最新中考数学专题训练二次函数压轴题.docx
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最新中考数学专题训练二次函数压轴题
最新中考数学专题训练---
二次函数压轴题
1.如图①,抛物线y=ax2+(a+2)x+2(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点P(m,0)(0 (1)求a的值; (2)若PN∶MN=1∶3,求m的值; (3)如图②,在 (2)的条件下,设动点P对应的位置是P1,将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2,旋转角为α(0°<α<90°),连接AP2、BP2,求AP2+BP2的最小值. 图①图② 第1题图 解: (1)∵A(4,0)在抛物线上, ∴0=16a+4(a+2)+2,解得a=-; (2)由 (1)可知抛物线解析式为y=-x2+x+2,令x=0可得y=2, ∴OB=2, ∵OP=m, ∴AP=4-m, ∵PM⊥x轴, ∴△OAB∽△PAN, ∴=,即=, ∴PN=(4-m), ∵M在抛物线上, ∴PM=-m2+m+2, ∵PN∶MN=1∶3, ∴PN∶PM=1∶4, ∴-m2+m+2=4×(4-m), 解得m=3或m=4(舍去), 即m的值为3; (3)如解图,在y轴上取一点Q,使=, 第1题解图 由 (2)可知P1(3,0),且OB=2, ∴=,且∠P2OB=∠QOP2, ∴△P2OB∽△QOP2, ∴==, ∴当Q(0,)时,QP2=BP2, ∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ, ∴当A、P2、Q三点在一条直线上时,AP2+QP2有最小值, 又∵A(4,0),Q(0,), ∴AQ==, 即AP2+BP2的最小值为. 2.如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于 A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,点P是x轴上方抛物线上的一个动点,过P作PN⊥x轴于N,交直线BC于M. (1)求二次函数表达式及顶点D的坐标; (2)当PM=MN时,求点P的坐标; (3)设抛物线对称轴与x轴交于点H,连接AP交对称轴于E,连接BP并延长交对称轴于F,试证明HE+HF的值为定值,并求出这个定值. 第2题图 解: (1)∵A(-2,0),B(4,0)在二次函数的图象上,将A,B点代入二次函数表达式中, 得, 解得, ∴二次函数的表达式为y=-x2+x+4, 将其化为顶点式为y=-(x-1)2+, ∴顶点D的坐标为(1,); (2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0,4), 设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0),将点B(4,0),点C(0,4)代入得 ,解得, ∴直线BC的解析式为y=-x+4,(5分) ∵点P在x轴上方的抛物线上, ∴设点P的坐标为(t,-t2+t+4)(-2<t<4), ∵PN⊥x轴于N, ∴点N的坐标为(t,0), ∵PN交BC于M, ∴点M的坐标为(t,-t+4),(7分) ∵PM=MN,点P在点M的上方,∴PN=2MN, 即-t2+t+4=2(-t+4), 解得t1=2,t2=4(与B重合舍去), ∴当PM=MN时,点P的坐标为(2,4);(8分) 第2题解图 (3)如解图,过点P作PG⊥x轴于点G,设点P的坐标为(t,-t2+t+4), ∵DH⊥x轴于点H, ∴PG∥DH, ∴△AHE∽△AGP, △BGP∽△BHF, ∴=,=, ∴EH=,FH=,(10分) 当点G在BH上时, ∵AH=BH=3,AG=t+2,BG=4-t,PG=-t2+t+4, ∴EH+FH=3(+)=3·(-)(t+2)(t-4)·=9, 同理,当点G在AH上,由抛物线对称性可知,结果相同. 综上可知,HE+HF的结果为定值,且这个定值为9.(14分) 3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D. (1)求a、b及sin∠ACP的值; (2)设点P的横坐标为m. ①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值; ②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9∶10? 若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由. 第3题图 解: (1)由x+1=0,得x=-2, ∴A(-2,0), 由x+1=3,得x=4,∴B(4,3). ∵y=ax2+bx-3经过A、B两点, ∴, 解得, 如解图,设直线AB与y轴交于点E,则E(0,1). ∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO. ∴sin∠ACP=sin∠AEO===; (2)①由 (1)知,抛物线的解析式为 y=x2-x-3, ∴P(m,m2-m-3), C(m,m+1), ∴PC=m+1-(m2-m-3)=-m2+m+4. 