最新人教版七年级数学上册第三章《实际问题与一元一次方程》教案1.docx
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最新人教版七年级数学上册第三章《实际问题与一元一次方程》教案1
3.4 实际问题与一元一次方程
第一课时
重点难点
教学重点:
如何找相等关系并列方程解应用题,如盈亏问题.
教学难点:
设未知数找等量关系.
教学目标
1.让学生学会分析盈亏问题中的数量关系,并能正确列出方程,在解决问题的过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过对盈亏问题的探索,让学生体验数学与生活的密切关系,提高学数学、用数学的意识和数学建模能力.
教材处理
从生活中的打折销售入手,熟悉销售问题中主要的数量关系,探索销售盈亏问题中如何设未知数、找相等关系、列方程解决问题,在此基础上探讨决策性问题的解答策略.
教学方法
通过创设“商场打折销售”这一问题情境,引导学生认识销售问题中的有关概念及其关系,在此基础上探究销售中的盈亏问题.在经历“猜想、计算验证”之后归纳解决问题的一般方法,反思学习过程中值得关注的细节.
一、创设情境,提出问题
设计说明
从学生熟悉的生活现象中发现并提出简单的问题,吸引学生的注意力,激发学生自主学习的兴趣和积极性.
节假日期间,各大商场的促销活动多种多样,打折销售就是其中的一种,请看下面的问题.
问题:
标价为200元的服装7折销售,现在购买需要多少钱?
如果这种服装的成本是115元,卖出一件商家能赚多少钱?
获利率是多少?
学生思考后回答,问题解决之后,教师结合具体问题说明进价、售价、利润、利润率等商业用语的含义,并引导学生归纳出它们之间的数量关系:
商品利润=商品售价-商品进价;利润率=利润÷进价(或成本)×100%;商品售价=标价×折扣数.
教学说明
教师提出问题,引发学生思考打折销售中常用商业术语的含义,结合具体问题理解它们之间的数量关系,并将主要关系式写到黑板上,便于学生理解记忆.
二、探索新知,解决问题
1.试一试
问题:
某一件商品的进价是40元,如果卖出后盈利25%,那么商品利润是多少?
若卖出后亏损25%,那么利润又是多少?
学生独立解答,一生板演,教师结合学生情况简要点评:
盈利时利润为正数,亏损时利润为负数.
教学说明
出示问题后由学生独立思考完成,教师巡视了解学生完成情况,对有困难的学生及时给予点拨指导,最后结合板书进行规范.
2.探究:
盈亏问题
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或者不盈不亏?
(1)出示问题,先请学生独立读题思考,后让学生猜想:
你认为是亏还是盈?
还是不亏不盈?
能说一下理由吗?
学生纷纷发表个人的见解,教师不要表明个人的态度,待学生说完后引导学生进一步思考下面的问题.
(2)判断是盈利还是亏损的主要依据是什么?
先放开让学生谈个人的想法,允许学生交流、争论,最后教师归纳:
是盈还是亏主要看这家商店买进这两件衣服花的钱与卖出这两件衣服收入的钱数的大小关系.如果进价大于售价则亏损,反之就盈利.现在已经知道两件衣服共卖了120元钱,只要再求出买这两件衣服共花了多少钱就可以了.
(3)你能求出探究问题中的两件物品的进价吗?
让学生尝试求出两件衣服的进价,并请两名学生板演,教师巡视指导,学生完成后教师结合板演点评规范.并引导学生思考:
由计算结果可得出怎样的结论?
解:
设盈利25%的那件衣服的进价是x元,它的商品利润就是0.25x.根据进价与利润的和等于售价,可以得到方程x+0.25x=60.
由此得x=48.设另一件衣服的进价为y元,它的商品利润是-25%y,可以得到方程y-0.25y=60.解得y=80元.
两件衣服的进价分别是48元、80元.
(4)你能分析总的亏损情况吗?
学生口述,教师板书:
两件衣服的进价是x+y=128元,而两件衣服的售价是120元,进价大于售价,由此可以知道卖这两件衣服总的是亏损8元.
(5)回顾反思:
解决销售盈亏问题的一般思路及判断亏盈的依据
盈:
售价-进价>0;亏:
售价-进价<0.
教学说明
探究学习从猜想开始,先有一个整体构想,然后一步步实现:
你猜应该是盈利还是亏损,能说说理由吗?
