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投资学6投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择
最优投资组合选择的进程确实是投资者将财富分派到不同资产从而使自己的效用达到最大的进程。
但是,在进行这一决策之前,投资者第一必需弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择和这些资产组合的风险-收益特点是什么。
尽管市场中金融资产的种类千差万别,但从风险-收益的角度看,咱们能够将这些资产分为两类:
无风险资产和风险资产。
如此一来,市场中可能的资产组合就有如下几种:
一个无风险资产和一个风险资产的组合;两个风险资产的组合;一个无风险资产和两个风险资产的组合。
下面别离讨论。
一、一个无风险资产和一个风险资产的组合
当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候,咱们能够假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w,投资到无风险资产上的财富比例为1-w,如此一来,投资组合的收益就能够够写为:
其中,为风险资产收益,这是一个随机变量;为无风险资产的收益,这是一个常数。
如此,资产组合的期望收益和标准差就能够够写出下述形式:
(因为,=0)
其中为风险资产的标准差。
依照上两式,咱们能够消掉投资权重,并取得投资组合期望收益与标准差之间的关系:
3-1
当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时,上式确实是资产组合因此可能的风险-收益集合,又称为投资组合的可行集合。
在期望收益-标准差平面上,3-1是一条直线,咱们称这条直线为资本配置线。
随着投资者改变风险资产的投资权重,资产组合就落在资本配置线上的不同位置。
具体来讲,若是投资者将全数财富都投资到风险资产上,资产组合的期望收益和方差确实是风险资产的期望收益和方差,资产组合与风险资产重合。
若是投资者将全数财富都投资在无风险资产上,资产组合的期望收益和方差确实是无风险资产的期望收益和方差,资产组合与无风险资产重合。
风险资产与无风险资产将配置线分为三段,其中,无风险资产和风险资产之间的部份意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值;现在。
风险资产的右边的部份意味着投资者以无风险收益率借入部份资金,然后将其全数财富和借入的资金一路投资到风险资产中。
现在。
由于咱们没有考虑卖空风险资产的问题,因此不存在的情形。
资本配置线的斜率等于资产组合每增加一单位标准差所增加的期望收益,即每单位额外风险的额外收益。
因此咱们有时也将这一斜率称为报酬与波动性比率。
在资本配置线的推导中,咱们假设投资者能以无风险收益率借入资金。
但是,在实际的资本市场中,投资者在银行的存贷利率是不同的。
一样来讲,存款利率要低于贷款利率。
因此若是把存款利率视为无风险收益率,那么投资者的贷款利率就要高于无风险资产收益率。
在这种情形下,资本配置线就变成一条折线。
咱们能够假设无风险资产收益率为,投资者向银行贷款的利率为。
在这种情形下,假设投资者需要借入资金投资到风险资产时,资本配置线的斜率就应该等于,该斜率小于。
现在,在期望-收益差平面上,资本配置线就变成了如下的形状。
其中资本配置线在风险资产右边的斜率要低于其左侧部份。
二、两个风险资产的组合
当市场中的资产是两个风险资产时,比如一只股票和一个公司债券,且投资到股票上的财富比例为w,咱们能够将该资产组合的收益写为:
现在资产组合的期望收益和标准不同离为:
其中为股票和债券收益率的相关系数。
现在,依照期望的表达式,咱们能够求出投资权重为:
将其代入到标准差方程,能够取得该资产组合期望收益和标准差之间的关系式:
3-2
其中
当市场中存在两个风险资产的情形下,3-2描述了资产组合所有可能的期望收益和标准差的组合,当取不同的值时,上述关系是在期望收益-标准差平面中的形状也有所不同,咱们对此分三种情形进行讨论。
