湘教版高中数学选修11第3章333三次函数的性质单调区间和极值.docx
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湘教版高中数学选修11第3章333三次函数的性质单调区间和极值
3.3.3 三次函数的性质:
单调区间和极值
[读教材·填要点]
设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则F′(x)=3ax2+2bx+c是二次函数,可能有以下三种情形:
(1)函数F′(x)没有零点,F′(x)在(-∞,+∞)上不变号.
①若a>0,则F′(x)恒正,F(x)在(-∞,+∞)上递增;
②若a<0,则F′(x)恒负,F(x)在(-∞,+∞)上递减.
(2)函数F′(x)有一个零点x=w.
①若a>0,则F′(x)在(-∞,w)∪(w,+∞)上恒正,F(x)在(-∞,+∞)上递增;
②若a<0,则F′(x)在(-∞,w)∪(w,+∞)上恒负,F(x)在(-∞,+∞)上递减.
(3)函数F′(x)有两个零点x=u和x=v,设u ①若a>0,则F′(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为正,在(u,v)上为负;F(x)在(-∞,u)上递增,在(u,v)上递减,在(v,+∞)上递增. 可见F(x)在x=u处取极大值,在x=v处取极小值. ②若a<0,则F′(x)在(-∞,u)和(v,+∞)上为负,在(u,v)上为正;F(x)在(-∞,u)上递减,在(u,v)上递增,在(v,+∞)上递减. 可见F(x)在x=u处取极小值,在x=v处取极大值. [小问题·大思维] 1.在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗? 在区间(a,b)上呢? 提示: 在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.如果函数f(x)在[a,b]上是单调的,此时f(x)在[a,b]上无极值;如果f(x)在[a,b]上不是单调函数,则f(x)在[a,b]上有极值;当f(x)在(a,b)上为单调函数时,它既没有最值也没有极值. 2.若函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在区间[a,b]上有且只有一个极小值点,那么该极小值是否是函数的最小值? 提示: 借助图象可知,该极小值就是函数的最小值. 三次函数的单调性和极值 求下列函数的单调区间和极值. (1)y=2x3+6x2-18x+3; (2)y=-x3+12x+6. [自主解答] (1)函数的定义域为R. y′=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1), 令y′=0,得x=-3或x=1. 当x变化时,y′,y的变化情况如下表: x (-∞,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+∞) y′ + 0 - 0 + y 极大值57 极小值-7 ∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),(1,+∞);单调减区间为(-3,1). 当x=-3时,函数有极大值,且y极大值=57;当x=1时,函数有极小值,且y极小值=-7. (2)y′=-3x2+12=-3(x+2)(x-2), 令y′=0,则x1=-2,x2=2. 当x变化时,y′,y的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) y′ - 0 + 0 - y 极小值-10 极大值22 ∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,-2),(2,+∞); 单调增区间为(-2,2). 当x=-2时,y有极小值,且y极小值=f(-2)=-10;当x=2时,y有极大值,且y极大值=f (2)=22. (1)求多项式函数的单调区间,关键是求出f′(x)后,解不等式f′(x)>0和f′(x)<0. (2)单调区间可以是开区间,如果区间端点在定义域内,也可写成闭区间. 1.求函数y=8x3-12x2+6x+1的极值. 解: y′=24x2-24x+6=6(4x2-4x+1), 令y′=6(4x2-4x+1)=0, 解得x1=x2=. 当x变化时,y′,y的变化情况如表所示: x y′ + 0 + y 不是极值 所以此函数无极值. 求函数的最值 求下列各函数的最值. (1)f(x)=-x3+x2+x+1,x∈[-3,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. [自主解答] (1)f′(x)=-3x2+2x+1, 令f′(x)=-(3x+1)(x-1)=0,得 x=-或x=1. 当x变化时f′(x)及f(x)的变化情况如下表: x -3 - 1 (1,2) 2 f′(x) - 0 + 0 - f(x) 34 极小值 极大 值2 -1 ∴当x=2时,f(x)取最小值-1; 当x=-3时,f(x)取最大值34. (2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故x=-1时,f(x)最小值=-12; x=1时,f(x)最大值=2. 即f(x)的最小值为-12,最大值为2. 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤: (1)求函数的导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的全部实根x0,且x0∈[a,b]; (3)求最值,有两种方式: ①是将f(x0)的值与f(a),f(b)比较,确定f(x)的最大值与最小值; ②是判断各分区间上的单调性,然后求出最值. 2.求函数f(x)=4x3+3x2-36x+5在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 解: f′(x)=12x2+6x-36=6(2x2+x-6), 令f′(x)=0,解得x1=-2,x2=. 又f(-2)=57,f=-,f (2)=-23, ∴函数f(x)的最大值为57,最小值为-. 