,则∠BAC的度数为_____________.
4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________.
2004年全国初中数学联赛第一试
一.选择题
1.已知abc≠0,且a+b+c=0,则代数式的值是a2/(bc)+b2/(ca)+c2/ab()
(A)3(B)2(C)1(D)0
2.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是()
(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形
3.一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则a/b的值等于()
(A)(√3+1)/2(B)(√5+1)/2(C)(√3+2)/2(D)(√5+2)/2
4.过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作()
(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条
5.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为()
(A)ab≥1/8(B)ab≤1/8(C)ab≥1/4(D)ab≤1/4
6.在2×3矩形方格纸上,各个小方格(正方形)的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为()
(A)24(B)38(C)46(D)50
二.填空题
1.计算1/(1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+…+1/(√4+√5)=________.
2.四边形ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以对角线BC为直径的半圆交于正方形内的一点P,延长AP交BC于点N,则BN/NC=____.
3.实数a,b满足a3+b3+3ab=1,,则a+b=______.
4.设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则m=_______.
2000年全国初中数学联赛第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、计算√(14+6√5)+√(14-6√5)的值是()。
(A)1;(B)√5;(C)2√5;(D)5。
2、若x/3y=y/(2x-5y)=(16x-15y)/x,则(4x2-5xy+6y2)/(x2-2xy+3y2)的值是()。
(A)9/2;(B)9/4;(C)5;(D)6。
3、设a,b是不相等的任意正数,又x=(b2+1)/a,y=(a2+1)/b则这两个数一定()。
(A)都不大于2;(B)都不小于2;(C)至少有1个大于2;(D)至少有1个小于2。
4、正整数小于100,并满足等式[n/2]+[n/3]+[n/6],其中[x]表示不超过x的最大整数,这样的正整数n有()。
(A)2个;(B)3个;(C)12个;(D)16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于()。
(A)4;(B)6;(C)8√2;(D)10√2/3。
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于P且BP=8,∠APD=60°,则R等于()。
(A)10;(B)2√21;(C)12√2;(D)14。
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1、a,b是正数,并且抛物线y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都与x轴有公共点,则a2+b2的最小值是________。
2、某果品店组合销售水果,甲种搭配:
2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:
3千克A水果,8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:
2千克A水果,6千克B水果,l千克C水果。
A水果价格每千克2元,B水果价格每千克1.2元,C水果价格每千克10元。
某天该店销售三种搭配共得441.2元,其中A水果的销售额为116元,则C水果的销售额为________元。
3、实数x,y满足x≥y≥1和2x2-xy-5x+y+4=0,则x+y=________。
4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是边BC上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记为S和T,则S2-T2=___。
2001年全国初中数学联赛第一试
一、选择题(每小题7分,共42分)
1、a,b,c为有理数,且等式a+b√2+c√3=√(5+2√6)成立,则2a+999b+1001c的值是()
(A)1999(B)2000(C)2001(D)不能确定
2、若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则a/b的值是()
(A)9/5(B)5/9(C)-2001/5(D)-2001/9
3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为()
(A)2+√3(B)2-√3(C)3/10(D)√3-√2
4、在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是()
(A)AD·BC=AB·BD(B)AB2=AD·AC(C)∠ABD=∠ACB(D)AB·BC=AC·BD
5、①在实数范围内,一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x=-b/2a±√(b2-4ac)/2a;②在△ABC中,若AC2+BC2>AB2,则△ABC是锐角三角形;③在△ABC和△A'B'C'中,a,b,c分别为△ABC的三边,分别为的三边,若a>a',b>b',c>c',则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'。
以上三个命题中,假命题的个数是()
(A)0(B)1(C)2(D)3
6、某商场对顾客实行优惠,规定:
①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物,分别付款168元和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是()
(A)522.8元(B)510.4元(C)560.4元(D)472.8
二、填空题(每小题7分,共28分)
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为______。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为______。
3、已知x,y是正整数,并且xy+x+y=23则x2+y2=______。
(非原题)
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为______
2002年全国初中数学联赛第一试
一、选择题(本题42分,每小题7分)
1、已知a=√2-1,b=2√2-√6,c=√6-2,那么a,b,c的大小关系是()
(A)a
2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为()
(A)1(B)0(C)-1(D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则()
(A)M>0(B)M=0(C)M<0(D)不能确定M为正、为负或为0
4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=900;,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为()
(A)18(B)20(C)22(D)24
5、圆O1与O2圆外切于点A(前者的半径小于后者的半径),两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则圆O1与圆O2的半径之比为()
(A)2:
5(B)1:
2(C)1:
3(D)2:
3
6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k的最小值为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
二、填空题(每小题7分,共28分)
1、已知a<0,ab<0,化简,1/(|a-b-3√2|-|b-a+√3|)=________。
2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为_________。
3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有_______件。
4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有________对。
1996年全国初中数学联赛第一试
注释:
“√”表示根号,“/”表示分数线。
一、选择题
1.实数a、b满足ab=1,记M=1/(1+a)+1/(1+b),N=a/(1+a)+b/(1+b),则M与N的关系是:
A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定
2.设正整数a,m,n满足√(a2-4√2)=√m-√n,则这样的a,m,n的取值
A.有一组B.有二组C.多于二组D.不存在
3.A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB是圆O的切线,B是切点,弦BC∥OA,则△ABC与圆O重合的面积等于
A.2π/9B.π/6C.π/6+√3/8D.π/4-√3/8
4.设r、s是二次方程x2+x-3=0的两个根,那么r3-4s2+19的值等于
A.-4B.8C.6D.0
5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的
A.内心B.外心C.重心D.垂心
6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有
A.4个B.8个C.12个D.24个
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.实数x,y同时满足y=1/x及y=|x|+1,则x+y=_____.