在Rt△PCD中,PD=PC·sin∠ACP=(-m2+m+4)×=-(m-1)2+. ∵-<0, ∴当m=1时,PD有最大值; ②存在,m=或. 【解法提示】如解图,分别过点D、B作DF⊥PC,BG⊥PC,垂足分别为点F、G. 第3题解图 由图中几何关系可知 ∠FDP=∠DCP=∠AEO, ∴cos∠FDP=cos∠AEO===, 在Rt△PDF中,DF=cos∠FDP·PD=PD=-(m2-2m-8). 又∵BG=4-m, ∴ ===. 当 ==时,解得m=; 当 ==时,解得m=. ∴m=或. 4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=3,AB=4,在OC上取一点E,使OA=OE,抛物线y=ax2+bx+c过A,E,B三点. (1)求B,E点的坐标及抛物线表达式; (2)若M为抛物线对称轴上一动点,则当|MA-ME|最大时,求M点的坐标; (3)若点D为OA中点,过D作DN⊥BC于点N,连接AC,若点P为线段OC上一动点且不与C重合,PF⊥DN于F,PG⊥AC于G,连接GF,是否存在点P,使△PGF为等腰三角形? 若存在,求出所有满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由. 第4题图 解: (1)∵OA=3,AB=4,OA=OE,∴A(0,3),B(-4,3),E(-3,0). 将A,B,E三点坐标代入y=ax2+bx+c中, 得,解得, ∴抛物线的表达式为y=x2+4x+3;(3分) (2)∵抛物线y=x2+4x+3的对称轴为直线x=-2,点A关于对称轴的对称点为点B, ∴当|MA-ME|最大时,M在直线BE与直线x=-2的交点处,即连接BE并延长交直线x=-2于点M,M点即为所求,如解图①,(5分) 第4题解图① 设直线BE的解析式为y=kx+b(k≠0), ∵直线过B(-4,3),E(-3,0), ∴, ∴, ∴直线BE的解析式为y=-3x-9. 当x=-2时,y=-3, ∴M(-2,-3);(7分) (3)设P(x,0)(x<0),如解图②,过点P分别作PF⊥DN于点F,PG⊥AC于点G, 过点G作GH⊥OC于点H,交DN于点Q,连接GF, 第4题解图② ∵OA=3,AB=4,∠AOC=90°, ∴AC=5, ∵D为OA的中点,DN⊥BC, ∴PF=,sin∠1==, ∴=, ∴PG=, ∵cos∠1==, ∴=, ∴CG=. ∵△CGH∽△CAO, ∴==, ∴==, ∴GH=CG=×=, CH=CG=×=,(9分) ∴PH=QF=OC-CH-OP=4-+x=, GQ=GH-QH=-, ∴在Rt△GQF中, GF2=[-]2+=-+. 要使△PGF为等腰三角形,可分三种情况讨论: (ⅰ)当GF=GP时,GF2=GP2, ∴-+=, ∴x=-, ∴P1(-,0);(11分) (ⅱ)当FG=FP时,FG2=FP2, ∴-+=, ∴x1=-4,x2=0. ∵点P不与C重合, ∴x=-4(舍去),∴P2(0,0); (12分) (ⅲ)当PG=PF时,=, ∴x=-, ∴P3(-,0).(13分) 综上所述,存在P1(-,0),P2(0,0),P3(-,0)使△PFG为等腰三角形.(14分) 5.已知: 直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B,抛物线y=x2+bx+c经过点A、B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P为抛物线上一点,且点P在AB的下方,设点P的横坐标为m. ①试求当m为何值时,△PAB的面积最大; ②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,问在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形? 若存在,直接写出符合条件的Q点的坐标,若不存在,请说明理由. 第5题图备用图 解: (1)∵直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B, 则A(6,0),B(0,-3), 又∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、B, 则, 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-x-3; (2)①∵点P的横坐标为m,∴P(m,m2-m-3), ∵点P在直线AB下方,∴0<m<6, 第5题解图① 如解图①,过点P作x轴的垂线,交AB于点E,交x轴于点D, 则E(m,m-3), ∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m, ∴S△PAB=S△BPE+S△PEA=PE·OA =(-m2+2m)×6 =-(m-3)2+9, ∴当m=3时,△PAB的面积最大; ②在直线PD上存在点Q,使△QBC为直角三角形;点Q的坐标为(3,)或(3,-). 