(1)=1
在这种情形下,两个资产的收益率是完全相关的,这时,标准差变成:
在不考虑卖空或借贷的情形下,即,标准差可写为
结合期望收益式子,能够求出
当两个风险资产完全正相关时,上式是资产组合期望收益和标准差的关系。
该式子在期望收益-标准差平面上是一条通过1点和2点的线段。
(2)=-1
在这种情形下,两个资产的收益率是完全负相关的,这时,标准差变成:
该方程对应着
再结合期望收益的表达式,能够求得资产组合期望收益和标准差之间的关系如下:
上式对应着两条斜率相反的折线,折线的一部份通过1点和E1点;另一部份那么通过2点和E1点,其中E1点的坐标为(0,),为时资产组合可行集内的最小方差点。
见图3-3在完全正相关时,一种证券收益率高,另一种证券的收益率也高。
如此,在做卖空时,能够从多头(购入方)位置中获益,而从空头(销售方)位置中受损,但得利于多投资的证券。
当两种证券的收益率都低时,能够从多头中受损,而从空头中获益,投资较多的证券收益与卖空证券收益将彼此抵消,投资组合的整体收益将较稳固。
在完全负相关时,一种证券收益率高,另一种证券的收益率老是相对要低。
若是卖空高收益证券,而做多低收益证券,那么投资组合的两部份都蒙受损失。
另一方面,若是做多高收益证券,卖空低收益证券,那么两部份都获利。
因此,在完全负相关时,投资组合的风险较高,其结果要么是“盛宴”,要么是“饥荒”。
咱们总结如表6-1所示。
表6-1两证券收益率完全相关时投资组合有卖空
正相关
负相关
高高
低低
卖空高做多低
卖空低做多高
收益
多头(购入方)
空头
——
多头、空头
受损
空头(销售方)
多头
多头、空头
——
总体
得利于多投资的证券
稳定
(相互抵消)
“饥荒”
“盛宴”
(3)
现在3-2在期望收益-标准差平面对应着两条双曲线。
考虑到经济意义,咱们只保留双曲线在第一象限的部份。
这条双曲线的极点E2是时资产组合可行集内的最小方差点。
从图中可看出,E12和E22,期望收益随方差的增大而降低,这部份的资产组合是无效的。
投资者只选择1E1和1E22上的点。
例如:
两个风险资产和一个无风险资产的最优投资组合的案例。
股票、债券和国库券的有关数据见下表
资产
期望收益率%
风险sigma%
股票1
13
20
债券2
8
12
国库券
5
其中股票1和债券2之间相关系数=,要得出最优风险资产组合,第一要成立1,2有效集,然后利用无风险资产成立资本配置线与有效集相切,切点即为最优风险组合所在的点。
1确信两种风险资产的比例
数学表达即为:
=max
知足
把x1,x2求出来
2引入无风险资产C=F+P
引入效用函数
依照,又有
三、一个无风险资产两个风险资产的组合
前面别离考察了一个无风险资产和一个风险资产组成的资产组合和两个风险资产组成的资产组合。
在此基础上,咱们将这两种情形进行融合,进而引入第三种资产组合一个无风险资产和二个风险资产组成的资产组合。
下面咱们考察这种情形下投资组合可行集的状态。
咱们第一假设两个风险资产的投资权重别离为和,如此一来,无风险资产的投资组合权重确实是。
由于咱们能够将两个风险资产视为一个风险资产组合,因此三个资产组成的投资组合可行集就等价于一个风险资产组合与一个无风险资产组成的可行集。
但与前面不同,随着和转变,风险资产组合的期望收益和方差并非是确信的值,而是不断转变的。
在图3-3中的收益-方差平面中,风险资产组合的位置再也不是3-1中确信的一点,而是图3-3中的某一点。
给定和的某一比例k,在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合。
该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线,如图3-4。
这条资本配置线确实是市场中存在三个资产时的投资组合可行集。
随着咱们改变投资比例k,风险资产组合的位置就会发生转变,资本配置线也相应产生转变。
从图3-4能够看出,两个风险资产组成的效率边界上的任何一点与无风险资产的连线都能组成一条资本配置线。
