千题百炼高考数学100个热点问题二第63炼 立体几何中的建系设点问题.docx

千题百炼高考数学100个热点问题二第63炼 立体几何中的建系设点问题.docx

《千题百炼高考数学100个热点问题二第63炼 立体几何中的建系设点问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《千题百炼高考数学100个热点问题二第63炼 立体几何中的建系设点问题.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

千题百炼高考数学100个热点问题二第63炼立体几何中的建系设点问题

第63炼立体几何解答题的建系设点问题

在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：

建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？

如何正确快速写出点的坐标？

这是本文要介绍的内容。

一、基础知识：

（一）建立直角坐标系的原则：

如何选取坐标轴

1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点

2、轴的选取：

此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

（1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上

（2）找角：

轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件

（3）找对称关系：

寻找底面上的点能否存在轴对称特点

3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。

但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论：

（1）线面垂直：

①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直

②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直

③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直

④直棱柱：

侧棱与底面垂直

（2）线线垂直（相交垂直）：

①正方形，矩形，直角梯形

②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）

③菱形的对角线相互垂直

④勾股定理逆定理：

若，则

（二）坐标的书写：

建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类

1、能够直接写出坐标的点

（1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：

轴：

轴：

轴：

规律：

在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

（2）底面上的点：

坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：

以上图为例：

则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）

由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。

例如：

正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：

3、需要计算的点

①中点坐标公式：

，则中点，图中的等中点坐标均可计算

②利用向量关系进行计算（先设再求）：

向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：

求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而，

二、典型例题：

例1：

在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

解：

平面

两两垂直

以为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：

中点：

中点

中点

中点

综上所述：

小炼有话说：

本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。

这些过程在解答题中可以省略。

例2：

在长方体中，分别是棱上的点，，，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标

思路：

建系方式显而易见，长方体两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设等，则点的坐标都含有，不便于计算。

对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。

解：

因为长方体

两两垂直

以为轴如图建系，设为单位长度

例3：

如图，在等腰梯形中，，，平面，且，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。

思路：

本题直接有一个线面垂直，所以只需在平面找过的相互垂直的直线即可。

由题意，不是直角。

所以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系

方案一：

（选择为轴），连结

可知在中

由可解得

平面

以为坐标轴如图建系：

方案二（以为轴）

过作的垂线平面

以为坐标轴如图建系：

（同方案一）计算可得：

小炼有话说：

建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即轴），对于轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足的直线为轴建立的坐标系。

例4：

已知四边形满足，是中点，将翻折成，使得平面平面，为中点

思路：

在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

本题在翻折时，是等边三角形，四边形为的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根据平面平面，结合是等边三角形，可取中点，则可证平面，再在四边形找一组过的垂线即可建系

解：

取中点，连结

是等边三角形

平面平面

平面，连结

四边形为的菱形为等边三角形

两两垂直

如图建系，设为单位长度

为中点

例5：

如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，且平面，点为的三等分点（靠近），建立适当的直角坐标系并求各点坐标

思路：

由平面，可得作为轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取作为轴。

在所有点中只有的坐标相对麻烦，对于三等分点可得，从而转化为向量关系即可求出坐标

解：

平面

菱形

两两垂直

以为坐标轴如图建系

可得：

设由可得：

小炼有话说：

（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质

（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来

例6：

如图所示的多面体中，已知正方形与直角梯形所在的平面互相垂直，，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

思路：

题目已知面面垂直，从而可以找到与底面垂直，再由底面是正方形，可选为轴，图中点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到

解：

平面平面

又因为直角梯形

平面

正方形

两两垂直

以为轴建立直角坐标系

坐标轴上的点：

底面上的点：

点两种确定方式：

①可看其投影，落在中点处，且高度为1，所以

②设

综上所述：

例7：

如图，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，，建立适当的坐标系并确定各点坐标

思路：

平面，从而可作轴，只需在平面找到过的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有坐标相对麻烦，但由可以利用向量进行计算。

解：

方案一：

（利用正方形相邻边垂直关系建系）

如图建系：

则

设，则

由可得：

综上所述：

方案二：

（利用正方形对角线相互垂直建系）

如图建系：

由计算可得

设，则

由可得：

综上所述：

小炼有话说：

本题虽然两种建系方法均可以，但从坐标上可以发现，用方案二写出的坐标相对简单，尤其是底面上的坐标不仅在轴上，而且数比较整齐。

（相信所给的目的也倾向使用方案二建系）因为在解决立体几何解答题时，建系写坐标是基础，坐标是否整齐会决定计算过程是否更为简便。

所以若题目中建系有多种选择时，不妨观察所给线段长度的特点，选择合适的方法建系，为后面的计算打好基础

例8：

如图，在四棱柱中，侧棱,,,

且点和分别为的中点。

建立合适的空间直角坐标系并写出各点坐标

思路：

由，可得两两垂直，进而以它们为轴建立坐标系，本题中均可通过投影到底面得到横纵坐标，图中点坐标相对麻烦，可作出底面的平面图再根据平面几何知识进行计算。

解：

侧棱

两两垂直

以为轴建立直角坐标系

底面上的点：

由可得为等腰三角形，若为中点，则

可投影到底面上的点：

因为和分别为的中点

综上所述：

例9：

如图：

已知平面，点在上，且，四边形为直角梯形，，建立适当的坐标系并求出各点坐标

思路：

由条件可得，而平面，可得到平面，从而以为轴建系。

难点在于求底面梯形中的长度。

可作出平面图利用平面几何知识处理。

解：

平面，

平面

两两垂直，如图建系：

中：

为等边三角形

为等边三角形

在底面投影为且

综上所述：

例10：

已知斜三棱柱在底面上的射影恰为的中点，又知，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标

思路：

本题建系方案比较简单，平面，进而作轴，再过引垂线即可。

难点有二：

一是三棱柱的高未知，进而无法写出上底面点的竖坐标；二是的投影不易在图中作出（需要扩展平面），第一个问题可先将高设为，再利用条件求解；第二个问题可以考虑利用向量计算得到。

解：

过作的垂线，平面

，而

以为轴建立直角坐标系

，设高为

则，设

则

由可得：

，解得

设

而且

综上所述：