——要想用计算的方法判断,需要求出哪些量?
——你能求出每件的进价吗?
——根据计算的结果,你能对总的盈亏情况做出说明吗?
具体问题解决之后,引导学生进一步思考:
通过解答上述问题,你有哪些体会?
进而对解决问题的思想方法有更深刻的认识.
三、巩固训练,熟练技能
设计说明
通过不同类型题目的解答,训练学生分析、解决问题的技能.
1.一件羊毛衫的进价为150元,销售价为180元,则该商品的销售利润为________元,利润率为______.
2.某人以八折的优惠价买一套服装省了25元,那么这套服装实际用了( ).
A.31.25元B.60元C.125元D.100元
3.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,为了吸引顾客又以八折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的成本是多少元?
学生独立思考解答上述习题,巩固所学知识,教师巡视,及时解决存在问题.教学说明
四、总结反思,情意发展
1.本节课你学到了哪些知识?
2.通过本节课的学习你掌握了哪些方法?
有什么体会?
3.通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么?
可以归纳为如下几点:
(1)本节主要学习一元一次方程在销售问题中的应用.
(2)主要用到的思想方法是转化思想和数学建模思想.
(3)注意的问题:
①要弄清在销售中进价、售价、利润、盈利等概念的含义,以便在此问题中顺利找到等量关系.
②打八折即按标价的80%出售.
教学说明
以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程,畅所欲言,加强反思、提炼,将新知识纳入自己的原有的知识体系.
五、布置作业
1.第107页习题3.4第6、11题.
2.第112页复习题3第10题.
六、拓展练习
练习:
某商品第二次进货时比第一次进货价格便宜了8%,而售价不变,这时这种商品的利润率由原来的x%增加到(x+10)%,求x的值.
学生可从利润率=利润÷进价思考.
教学说明
通过本题让学生进一步体会利润率、利润、进价、售价、折扣的意义及关系.
本课是4.3《实际问题与一元一次方程》的第一课时,是在前面已经讨论过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上,进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题——销售中的盈亏.本课的设计关注了以下几点:
1.教学内容问题化.从丰富多彩生活情境中提出系列问题,由易到难阶梯上升,分散难点,让学生在解决问题的过程中学会分析数量关系、布列方程,体会到方程确实是解决实际问题的重要工具.
2.教与学的方式灵活多样.根据学习内容与学生年龄特点确定教与学的方式,如学习问题探究时先让学生猜一猜总的盈亏情况,采用自由发言的方式,目的是让学生说出真实的想法,调动学习的积极性,以便把问题引向深入,而在处理如何求每件衣服的进价这一环节时,要求先独立思考解答,后讨论交流,目的是训练学生独立解决问题的能力及学会学习意识.
设计者:
任秀英
第二课时
重点难点
教学重点:
从表格中获取有关数据信息,利用方程进行计算、推理、判断.
教学难点:
从图表中获取有关数据信息,寻找数量之间的隐蔽关系,正确建立方程.
教学目标
1.结合球赛积分表,使学生掌握从图表中获取信息的方法,发展学生的观察与推理能力.
2.通过探索球赛积分与胜负场数之间的数量关系,进一步体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型,增强学生运用数学知识解决实际问题的意识,激发学生学习数学的热情.
3.通过球赛积分问题的探究,使学生认识到由实际问题得到的方程的解要符合实际意义,训练思维的严密性.
教材处理
本课是实际问题与一元一次方程的第二课时,将从学生喜爱的篮球比赛开始,探索如何从球赛积分表中获取信息,总积分与胜负场数之间的数量关系,进而列出方程解决问题.本课与前两节课的不同之处是需要引导学生进一步思考,由所列方程求出的解是否符合实际意义,学习利用计算所得数据进行说理判断.
教学方法
通过学生喜爱的篮球比赛创设情境,以问题为载体给学生提供探索的空间,引导学生积极思考.教学环节的设计与展开,都以问题的解决为中心,使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程,在探索过程中学习知识,发展能力,体会思想方法.
一、创设情境,提出问题
设计说明
播放篮球赛片段,引出积分表问题,激发学生的学习欲望,体会数学与生活的密切关系.
导语:
请大家欣赏一场篮球比赛中的精彩片断.
问题:
(1)你知道篮球比赛时是如何计算积分的?
