八年级几何辅助线专题训练.docx
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八年级几何辅助线专题训练.docx
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八年级几何辅助线专题训练
常见得辅助线得作法
1、等腰三角形“三线合一”法:
遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题
2、倍长中线:
倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形
3、角平分线在三种添辅助线:
(1)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂线,
(2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。
(3)可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。
4、垂直平分线联结线段两端:
在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,出一对全等三角形。
5、用“截长法”或“补短法”:
遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,
6、图形补全法:
有一个角为60度或120度得把该角添线后构成等边三角形、
7、角度数为30度、60度得作垂线法:
遇到三角形中得一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成30-60-90得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。
8、面积方法:
在求有关三角形得定值一类得问题时,常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来,利用三角形面积得知识解答.
一、等腰三角形“三线合一”法
1、如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BD于E,
求证:
CE=BD、ﻭ
中考连接:
(2014•扬州,第7题,3分)如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,
OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
二、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,
则中线AD得取值范围就是_________、
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证:
AD平分∠BAE、
中考连接:
(09崇文)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究:
AM与DE得关系.(1)如图① 当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 ,线段AM与DE得数量关系就是 ;
(2)将图①中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示,
(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?
并说明理由.
三、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
2、如图,已知点C就是∠MAN得平分线上一点,CE⊥AB于E,B、D分别在AM、AN上,且AE=(AD+AB)、问:
∠1与∠2有何关系?
ﻭﻭ
中考连接:
(2012年北京)如图①,OP就是∠MON得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。
请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB就是直角,∠B=60°,AD、CE分别就是∠BAC、∠BCA得平分线,AD、CE相交于点F。
请您判断并写出FE与FD之间得数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在(1)中所得结论就是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
四,垂直平分线联结线段两端
1、 (2014•广西贺州,第17题3分)如图,等腰△ABC中,AB=AC,
∠DBC=15°,AB得垂直平分线MN交AC于点D,
则∠A得度数就是 .
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC
于F、(1)说明BE=CF得理由;
(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、
中考连接:
(2014年广东汕尾,第19题7分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A、C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN,与AC、BC分别交于点D、E,连接AE.
(1)求∠ADE;(直接写出结果)
(2)当AB=3,AC=5时,求△ABE得周长.
补充:
尺规作图
过直线外一点做已知直线得垂线
五、截长补短
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC。
3、如图,已知在△ABC内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别就是,得角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分,
求证:
5、如图,已知正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE.求证:
AE-BE=DF.
ﻭ
6、如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC,∠ACB,判断AC得长与AE+CD得大小关系并证明、
ﻭﻭ
7、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交CB于F,且EG∥AB交CB于G,判断CF与GB得大小关系并证明。
ﻭ
ﻭ
六、综合
1、正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求∠EAF得度数、
2、如图,为等边三角形,点分别在上,且,与交于点。
求得度数。
3、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系?
请写出您得猜想,不需证明.
4、D为等腰斜边AB得中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF得面积。
5、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC、探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长L得关系.
图1 图2 图3
(
)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ;此时 ;
(
)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(
)问得两个结论还成立吗?
写出您得猜想并加以证明;
(
)如图3,当M、N分别在边AB、CA得延长线上时,
若AN=,则Q= (用、L表示).
中考连接:
(2014•抚顺 第25题(12分))
已知:
Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′与AA′相交于点D.
(1)如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD与线段A′D之间得数量关系,并证明您得结论;
(2)将Rt△A′BC′由图1得位置旋转到图2得位置时,
(1)中得结论就是否成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)将Rt△A′BC′由图1得位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°),当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角得度数.