但是,比较图3-4中的两条资本配置线CAL0和CAL1
能够发觉,关于任一标准差,资本配置线CAL0上资产组合的期望收益率都比CAL1上的高。
换句话说,相关于CAL0上的资产组合,CAL1上的资产组合是无效率的。
事实上,咱们能够很容易地发觉,在所有的资本配置线中,斜率最高的资本配置线在相同标准差水平下拥有最大的期望收益率。
从几何角度讲,这条资本配置线确实是通过无风险资产并与风险资产组合的有效边界相切的一条线,咱们称这条资本配置线为最优资本配置线。
相应地,切点组合P0被称为最优风险资产组合。
因此,当市场中有一个无风险资产和两个风险资产的时候,有效地投资组合可行集确实是通过无风险资产和风险资产组合,且斜率达到最大的资本配置线。
投资组合最小方差集合与有效边界一样地,咱们现假定由n个风险资产(比如证券)组成的投资组合,由于权重不同而有无穷多个投资组合,所有这些证券组合组成一个可行集(feasibleset)。
投资者不需要评估可行集中的所有投资组合,只分析任意给定风险水平有最大的预期回报或任意给定预期回报有最小风险的投资组合,知足这两个条件的投资组合集合叫做投资组合的有效边界(集合)[efficientfrontier(set)]。
给定一个证券投资组合X,它的预期收益率和标准差确信了一个点对,当那个证券组合的权重发生转变时,咱们取得一条曲线咱们将其称为组合线。
组合线上的每一点,表示一个权数不同的证券组合。
因此组合线告知咱们的预期收益率与风险如何随着证券组合权重的转变而转变。
在上一章里,咱们给出了单个证券或证券组合的预期收益率和投资组合风险的气宇。
上面咱们又分析了在给定证券的条件下,如何决定其证券投资组合。
但是当投资者用必然资本进行证券投资时,他追求的投资目标是高收益低风险,那么如安在众多的证券中成立起一个高收益低风险的证券组合呢?
下面咱们讨论那个问题。
给定一组不同的单个证券,咱们能够用它们构造不同的证券组合,如此,每一个证券或证券组合咱们称为一个投资机遇,全数投资机遇的集合,称为机遇集合。
对机遇集合中的每一个元素X,咱们用它的预期收益率和风险
来描述它的实绩,因此每一个机遇X都对应了数组(,)或(,),如此机遇集合能够用预期收益率-标准差(方差)二维空间的一个集合表示。
关于一个伶俐理智的投资者来讲,若是给定风险水平或说标准差,他喜爱预期收益率高的投资机遇;若是给定预期收益率水平,他喜爱风险低的投资机遇。
于是咱们概念如下的最小方差集合:
机遇集合中的一个证券投资组合,若是具有无其他的证券组合在与之相同的预期收益率水平下能达到更小的风险(标准差)的性质,那么咱们称它为最小方差证券组合。
最小方差证券组合的全部,咱们称为最小方差集合。
显然,最小方差集合是机遇集合的子集,是由证券组合的组合线上具有最小风险的证券组合的包络线组成。
由于投资者所面临的投资条件不同,受到的投资约束不同,最小方差集合的形状也不同,因此最小方差集合的确信依托于不同的约束条件。
下面咱们来寻求最小方差集合,为此考虑一个组合X,它由n个证券组成,每一个证券的预期收益率为,方差记为,证券之间的协方差记为,i、j=1,2,…,n。
于是证券组合的收益率和风险能够表示成
在给定预期收益率之下,如何选择证券组合的权重,使证券组合X具有最小方差呢?
马科维茨模型的求解
记,为确信最小方差集合,咱们考虑如下优化模型,即一样的马柯维茨模型
,
引入拉格朗日乘子来解决这一计划问题。
构造拉格朗日函数如下:
上式左右对进行求导,即一阶条件为0。
第一讨论两个变量的情形,然后推行到n个变量的情形。
因此
令上两式等于0,考虑到
以上两等式与两个约束条件的等式联立,能够解出。
一样地,关于均值为的有效投资组合(许诺卖空),其n个投资组合权数与两个拉格朗日乘数知足:
(1)
(2)
(3)
(1)有n个方程,加上
(2)与(3),一共取得n+2个方程组成的方差组,相应地有n+2个未知量。
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- 投资 组合 有效 边界 计算