三次函数性质的综合应用 设f(x)=-x3+x2+2ax. (1)若f(x)在上存在单调递增区间,求a的取值范围; (2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值. [自主解答] (1)由f′(x)=-x2+x+2a =-2++2a, 当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a;令+2a>0,得a>-. 所以,当a∈时,f(x)在上存在单调递增区间. (2)令f′(x)=0,得两根x1=, x2=. 所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增. 当0<a<2时,有x1<1<x2<4,所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2),又f(4)-f (1)=-+6a<0, 即f(4)<f (1). 所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-. 得a=1,x2=2,从而f(x)在[1,4]上的最大值为f (2)=. (1)f(x)在区间I上为增函数⇒f′(x)≥0在区间I上恒成立,f(x)在区间I上为减函数⇒f′(x)≤0在区间I上恒成立. (2)由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用,解题时一般采用待定系数法,列出含参数的方程或方程组,从而求出参数的值,这也是方程思想的应用. 3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f (1))处的切线方程为y=3x+1. (1)求a,b的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值. 解: (1)依题意可知点P(1,f (1))为切点,代入切线方程y=3x+1可得,f (1)=3×1+1=4, ∴f (1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2, 又由f(x)=x3+ax2+bx+5得, 又f′(x)=3x2+2ax+b, 而由切线y=3x+1的斜率可知f′ (1)=3, ∴3+2a+b=3,即2a+b=0, 由解得 ∴a=2,b=-4. (2)由 (1)知f(x)=x3+2x2-4x+5, f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2), 令f′(x)=0,得x=或x=-2. 当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如下表: x -3 (-3,-2) -2 1 f′(x) + 0 - 0 + f(x) 8 极大值 极小值 4 ∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f=, 又f(-3)=8,f (1)=4, ∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13. 已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-2时都取得极值. (1)求a,b的值; (2)若x∈[-3,2]时都有f(x)>2c-恒成立,求c的取值范围. [巧思] 解决不等式恒成立问题,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理,而导数是研究函数性质的有力工具,因而常将不等式f(x)>g(x)(f(x) [妙解] (1)f′(x)=3x2+2ax+b, 由题意,得即 解得 (2)由 (1)知f′(x)=3x2+3x-6. 令f′(x)=0得x=-2或x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所示: x -3 (-3,-2) -2 (-2,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + f(x) +c 极大值 c+10 极小值 c- 2+c ∴f(x)在[-3,2]上的最小值为c-. 即2c- ∴c<-3, ∴c的取值范围为(-∞,-3). 1.下面四幅图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( ) A.①③ B.③④ C.②③④D.②④ 解析: 根据函数的单调性与其导函数函数值之间的关系,易得③④一定不正确. 答案: B 2.函数f(x)=2x3-9x2+12x+1的单调递减区间为( ) A.(1,2)B.(2,+∞) C.(-∞,1)D.(-1,+∞),(2,+∞) 解析: f′(x)=6x2-18x+12, 令f′(x)<0,得1<x<2. 答案: A 3.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 解析: f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值. 答案: D 4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13,则实数m等于________. 解析: y′=-3x2+12x,由y′=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19. 答案: -19 5.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)是R上的增函数,则a,b,c的关系式为________. 解析: f′(x)=3ax2+2bx+c≥0在R上恒成立,则从而解得a>0,且b2≤3ac. 答案: a>0且b2≤3ac 6.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求a的值及f(x)在[-2,2]上的最大值. 解: f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), 由f′(x)=0得x=0,或x=2. 