【解法提示】直线PD的解析式为: x=3,易得C(-,0),D(3,0), 当∠BCQ=90°时,如解图②,易证△COB∽△QDC,则=,可得Q(3,); 第5题解图② 当∠CBQ=90°时,如解图③,易知Q在AB上,将x=3代入直线y=x-3,得y=-,∴Q(3,-); 第5题解图③ 当∠BQC=90°时,如解图④,易证△CDQ∽△QRB,则=,即=,无解. 第5题解图④ 综上所述,在直线PD上存在点Q,使△QBC为直角三角形,点Q的坐标为(3,)或(3,-). 6.如图,抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求A,B,C三点的坐标及抛物线的对称轴; (2)如图①,点E(m,n)为抛物线上一点,且2 (3)如图②,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,B,C为顶点的三角形是直角三角形? 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图① 图② 第6题图 解: (1)把y=0代入y=x2-4x-5,得x2-4x-5=0, 解得x1=-1,x2=5, ∵点B在点A的右侧, ∴A,B两点的坐标分别为(-1,0),(5,0), 把x=0代入y=x2-4x-5,得y=-5, ∴点C的坐标为(0,-5), ∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴抛物线的对称轴为直线x=2;(4分) (2)由题意可知,四边形EHDF是矩形, ∵抛物线的对称轴为直线x=2,点E坐标为(m,m2-4m-5), ∴EH=-m2+4m+5,EF=m-2, ∴矩形EHDF的周长为2(EH+EF)=2(-m2+4m+5+m-2)=-2(m2-5m-3)=-2(m-)2+, ∵-2<0,2 ∴当m=时,矩形EHDF的周长最大,最大值为;(8分) 第6题解图 (3)存在点P,使以点P,B,C为顶点的三角形是直角三角形. 如解图,设点P的坐标为(2,k), ∵B和C两点的坐标分别为(5,0),(0,-5), ∴BC==5, ①当∠CBP=90°时, ∵BC2+BP2=CP2, ∴(5)2+(5-2)2+(-k)2=22+(k+5)2, 解得k=3, ∴P1(2,3);(10分) ②当∠PCB=90°, ∵BC2+PC2=BP2, ∴(5)2+22+(k+5)2=(5-2)2+(-k)2, 解得k=-7, ∴P2(2,-7);(12分) ③当∠CPB=90°时, ∵PC2+PB2=BC2, ∴22+(k+5)2+(5-2)2+k2=(5)2, 解得k=1或k=-6, ∴P3(2,1),P4(2,-6), 综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,3),(2,-7),(2,1)或(2,-6).(14分) 7.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(2,0),B(-4,0)两点,直线y=2x-2交y轴于点D,过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)求点B关于直线y=2x-2对称的点E的坐标,判断点E是否在抛物线上,并说明理由; (3)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线CE于点F,是否存在这样的点P,使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第7题图 解: (1)∵抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(2,0),B(-4,0)两点, ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2; (2)点E在抛物线上,理由如下: 如解图①,设直线CD: y=2x-2与x轴交于点N,过点E作EM⊥x轴,垂足为点M, 令y=2x-2=0,解得x=1, ∴点N的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,-2), ∵BN2=25,BD2=20,DN2=5,BN2=BD2+DN2, ∴BD⊥CD, ∵点B和点E关于点D对称, ∴BE=2BD,∴BE=4, ∵当x=-4时,y=2x-2=-10, ∴点C的坐标为(-4,-10), ∵BN=5,BC=10, ∴CN=5, 又∵∠MBE=∠BCN,∠CBN=∠BME, ∴△CBN∽△BME, ∴=,即=, ∴ME=4, 根据勾股定理得BM===8, ∴BM=8,∴OM=4, ∴点E的坐标为(4,-4), 当x=4时, y=-x2-x+2=-×16-×4+2=-4, ∴点E在抛物线上; 第7题解图① (3)存在,点P的坐标为(-1,)或(,)或(,-). 