数字信号处理参考试题3讲解.docx
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数字信号处理参考试题3讲解
第三章离散傅里叶变换
1.如图P3-1所示,序列是周期为6的周期性序列,试求其傅里叶级数的系数。
图P3-1
解:
由
计算求得,,
,
2.设,,试求,并作图表示,。
解:
由
计算求得,,
,
,如图P3-2所示。
图P3-2
3.设,令,,试求与的周期卷积并作图。
解:
在一个周期内的计算值
N
1
2
3
4
5
0
0
0
1
1
1
1
0
14
1
0
0
1
1
1
1
12
2
1
0
0
1
1
1
10
3
1
1
0
0
1
1
8
4
1
1
1
0
0
1
6
5
1
1
1
1
0
0
10
4.已知如图P3-4(a)所示,为{1,1,3,2},试画出,,,,,等各序列。
解:
各序列如图P3-4(b)所示。
图P3-3
图P3-4(a)
图P3-4(b)
5.试求以下有限长序列的N点DFT(闭合形式表达式):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:
(1)因为,所以
(2)因为,所以
(3)因为,所以
(4)因为,所以
所以
(5)由,则
根据第(4)小题的结论
则
所以
6.如图P3-6(a)画出了几个周期序列,这些序列可以表示成傅里叶级数
问:
(1)哪些序列能够通过选择时间原点使所有的成为实数?
(2)哪些序列能够通过选择时间原点使所有的)(除外)成为虚数?
(3)哪些序列能做到=0,k=±2,±4,±6,…
图P3-6(a)
解:
(1)要使为实数,即要求
根据DFT的性质,应满足实部偶对称,虚部奇对称(以n=0为轴)。
又由图知,为实序列,虚部为零,故应满足偶对称
即是以n=0为对称轴的偶对称,可看出第二个序列满足这个条件。
如图P3-6(b)所示。
图P3-6(b)
(2)要使为虚数,即要求
根据DFT的性质,应满足实部奇对称,虚部偶对称(以n=0为轴)。
又已知为实序列,故
即在一个周期内,在一圆周上是以n=0为对称轴的奇对称,所以这三个序列都不满足这个条件。
(3)由于是8点周期序列,对于第一个序列有
当
对于第二个序列有
当
对于第三个序列有
根据序列移位性质可知
当
综上所得,第一,第三个序列满足
7.在图P3-7(a)中画了两个有限长序列,试画出它们的六点圆周卷积。
图P3-7(a)
解:
结果如图P3-7(b)所示。
图P3-7(b)
8.图P3-8(a)表示一个5点序列。
(1)试画出;
(2)试画出;
(4)试画出;
图P3-8(a)
解:
个小题的结果分别如图P3-8(b),P3-8(c),,P3-8(d)所示。
图P3-8(b)
图P3-8(c)
图P3-8(d)
9.设有两个序列
各作15点的DFT,然后将两个DFT相乘,再求乘积的IDFT,设所得结果为,问的哪些点(用序号n表示)对应于应该得到的点。
解:
序列的点数为N1=6,y(n)的点数为N2=15,故的点数应为
又为与的15点的圆周卷积,即L=15。
所以,混叠点数为N-L=20-15=5。
即线性卷积以15为周期延拓形成圆周卷积序列时,一个周期内在n=0到n=4(=N-L-1)
这5点出发生混叠,即中只有n=5到n=14的点对应于应该得到的点。
10.已知两个有限长序列为
试作图表示,以及。
解:
结果如图P3-10所示。
图P3-10
11.已知是N点有限长序列,。
现将长度变成rN点的有限长序列
试求rN点DFT[y(n)]与X[k]的关系。
解:
由
可得
所以在一个周期内,的抽样点数是的r倍(的周期为Nr),相当于在的每两个值之间插入r-1个其他的数值(不一定为零),而当k为r的整数l倍时,与相等。
12.已知是N点的有限长序列,,现将的每两点之间补进r-1个零值点,得到一个rN点的有限长序列
试求rN点DFT[y(n)]与X[k]的关系。
解:
由
可得
而
所以是将(周期为N)延拓r次形成的,即周期为rN。
13.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样,计算了512各抽样的DFT,试确定频谱抽样之间的频率间隔,并证明你的回答。
证明:
由
得
其中是以角频率为变量的频谱的周期,是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
则
对于本题有
14.设由一谱分析用的信号处理器,抽样点数必须为2的整数幂,假定没有采用任何特殊数据处理措施,要求频率分辨力≤10Hz,如果采用的抽样时间间隔为0.1ms,试确定:
(1)最小记录长度;
(2)所允许处理的信号的最高频率;(3)在一定记录中的最好点数。
解:
(1)因为,而,所以
而最小记录长度为0.1s。
(2)因为,而
所以
即允许处理的信号的最高频率为5kHz。
(3),又因N必须为2的整数幂,所以一个记录中的最少点数为。
15.序列的共轭对称和共轭反对称分量分别为
,
长度为N的有限长序列(0≤n≤N-1)的圆周共轭对称和圆周共轭反对称分量分别定义如下:
(1)证明
(2)把看作长度为N的序列,一般说,不能从恢复,也不能从恢复。
试证明若把看作长度为N的序列,且n≥N/2时,则从可恢复,从可恢复。
证明
(1)
①方法一
由于只在的范围内有值,则有
n=0时
(a)时
所以
(b)n=0时,
则有
综上所述
同理可证
②方法二
(a)
因为
所以
⑴+⑵得
(b)由于
(4)+(5)得
(3)与(6)比较可知
同理可证
(2)利用
(1)的结果
1按照题意,当时,。
此时
,
所以当时,,,故
所以当时,。
2当时,按共轭对称有
且由
(1)的结论知
当时
所以
综上①、②可得
同理可证
16.令表示N点序列的N点离散傅里叶变换,
(1)证明如果满足关系式,则。
(2)证明当N为偶数时,如果,则。
证明
(1)因为
当时
可以求得
当k=0时
即
(2)依照
(1),当时,可得
当(N为偶数)时
由N为偶数,则有
所以
即
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