当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下: x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - 0 f(x) -40+a 极大值a -8+a ∴当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,得a=3. 故x=0时,f(x)最大值是3. 一、选择题 1.函数y=f(x)在[a,b]上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 解析: 由最值与极值的概念可知,D选项正确. 答案: D 2.函数y=x3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值为( ) A.1 B.5 C.12D.-15 解析: y′=3x2-3,令y′=0,得3x2-3=0, ∴x=1或x=-1. 当-1 当x>1或x<-1时,y′>0, ∴y极小值=1,y极大值=5. 又当x=-3时,y=-15; 当x=3时,y=21,∴ymin=-15. 答案: D 3.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则有( ) A.a=-2,b=4B.a=-3,b=-24 C.a=1,b=3D.a=2,b=-4 解析: f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有-2和4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-=-2+4,=-2×4,解得a=-3,b=-24. 答案: B 4.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10B.-71 C.-15D.-22 解析: f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1). 由f′(x)=0得x=3或x=-1. 又f(-4)=k-76,f(3)=k-27, f(-1)=k+5,f(4)=k-20. 由f(x)max=k+5=10,得k=5, ∴f(x)min=k-76=-71. 答案: B 二、填空题 5.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递减区间为________. 解析: f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 令f′(x)<0,得-1 ∴f(x)的单调递减区间为(-1,11). 答案: (-1,11) 6.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是________. 解析: f′(x)=3x2+2x+m,∵f(x)在R上是单调函数, ∴Δ=4-12m≤0,即m≥. 答案: 7.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于________. 解析: ∵f′(x)=12x2-2ax-2b, ∴Δ=4a2+96b>0,又x=1是极值点, ∴f′ (1)=12-2a-2b=0,即a+b=6. ab≤=9,当且仅当a=b时“=”成立, ∴ab的最大值为9. 答案: 9 8.函数f(x)=x3-x2-2x+5,对任意x∈[-1,2]都有f(x)>m,则实数m的取值范围是________. 解析: 由f′(x)=3x2-x-2=0,得x=-或x=1, 由题意知只要f(x)min>m即可, 易知f(x)min=f (1)=,所以m<. 答案: 三、解答题 9.求下列各函数的最值: (1)f(x)=-x3+3x,x∈[-,3]; (2)f(x)=x2-(x<0). 解: (1)f′(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x). 令f′(x)=0,得x=1或x=-1, 当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x - (-,-1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 f′(x) - 0 + 0 - f(x) 0 极小值 极大值 -18 所以x=1和x=-1是函数f(x)在[-,3]上的两个极值点,且f (1)=2,f(-1)=-2. 又因为f(x)在区间端点处的函数值为f(-)=0, f(3)=-18, 所以f(x)max=2,f(x)min=-18. (2)f′(x)=2x+.令f′(x)=0,得x=-3. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-3) -3 (-3,0) f′(x) - 0 + f(x) 极小值 所以x=-3时,f(x)取得极小值,也就是最小值, 故f(x)的最小值为f(-3)=27,无最大值. 10.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值. (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间. (2)若x∈[-1,2],不等式f(x) 解: (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c, 得f′(x)=3x2+2ax+b, 因为f′ (1)=3+2a+b=0, f′=-a+b=0,解得a=-,b=-2, 所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表: x - 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的递增区间为和(1,+∞); 递减区间为. (2)由 (1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],当x=-时,f=+c为极大值, 因为f (2)=2+c, 所以f (2)=2+c为最大值. 要使f(x) (2)=2+c, 解得c<-1或c>2. 故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
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