知识讲解空间向量及其线性运算.docx
- 文档编号:6397731
- 上传时间:2023-01-06
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:705.73KB
知识讲解空间向量及其线性运算.docx
《知识讲解空间向量及其线性运算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《知识讲解空间向量及其线性运算.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
知识讲解空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
【学习目标】
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法;2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律;3.掌握数量积的概念及其几何意义,掌握数量积的运算律;4.掌握空间向量的共线定理和共面定理,并能用它们分析解决有关问题.
【要点梳理】
要点一:
空间向量的相关概念
1.空间向量的定义:
空间向量:
空间中,既有大小又有方向的量;空间向量的表示:
一种是用有向线段AB表示,A叫作起点,B叫作终点;一种是用小写字母a(印刷体)表示,也可以用a(而手写体)表示.
向量的长度(模):
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作|AB|或|a|.
向量的夹角:
过空间任意一点O作向量a,b的相等向量OA和OB,则AOB叫作向量a,b的夹角,记作a,b,规定0a,b.如图:
要点诠释:
(1)空间中点的一个平移就是一个向量;
(2)数学中讨论的向量是自由向量,即与向量的起点无关,只与大小和方向有关.只要不改变大小和方向,空间向量可在空间内任意平移;
(3)要确定向量a,b的夹角必须将它们平移到同一起点;
(4)当a,b=0或时,向量a,b平行,记作ab;当a,b=时,向量a,b垂直,记作
2
ab.
2.空间向量的有关概念:
零向量:
长度为0或者说起点和终点重合的向量,记为0.规定:
0与任意向量平行.
单位向量:
长度为1的空间向量,即|a|1.
相等向量:
方向相同且模相等的向量.
相反向量:
方向相反但模相等的向量.
共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平
行向量.a平行于b记作a//b,此时.a,b=0或a,b=.
共面向量:
平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
要点诠释:
(1)当我们说向量a、b共线(或a//b)时,表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线.
(2)向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,因此我们说空间
任意两个向量是共面的.
(3)对于任意一个非零向量a,我们把a叫作向量a的单位向量,记作a0.a0与a同向.a00
要点二:
空间向量的加减法
1.向量加法与减法的定义空间中任意两个向量都是共面的,它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.(如下图)
2.向量加减法的运算律
交换律:
abba;
结合律:
(ab)ca(bc).
要点诠释:
(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展,空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则.而且满足交换律、结合律,这样就可以自由结合运算,可以将向量合并;
(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算,满足三角形法则.
(3)空间向量加法的运算的小技巧:
①首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即:
A1A2A2A3A3A4An1AnA1An
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量;
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即:
要点三:
空间向量的数乘运算
1.向量数乘的定义:
空间向量a与实数的乘积a仍是一个向量,称为向量的数乘运算.满足:
(1)|a|=|||a|.当>0时,a与a方向相同;
(2)当>0时,a与a方向相同;当<0时,向相反;当=0时,a=0.
如右图所示.
2.向量数乘的运算律
分配律:
(a+b)=a+b,(+)a=a+a(,R);
结合律:
(μa)=(μ)a(,R).
要点诠释:
(1)实数与空间向量a的乘积a(∈R)为空间向量的数乘运算,空间向量的数乘运算可把向伸长或缩短或改为反方向的向量,当0<<1时,向量缩短;当>1时,向量伸长;当<
0时,改为反方向的向量.
(2)注意实数与向量的积的特殊情况,当=0时,a=0;当≠0时.若a≠0时,有a≠0.
(3)实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,比如:
+a,-a无意义.
要点四:
空间向量的数量积
1.数量积的定义
空间中两个向量a和b的数量积是一个数,等于|a||b|cos〈a,b〉,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
要点诠释:
(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等,都与平面向量相同.
(2)两向量的数量积,其结果是数而非向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.
(3)两个向量的数量积是两向量的点乘,与以前学过的向量之间的乘法是有区别的,在书写时一定要将它们区别开来,不可混淆.
2.空间向量数量积的性质
设a,b是非零向量,e是单位向量,则
abab0;
3.空间向量的数量积满足如下运算律:
(1)交换律:
a·bb·a;
(2)分配律:
a·(bc)a·ba?
cb+a·c;
(3)(a)·b=a?
b.