由了解篮球比赛的学生向大家介绍自己知道的积分方法,教师和其余同学倾听,有不同意见的可以补充,之后提出下面的问题:
(2)如果不知道记分规则,你能从比赛后的积分表中得出来吗?
请同学们尝试解决下面的题目.
教学说明
教师播放篮球赛片段,学生欣赏,后通过交流明确:
总积分的多少既与胜、负场数有关,又与比赛积分规则有关.在此基础上尝试解决球赛积分表问题.
二、探索新知,解决问题
设计说明
为解决球赛积分表问题,提出几个小问题引导学生观察、思考,逐步获得解决问题所需的资料,进而解决问题.在此过程中,指导学生学会从表格中获取所需数据信息,将实际问题用数学式子表达出来,以及如何利用计算数据进行推理判断,同时进一步体会用一元一次方程解决实际问题的数学建模思想.
探究:
球赛积分表问题
某次篮球联赛积分榜
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
出示问题后,提出以下问题引导学生观察思考:
问题1:
要解决探究中的问题,必须先求出胜一场积几分,负一场积几分.你能从积分表中得到负一场积几分吗?
能否求出胜一场得几分?
如何检验结论的正确性?
利用上述问题引导学生观察球赛积分表,在独立思考之后相互交流,逐步得出积分规则.
(1)观察积分榜,从最下面的一行数据可以发现:
负一场积1分.
(2)设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出x的值.例如,从第一行得方程10x+1×4=24,解得x=2.
(3)用表中其他行可以验证,得出此次比赛的积分规则:
负一场积1分,胜一场积2分.
问题2:
如何计算总积分?
你能不能列一个式子来表示积分与胜、负场数之间的数量关系?
请一名同学板演,其他同学独立完成,教师巡视时注意对有困难的同学进行指导,然后结合板演交流、评价、修正.
总积分=胜场积分+负场积分,胜场数+负场数=14.
如果一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m,
总积分为2m+(14-m)=m+14.
问题3:
某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
先让学生尝试解决,然后引导学生思考归纳.解决此类问题,通常先假设某队的胜场总积分能等于它的负场总积分,列出方程进行计算,然后根据计算结果作出判断.如:
这里的x表示什么量?
你求出的x符合要求吗?
这说明什么问题?
从而得出结论.结合此题让学生体会:
①利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进一步推理;②解决实际问题时,检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的.
设某个队胜了x场,则负了(14-x)场,如果这个队的胜场积分等于负场积分,则得方程:
2x-(14-x)=0.
解这个方程,可得x=
.
由于这里x(所胜的场数)的值必须是整数,所以x=
不符合实际,由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分.
上述问题解决之后,要求学生回顾探究过程,完善自己的解题步骤.
教学说明
将探究中的问题设计成系列小问题,引导学生观察思考,学习如何从表格中获取数据信息,挖掘出题目中隐含的数量关系,进而列出方程解决问题.每一个问题的解决均遵循先独立思考后交流讨论再讲解规范的步骤,力求让学生有充裕的动脑动手动口的时间和机会,教师在全面了解学生需要的基础上重点引领学生梳理思路,提炼思想方法.
三、巩固训练,熟练技能
设计说明
设计背景不同的练习题,进一步训练学生从不同的形式获取数据信息的能力,及运用方程进行计算、判断说理的能力.
问题1:
某班的一次数学小测验中,共出了20道选择题,每题5分,总分为100分,现从中抽出5份试卷进行分析,如下表:
试卷
正确个数
错误个数
得分
A
19
1
94
B
18
2
88
C
17
3
82
D
14
6
64
E
10
10
40
有一同学说:
同学甲得了70分,同学乙得了86分,谁的成绩是准确的?
为什么?
解:
由图表可知,答正确一题得5分,不正确一题扣1分.
设甲答对了x道,则答错了(20-x)道,
由题意可得5x-(20-x)×1=70.
解得x=15.
设乙答对了y道,则答错了(20-y)道,
由题意可得5y-(20-y)×1=86.解得y=17
.
因为x,y是做对的题目个数,所以x,y是自然数.所以甲同学的成绩是准确的,乙同学的成绩是不准确的.
问题2:
一足球邀请赛,勇士队在第一轮比赛中共赛了9场,得分17分.比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场,那么这个队胜了几场?
又平了几场?
分析:
9场比赛,负2场,胜几场?
平几场?
(胜平共9-2=7场)
场胜(3分):
?
场平(1分):
?