参考答案与提示
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD得取值范围就是_________、
解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
AB-BE<2AD 例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D就是中点,试比较BE+CF与EF得大小、 解: (倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG=2EF,连BG,EG, 显然BG=FC, 在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形得三线合一知 EG=EF 在△BEG中,由三角形性质知 EG 故: EF<BE+FC 例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E就是DC得中点,求证: AD平分∠BAE、 解: 延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG, 显然DG=AC, ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中, BD=AC=DG,AD=AD, ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADG 故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD平分∠BAE 应用: 1、(09崇文二模)以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N分别就是BC、DE得中点.探究: AM与DE得位置关系及数量关系. (1)如图①当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是 , 线段AM与DE得数量关系就是 ; (2)将图①中得等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图②所示, (1)问中得到得两个结论就是否发生改变? 并说明理由. 解: (1),; 证明: 延长AM到G,使,连BG,则ABGC就是平行四边形 ∴, 又∵ ∴ 再证: ∴, 延长MN交DE于H ∵ ∴ ∴ (2)结论仍然成立. 证明: 如图,延长CA至F,使,FA交DE于点P,并连接BF ∵, ∴ ∵在与中 ∴(SAS) ∴, ∴ ∴ 又∵, ∴,且 ∴, 二、截长补短 1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证: CD⊥AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连FD △ADB就是等腰三角形,F就是底AB中点,由三线合一知 DF⊥AB,故∠AFD=90° △ADF≌△ADC(SAS) ∠ACD=∠AFD=90°即: CD⊥AC 2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BC 解: (截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE △ADE≌△AFE(SAS) ∠ADE=∠AFE, ∠ADE+∠BCE=180° ∠AFE+∠BFE=180° 故∠ECB=∠EFB △FBE≌△CBE(AAS) 故有BF=BC 从而;AB=AD+BC 3、如图,已知在△ABC内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别就是,得角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 解: (补短法,计算数值法)延长AB至D,使BD=BP,连DP 在等腰△BPD中,可得∠BDP=40° 从而∠BDP=40°=∠ACP △ADP≌△ACP(ASA) 故AD=AC 又∠QBC=40°=∠QCB故BQ=QC BD=BP 从而BQ+AQ=AB+BP 4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分, 求证: 解: (补短法)延长BA至F,使BF=BC,连FD △BDF≌△BDC(SAS) 故∠DFB=∠DCB ,FD=DC 又AD=CD 故在等腰△BFD中 ∠DFB=∠DAF 故有∠BAD+∠BCD=180° 5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC 解: (补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD △ABP≌△AFP(SAS) 故BP=PF 由三角形性质知 PB-PC=PF-PC< CF=AF-AC=AB-AC 应用: 分析: 此题连接AC,把梯形得问题转化成等边三角形得问题,然后利用已知条件与等边三角形得性质通过证明三角形全等解决它们得问题。 解: 有 连接AC,过E作并AC于F点 则可证为等边三角形 即, ∴ 又∵, ∴ 又∵ ∴ 在与中 , ∴ ∴ ∴ 点评: 此题得解法比较新颖,把梯形得问题转化成等边三角形得问题,然后利用全等三角形得性质解决。 三、 四、借助角平分线造全等 1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC得角平分线AD,CE相交于点O,求证: OE=OD,DC+AE=AC 证明☹(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠BAC+∠BCA=120度; AD,CE均为角平分线, 则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD; ∠AOC=120度、 在AC上截取线段AF=AE,连接OF、 又AO=AO;∠OAE=∠OAF 、则⊿OAE≌ΔOAF(SAS), OE=OF;AE=AF; ∠AOF=∠AOE=60度、 则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD; 又CO=CO;∠OCD=∠OCF、 故⊿OCD≌ΔOCF(SAS), OD=OF;CD=CF、 OE=OD DC+AE=CF+AF=AC、 2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F、 (1)说明BE=CF得理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE得长、 解: (垂直平分线联结线段两端)连接BD,DC DG垂直平分BC,故BD=DC 由于AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,故有 ED=DF 故RT△DBE≌RT△DFC(HL) 故有BE=CF。 AB+AC=2AE AE=(a+b)/2 BE=(a-b)/2 应用: 1、如图①,OP就是∠MON得平分线,请您利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴得全等三角形。 请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题: (1)如图②,在△ABC中,∠ACB就是直角,∠B=60°,AD、CE分别就是∠BAC、∠BCA得平分线,AD、CE相交于点F。 请您判断并写出FE与FD之间得数量关系; (2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不就是直角,而(1)中得其它条件不变,请问,您在 (1)中所得结论就是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 解: (1)FE与FD之间得数量关系为 (2)答: (1)中得结论仍然成立。 