2.在△ABC中,AB=AC,线段AC上点N,线段NC上取点M,若∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a,则点N到边BC的距离等于______.
3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,对任意实数x,f(x)表示x的立方根,若f(1995x3+1996y3+1997z3)=f(1995)+f(1996)+f(1997),则1/x+1/y+1/z=_______.
4.将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至A'B'C'D'的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______.
1997年全国初中数学联赛第一试
注释:
“√”表示根号,“/”表示分数线。
一.选择题
1.
(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;(3)a2的平方根是±|a|;(4)大于直角的角一定是钝角.上述四个命题中,正确的有
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个.
2.已知4/(√3+√2)<x<4/(√5-√3),那么满足上述不等式的整数x的个数是
(A)4(B)5(C)6(D)7.
3.若实数a,b,c满足a2+b2+c2=9,代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是
(A)27(B)18(C)15(D)12.
4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是
(A)4(B)5(C)6(D)7.
5.在梯形ABCD中,AD=DC,∠B=30o,∠C=60o,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF
之值为
(A)4(B)9/2(C)5(D)6.
6.如图,已知∠A=∠B,AA1,PP1,BB1均垂直于A1B1,AA1=17,PP1=16,BB1=20,A1B1=12则AP+PB等于
(A)12(B)13(C)14(D)15
二、填空题
1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是________.
2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b=a(3a-8)的整数b的个数是_________.
3.若a,b满足3√a+5|b|=7,则S=2√2-3|b|的取值范围是________.
4.若正整数x,y满足x2+y2,则x+y等于___________.
1998年全国初中数学联赛第一试
一、选择题:
(每小题6分,共30分)
1、已知a、b、c都是实数,并且a>b>c,那么下列式子中正确的是()
A.ab>bcB.a+b>b+cC.a-b>b-cD.a/c>b/c
2、如果方程x2+px+1=0的两根之差是1,那么p的值为()
A.2B.4C.√3D.√5
3、在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于()
A.12B.14C.16D.18
4、已知abc≠0,并且(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b=p,那么直线y=px+p一定通过第()象限
A.一、二B.二、三C.三、四D.一、四
5、如果不等式9x-a≥0>8x-b的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式的整数a、b的有序数对(a、b)共有()
A.17个B.64个C.72个D.81个
二、填空题:
(每小题6分,共30分)
6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=___________。
7、已知直线y=-2x+3与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。
9、已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数),至少有一个整数根,那么a=___________。
10、B船在A船的西偏北450处,两船相距10√2km,若A船向西航行,B船同时向南航行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是___________km。
1999年全国初中数学联赛第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、计算
的值是()
(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。
2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是()
(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。
3、设b>a,将一次函数y=bx+a与y=ab+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a,b的值,使得下列4个图中的一个为正确的是()
4、若函数y=(x2-100x+196+|x2-100x+196|),则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时,函数值的和是()
(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。
5、在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,腰AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为()
(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。
6、有下列三个命题:
(甲)若a,b是不相等的无理数,则ab+a-b是无理数;(乙)若a,b是不相等的无理数,则(a-b)/(a+b)是无理数;(丙)若a,b是不相等的无理数,则a的算术平方根与b的立方根的和是无理数。
其中正确命题的个数是()。
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。
1、已知(b-c)2/4=(a-b)(c-a)且a≠0,则(b+c)/a=________。
2、在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则△ANM的最小角等于________。
3、已知a,b为整数,且满足
,则a+b=________。
4、在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。
1993年全国初中数学联赛第一试
一、选择题
1.多项式x12-x6+1除以x2-1的余式是
(A)1(B)-1(C)x-1(D)x+1
2.对于命题
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设x是实数,y=|x+1|-|x-1|.下列四个结论:
Ⅰ.没有最小值;Ⅱ.只有一个使取到最小值;Ⅲ.有有限多个(不止一个)使取到最大值;Ⅳ.有无穷多个使取到最小值.
其中正确的是
(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ
4.实数a,b,c,d,e满足:
a+b+c=A,b+c+d=B,c+d+e=C,d+e+a=D,e+a+b=E,如果A>B>C>D>E,则a,b,c,d,e的大小顺序是
(A)a>b>c>e>d(B)d>b>a>c>e(C)c>a>d>b>e(D)e>c>a>d>b.
5.不等式x-1<(x-1)2<3x+7的整数解的个解
(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5
6.在△ABC中∠A是钝角,O是垂心,AO=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是
(A)-√2/2(B)√2/2(C)√3/2(D)1/2.
7.锐角△ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距
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