场负(0分):
2场.
总得分=胜总得分+平总得分+负总得分.
解:
设这个队胜了x场,则平了(7-x)场.
由题意得:
胜x场得3x分,平(7-x)场得(7-x)分,负2场得0分.
总得分:
3x+(7-x)=17.解得x=5.
7-x=7-5=2.
答:
这个队胜了5场,则平了2场.
教学说明
学生独立思考解答上述题目,两生板演,教师巡视中及时记录发现的问题,为有困难的学生提供帮助,点评时抓住关键,并督促学生及时规范步骤.
四、总结反思,情意发展
1.本节课你学习了什么?
2.本节课你有哪些收获?
3.通过今天的学习,你想进一步探究的问题是什么?
五、布置作业
1.课本106页练习第3题,课本107~108页习题第8题,第13题.
2.课本112页复习题3第9题.
教学说明
及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节,练习题主要训练学生从不同的表达形式中获取数据信息的能力.
六、拓展练习
设计说明
选择部分新颖或有一定难度的题目,拓展学生视野,为优秀生提供发展的平台.
1.2007上海中考2001年以来,我国曾五次实施药品降价,累计降价的总金额为269亿元,五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示,表中缺失了2003年、2007年相关数据.已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍,结合表中信息,求2003年和2007年的药品降价金额.
年份
2001
2003
2004
2005
2007
降价金额(亿元)
54
35
40
解:
设2003年的药品降价金额为x亿元,则2007年的药品降价金额为6x亿元.
根据题意,得54+x+35+40+6x=269.解方程,得x=20,∴6x=120.
答:
2003年和2007年的药品降价金额分别为20亿元和120亿元.
2.2007浙江宁波中考2007年5月19日起,中国人民银行上调存款利率.
人民币存款利率调整表
项目
调整前年利率%
调整后年利率%
活期存款
0.72
0.72
两年期定期存款
2.79
3.06
储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息,利息税率为20%.
(1)小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行,到期时他实得利息收益是多少元?
(2)小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款,到期时按调整前的年利率2.79%计息,本金与实得利息收益的和为2555.8元,问他这笔存款的本金是多少元?
(3)小明爸爸有一张在2007年5月19日前存入的10000元的一年期定期存款单,为获取更大的利息收益,想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款.问他是否应该转存?
请说明理由.
约定:
①存款天数按整数天计算,一年按360天计算利息.
②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内,获得的利息比较.如果不转存,利息按调整前的一年期定期利率计算;如果转存,转存前已存天数的利息按活期利率计算,转存后,余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算(转存前后本金不变).
解:
(1)3500×3.06%×80%=85.68(元),∴到期时他实得利息收益是85.68元.
(2)设他这笔存款的本金是x元,则x(1+2.79%×80%)=2555.8,
解得x=2500.∴这笔存款的本金是2500元.
(3)设小明爸爸的这笔存款转存前已存了x天,
由题意,得(1-20%)[10000×
×0.72%+10000×
×3.06%]>(10000×2.79%)(1-20%),解得x<41
.
当他这笔存款转存前已存天数不超过41天时,他应该转存;否则不需转存.
教学说明
表格信息题是将已知条件呈现在具有表头、表行和表列的表格中,其中表头反映着研究对象,表行和表列反映着所涉及的数量关系,主要培养学生管理数据、分析数据、处理数据的能力.
由于学生已经掌握了利用一元一次方程解应用题的一般方法、步骤,所以在本课的探究中教师重点引导学生观察、思考、分析,学会如何从表格中获取数据信息,以及怎样利用计算结果进行推理判断.为此,设计了系列梯度较小的问题引导学生自主探索、合作交流,主要是让学生动脑想、动口说、动手做,同时教师引导学生适时对解题思路方法进行总结提炼,使学生对问题的理解逐步深化,对解决问题的思想方法有更进一步的认识.
设计者:
任秀英
第三课时
重点难点
教学重点:
1.建立列方程解决实际问题的思想方法.
2.分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程.
教学难点:
1.探索并发现实际问题中的等量关系,并列出方程.
2.使学生逐步会运用列方程解决实际问题的思想方法.
教学目标
1.经历运用方程解决实际问题的过程,发展抽象、概括、分析和解决问题的能力,进一步体会模型化的思想.
2.学会探索数列中的规律,建立等量关系;通过探究实际问题与一元一次方程的关系,感受数学的应用价值.