【解法提示】如解图②,设直线CE的解析式为y=kx+b′, 由 (2)得点C(-4,-10),E(4,-4),∴,解得, 第7题解图② ∴直线CE的解析式为y=x-7. ∵PF⊥x轴,设点P的坐标为(a,-a2-a+2),则点F的坐标为(a,a-7), ∴PF=|-a2-a+2-(a-7)|=|-a2-a+9|, 要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形, ∵PF∥BC, ∴PF=BC=10. 当-a2-a+9=10时, 解得a1=-4(舍去),a2=-1, ∴点P的坐标为(-1,), 当-a2-a+9=-10时, 解得a1=, a2=, ∴点P的坐标为(,)或(, -), 综上所述,存在点P,使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(-1,)或(,)或(,-). 8.如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A作直线AC∥x轴,交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D.连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出相应点P的坐标; (3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ? 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 第8题图 解: (1)将点A(,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+bx中,得 , 解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-x; (2)设P点的坐标为P(m,m2-m),则D(m,-3), ∴PD=|m2-m+3|,AD=|m-|, ∵∠ACO=∠ADP=90°, ∴①当△ACO∽△ADP时,有=, 即=, ∴|m-|=|m2-m+3|, ∴(m-)=m2-m+3或-(m-)=m2-m+3,整理得m2-5m+12=0或m2-m=0, 解方程m2-5m+12=0得: m1=4,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去); 解方程m2-m=0得: m3=0,m4=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去); 此时P点的坐标为P(0,0)或P(4,6); ②当△ACO∽△PDA时,有=, 即=, ∴|m2-m+3|=|m-|, ∴(m2-m+3)=m-或-(m2-m+3)=m-, 整理得m2-11m+8=0或m2-7m+4=0, 解方程m2-11m+8=0,得: m1=,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去); 解方程m2-7m+4=0,得: m1=,m2=(点P与A点重合,△APD不存在,舍去); 此时P点的坐标为P(,-)或P(,-), 综上可知: 以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时,点P的坐标为: P(0,0)或P(4,6)或P(,-)或P(,-); (3)存在.在Rt△AOC中,OC=3,AC=,根据勾股定理得OA=2, ∵S△AOC=OC·AC=,S△AOC=S△AOQ, ∴S△AOQ=, ∵OA=2,∴△AOQ边OA上的高为, 如解图,过点O作OM⊥OA,截取OM=, 第8题解图 过点M作MN∥OA交y轴于点N, ∵AC=,OA=2, ∴∠AOC=30°, 又∵MN∥OA ∴∠MNO=∠AOC=30°, ∴在Rt△OMN中,ON=2OM=9,即N(0,9),过点M作MH⊥x轴交x轴于点H, ∵∠MNO=30°,∴∠MOH=30°,∴MH=OM=,OH=,即M(,), 设直线MN的解析式为y=kx+9(k≠0), 把点M的坐标代入得=k+9,即k=-, ∴y=-x+9, 联立得, 解得或,即Q(3,0)或(-2,15). 9.如图,抛物线经过原点O(0,0),与x轴交于点A(3,0),与直线l交于点B(2,-2). (1)求抛物线的解析式; (2)点C是x轴正半轴上一动点,过点C作y轴的平行线交直线l于点E,交抛物线于点F,当EF=OE时,请求出点C的坐标; (3)点D为抛物线的顶点,连接OD,在抛物线上是否存在点P,使得∠BOD=∠AOP? 