证法一: 如图1,在AC上截取,连结FG ∵,AF为公共边, ∴ ∴, ∵,AD、CE分别就是、得平分线 ∴ ∴ ∴ ∵及FC为公共边 ∴ ∴ ∴ 证法二: 如图2,过点F分别作于点G,于点H F B E A C D 图2 2 1 4 3 H G ∵,AD、CE分别就是、得平分线 ∴可得,F就是得内心 ∴, 又∵ ∴ ∴可证 ∴ 五、旋转 例1正方形ABCD中,E为BC上得一点,F为CD上得一点,BE+DF=EF,求∠EAF得度数、 证明: 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG 则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE,AF=AG, 所以三角形AEF全等于AEG 所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90 所以∠EAF=45度 例2D为等腰斜边AB得中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 (1)当绕点D转动时,求证DE=DF。 (2)若AB=2,求四边形DECF得面积。 解: (计算数值法) (1)连接DC, D为等腰斜边AB得中点,故有CD⊥AB,CD=DA CD平分∠BCA=90°,∠ECD=∠DCA=45° 由于DM⊥DN,有∠EDN=90° 由于CD⊥AB,有∠CDA=90° 从而∠CDE=∠FDA= 故有△CDE≌△ADF(ASA) 故有DE=DF (2)S△ABC=2,S四DECF= S△ACD=1 例3 如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则得周长为 ; 解: (图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM ∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,ﻫ∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,ﻫ∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,ﻫ又∵BM=CE,BD=CD,ﻫ∴△CDE≌△BDM, ∴∠CDE=∠BDM,DE=DM, ∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°, ∵在△DMN与△DEN中, DM=DE ∠MDN=∠EDN=60° DN=DN ∴△DMN≌△DEN, ∴MN=NE ∵在△DMA与△DEF中,ﻫ DM=DE ∠MDA=60°- ∠MDB=60°- ∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM) ∠DAM=∠DFE=30° ∴△DMN≌△DEN(AAS), ∴MA=FE 得周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 应用: 1、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它得两边分别交(或它们得延长线)于. 当绕点旋转到时(如图1),易证. 当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系? 请写出您得猜想,不需证明. 解: (1)∵,,, ∴(SAS); ∴, ∵, ∴,为等边三角形 ∴, ∴ (2)图2成立,图3不成立。 证明图2,延长DC至点K,使,连接BK 则 ∴, ∵, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 图3不成立,AE、CF、EF得关系就是 2、(西城09年一模)已知: PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB得两侧、 (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD得长; (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD得最大值,及相应∠APB得大小、 分析: (1)作辅助线,过点A作于点E,在中,已知,AP得值,根据三角函数可将AE,PE得值求出,由PB得值,可求BE得值,在中,根据勾股定理可将AB得值求出;求PD得值有两种解法,解法一: 可将绕点A顺时针旋转得到,可得,求PD长即为求得长,在中,可将得值求出,在中,根据勾股定理可将得值求出;解法二: 过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,交PB于G,在中,可求出AG,EG得长,进而可知PG得值,在中,可求出PF,在中,根据勾股定理可将PD得值求出; (2)将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值即为得最大值,故当、P、B三点共线时,取得最大值,根据可求得最大值,此时. 解: (1)①如图,作于点E ∵中,, ∴ ∵ ∴ 在中, ∴ ②解法一: 如图,因为四边形ABCD为正方形,可将将绕点A顺时针旋转得到,,可得,, ∴,, ∴, ∴; 解法二: 如图,过点P作AB得平行线,与DA得延长线交于F,设DA得延长线交PB于G. 在中,可得,, 在中,可得, 在中,可得 (2)如图所示,将绕点A顺时针旋转,得到,PD得最大值,即为得最大值 ∵中,,,且P、D两点落在直线AB得两侧 ∴当、P、B三点共线时,取得最大值(如图) P′ P A C B D P′ P A C B D 此时,即得最大值为6 此时 3、在等边得两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC、探究: 当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间得数量关系及得周长Q与等边得周长L得关系. 图1 图2 图3 ( )如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是 ;此时; ( )如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想( )问得两个结论还成立吗? 写出您得猜想并加以证明; ( )如图3,当M、N分别在边AB、CA得延长线上时, 若AN=,则Q= (用、L表示). 分析: (1)如果,,因为,那么,也就有,直角三角形MBD、NCD中,因为,,根据HL定理,两三角形全等。 那么,,三角形NCD中,,,在三角形DNM中,,,因此三角形DMN就是个等边三角形,因此,三角形AMN得周长 三角形ABC得周长,因此. (2)如果,我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换。 延长AC至E,使,连接DE. (1)中我们已经得出,,那么三角形MBD与ECD中,有了一组直角,,,因此两三角形全等,那么,,.三角形MDN与EDN中,有,,有一条公共边,因此两三角形全等,,至此我们把BM转换成了CE,把MN转换成了NE,因为,因此.Q与L得关系得求法同 (1),得出得结果就是一样得。 (3)我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换,思路同 (2)过D作,三角形BDM与CDH中,由 (1)中已经得出得,我们做得角,,因此两三角形全等(ASA).那么,,三角形MDN与NDH中,已知得条件有,一条公共边ND,要想证得两三角形全等就需要知道,因为,因此,因为,那么 因此,这样就构成了两三角形全等得条件.三角形MDN与DNH就全等了.那么,三角形AMN得周长 .因为,,因此三角形AMN得周长. 解: (1)如图1,BM、NC、MN之间得数量关系: ;此时. 图1 N M A D C B E 图2 N M A D C B H 图3 N M A D C B (2)猜想: 结论仍然成立. 证明: 如图2,延长AC至E,使,连接DE ∵,且 ∴ 又就是等边三角形 ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴, ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴ 故得周长 而等边得周长 ∴ (3)如图3,当M、N分别在AB、CA得延长线上时,若,则(用x、L表示). 点评: 本题考查了三角形全等得判定及性质;题目中线段得转换都就是根据全等三角形来实现得,当题中没有明显得全等三角形时,我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知与所求条件相关得全等三角形。
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