3.能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性,通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程,使学生体会到列方程解应用题更简捷明了,省时省力.
4.通过学生间的相互交流、沟通,培养他们的协作意识.
教材处理
本节将从实际问题入手,引起学生学习的兴趣,激发学生钻研问题的能力,进而进入知识的学习,形成知识网络.
教学方法
采用自主探究与引导相结合的教学方法,使学生发现实际问题中的相等关系并列出方程,课堂训练体现学生的主体地位,引进竞争机制,调动课堂气氛.
一、创设情境,提出问题
设计说明
本问题是一道与生活相关的移动电话收费的问题,让学生讨论选择经济实惠的收费方式很有现实意义.
问题1:
信息社会,人们沟通交流方式多样化,移动电话已很普及,选择经济实惠的收费方式很有现实意义,观察下列两种移动电话计费方式表:
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
设计以下问题:
(1)你能从表中获得哪些信息,试用自己的话说说.
(2)猜一猜,使用哪一种计费方式合算?
(3)一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各需交费多少元?
(4)对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样的情况吗?
问题2:
用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程是怎样的?
设计说明
通过问题的提出,引起学生学习的兴趣,激发学生的求知欲,进而进入知识的学习与探究.
二、探索新知
1.情境解决
解决问题1:
学生充分交流讨论、整理归纳.
解:
(1)用“全球通”每月收月租费50元,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费;用“神州行”不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费.
(2)不一定,具体由当月累计通话时间决定.
(3)列表:
全球通
神州行
200分
130元
120元
300分
170元
180元
(4)设累计通话t分,则用“全球通”要收费(50+0.4t)元,用“神州行”要收费0.6t元,如果两种计费方式的收费一样,则0.6t=50+0.4t.
移项,得0.6t-0.4t=50.合并,得0.2t=50.系数化为1,得t=250.
答:
如果一个月内通话250分,那么两种计费方式的收费相同.
教学说明
理解问题本身是列方程的基础,本例是通过表格形式给出已知数据的,通过设计问题
(1)、
(2)、(3)让学生展开讨论,帮助理解,培养学生的读题能力和收集信息的能力.问题
(2)是开放性的,答案与通话时间有关,以表格的形式呈现数据,简单明了,易于比较.通过探究实际问题与一元一次方程的关系,提高分析问题、解决问题的能力.
解决问题2:
小组讨论,试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程.
学生思考、讨论、整理.
教学说明
这是第一次比较完整地用框图反映实际问题与一元一次方程的关系,让学生结合自己的解题过程概括整理,帮助理解、培养模型化的思想和应用数学于现实生活的意识.
2.列一元一次方程解应用题
设计说明
本例是有关数列的数学问题,要求出三个未知数,与前几节不同的是,问题中没有明确未知数之间的联系,需要学生观察发现它们的排列规律,问题具有一定的挑战性,能激发学生探索规律的兴趣.
例题前几节课,我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题,其实许多数列、游戏活动中也蕴含着方程知识.看下面关于数列的数学问题:
有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243…其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
师生共同分析,完成解答过程:
解:
设这三个相邻数中的第一个数为x,
则第2个数为-3x,第3个数为-3×(-3x)=9x.
根据这三个数的和是-1701,得x-3x+9x=-1701.
合并,得7x=-1701.
系数化为1,得x=-243.
所以,-3x=729,9x=-2187.
答:
这三个数是-243,729,-2187.
教学说明
通过讨论让学生认识到:
用一元一次方程解含多个未知数的问题时,通常先设其中一个为x,再根据其他未知数与x的关系,用含x的式子表示这些未知数.完整的解题过程的呈现,有利于培养学生有条理的思考与表达.如有学生提出不同的设未知数的方法,同样给予鼓励.
三、变式训练,熟练技能
1.基础性练习
(1)三个连续的奇数的和是27,求这三个奇数;
(2)三个连续偶数的和是30,求这三个偶数.
2.拓展性练习
一个两位数,个位数字是十位数字的3倍,如果把个位数字与十位数字对调,那么得到的新数比原数大54,求原来的两位数.
3.联系实际的练习
在某月内,李老师要参加三天的学习培训,现在知道这三天的日期的数字之和是39.若培训时间是连续的三天,你知道这几天分别是当月的哪几号吗?
若培训时间是连续三周的周六,那么这几天又分别
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