如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 第9题图备用图 解: (1)由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx, 将A(3,0),B(2,-2)代入y=ax2+bx中, 得,解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-3x; (2)设直线l的解析式为y=kx, 将B(2,-2)代入y=kx中,得-2=2k, 解得k=-1, ∴直线l的解析式为y=-x, 设点C的坐标为(n,0),则点E的坐标为(n,-n),点F的坐标为(n,n2-3n). ①当点C在点A的左侧时,如解图①所示,EF=-n-(n2-3n)=-n2+2n,OE==n, ∵EF=OE, ∴-n2+2n=n, 解得n1=0(C,E,F三点均与原点重合,舍去),n2=2-, ∴点C的坐标为(2-,0); ②当点C在点A的右侧时,如解图②所示,EF=n2-3n-(-n)=n2-2n,OE==n, ∵EF=OE, ∴n2-2n=n, 解得n1=0(C,E,F均与原点重合,舍去),n2=2+, ∴点C的坐标为(2+,0); 综上所述,当EF=OE时,点C的坐标为(2-,0)或(2+,0); (3)存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,). 【解法提示】抛物线的解析式为y=x2-3x=(x-)2-, ∴顶点D的坐标为(,-),设抛物线的对称轴交直线l于点M,交x轴正半轴于点N,过点D作DG⊥OB于点G,过点P作PH⊥x轴于点H,如解图③所示, ∵直线l的解析式为y=-x, ∴∠MON=45°, ∴△ONM为等腰直角三角形,ON=MN=,OM=ON=, ∴DM=-=, 在Rt△DGM中, ∵∠DMG=∠NMO=45°, ∴Rt△DGM为等腰直角三角形, ∴MG=DG=×=, ∴OG=OM+MG=+=. 设点P的坐标为(c,c2-3c),当点P在x轴下方时,如解图③所示,OH=c,HP=3c-c2, 第9题解图③ ∵∠HOP=∠BOD, ∴tan∠HOP=tan∠BOD, ∴=,即=, 解得c1=0(P点与O点重合,舍去),c2=, ∴点P的坐标为(,-); 当点P在x轴上方时,如解图④所示,OH=c,HP=c2-3c, 第9题解图④ 同理可得=, 解得c1=0(P点与O点重合,舍去),c2=, ∴P点的坐标为(,). 综上所述,存在点P使得∠BOD=∠AOP,点P的坐标为(,-)或(,). 10.在平面直角坐标系中,直线y=x-2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上. (1)求二次函数的表达式; (2)如图①,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值; (3)如图②,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍? 若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由. 图①图② 第10题图 解: (1)直线y=x-2中,令y=0,解得x=4, 令x=0,解得y=-2, ∴点B(4,0),C(0,-2), 将点B(4,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c中,得,解得, ∴二次函数的表达式为y=x2-x-2; 第10题解图① (2)如解图①,过点D作DE∥y轴,交BC于点E, 设点D的坐标为(x,x2-x-2)(-1 ∴DE=x-2-(x2-x-2)=-x2+2x, ∴S=S△CDE+S△BDE=(-x2+2x)×4=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴当x=2时,S有最大值,S的最大值为4; (3)存在,满足条件的点D的横坐标为2或. 【解法提示】令y=0,则x2-x-2=0, 解得x1=-1,x2=4, ∴A(-1,0), ∵B(4,0),C(0,-2), ∴AB2=52=25,AC2=12+(-2)2=5,BC2=42+22=20, ∴AB2=AC2+BC2, ∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,如解图②,取AB的中点P, 第10题解图② ∴P(,0), ∴PA=PC=PB=, ∴∠CPO=2∠ABC, ∴tan∠CPO== tan2∠ABC=, 过点D作x轴的平行线交y轴于点R,交BC的延长线于点G,连接CR, ①当∠DCM=2∠ABC=∠DGC+∠CDG, ∵DG∥x轴, ∴∠DGC=∠ABC, ∴∠CDG=∠ABC, ∴tan∠CDG=tan∠ABC==,即=, 设点D(x,x2-x-2), ∴DR=x,RC=-x2+x, ∴=,解得x1=0(舍去),x2=2, ∴点D的横坐标为2; ②当∠MDC=2∠ABC, ∴tan∠MDC=, 设MC=4k,∴DM=3k,DC=5k, ∵tan∠DGC==, ∴MG=6k,∴CG=2k,∴DG=3k, ∵∠MGD=∠RGC,∠DMG=∠CRG=90°, ∴△DMG∽△CRG, ∴=, ∴CR=k,RG=2CR=k, 即=,∴DR=3k-k=k, ∴==, 解得x1=0(舍去),x2=, ∴点D的横坐标为, 综上所述,满足
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