要点诠释:
(1)对于三个不为0的实数a、b、c,若a?
ba?
c,则bc;对于三个不为0的向量,若abbc不能得出bc,即向量不能约分.
kk
(2)若a?
bk,不能得出ak(或bk),就是说,向量不能进行除法运算.
ba
(3)对于三个不为0的实数,a、b、c有abcabc,对于三个不为0的向量a、b、c,
有abcabc,向量的数量积不满足结合律.
要点五:
共线定理
1.共线定理
空间任意两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数,使ab.
要点诠释:
(1)此定理可分解为以下两个命题:
①a∥b(b≠0)存在唯一实数,使得a=b;
②存在唯一实数,使得a=b(b≠0),则a∥b.
(2)b≠0不可丢掉,否则实数就不唯一.
(3)当b=0时,对于任意一个向量a,a∥b恒成立.
2.共线定理的用途:
①判定两条直线平行(进而证线面平行);
②证明三点共线.
注意:
证明平行时,先从两直线上取有向线段表示两个向量,然后利用向量的线性运算证明向量共线,进而可以得到线线平行,这是证明平行问题的一种重要方法.证明三点共线问题,通常不用图形,直接利用向量的线性运算即可,但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
要点六:
共面定理
1.共面向量的定义
通常把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意:
空间任两个向量是共面的,但空间任三个向量就不一定共面了.2.共面向量定理.
如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序
推论:
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y,使
上式叫做平面MAB的向量表达式.3.共面向量定理的用途:
①证明四点共面
②证明线面平行(进而证面面平行)【典型例题】类型一:
空间向量的线性运算
例1.已知平行六面体ABCDA'B'C'D',M是AA
CG∶GA'=2∶1,设CD=a,CB=bC,C'=c,试用a、b、c表示CA
思路点拨】要想用a、b、c表示所给出的向量,只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即
可.
解析】如图所示.
CACBBAab.
CA'CAAA'CACC'abc.
CMCAAMCBCD
11
CC'abc.
22
22CGCA'(abc).
33
【总结升华】在用已知向量表示未知向量的时候,要注意寻求两者之间的关系,通常可将未知向量进行一系列的转化,将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中,从而可以建立已知与未知之间的关系式.另外,在平行六面体中,要注意相等向量之间的代换.例如,在求CA'时,
利用了AA'CC',把AA'转化为CC'.把一个向量用其他向量来表示,其实质就是把一个向量进行分
1的交点.若ABa,
解,这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础.举一反三:
【变式1】如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与
ADb,AA1c,则下列向量中与BM相等的向量是()
答案】
M为BC的中点,
试用向量a、b、c来表示向量CA、CA'.
答案】CA=ab;CA'abc
在平行六面体ABCDA'B'C'D'中,四边形ABCD是平行四边形,
CACBCDbaab.
又因为四边形ACC'A'为平行四边形,
∴CA'CACC'CBCDCC'abc.
A.①②B.②③
【思路点拨】在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后像平面向量求和那样,运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解.
【答案】A
【解析】
①(A1D1A1A)ABA1D1AA1BABD1;
②(BCBB1)D1C1BCBB1C1D1BC1C1D1BD1;
③(ADAB)DD1BDD1DBDDD1BDDD12DD1BD12DD1BD1;
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法时既可转化为加法,也可按减法法则进行运算,加、减之间可以相互转化.表达式中各向量系数相等时,根据数乘分配律,可以把相同的系数提到括号外面.
量:
0.
答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则,封闭图形,首尾连接的向量的和为
1
(OAOBOC).
3
思路点拨】先在ΔOBC中考虑中线OD,然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点,分成的比是2:
1,
两次使用向量的运算性质,把相关向量用OA,OB,OC表示即可.【解析】如图所示,
∵G是ΔABC的重心,
∴AG2GD,D为BC的中点,
∴OGOAAG2ADOA2(ODOA)OA
33
21
[(OBOC)OA]OA
32
1
(OAOBOC)
3
【总结升华】
(1)灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键;
1
(2)此类例题常用到结论:
若OD是ΔOBC的中线,则有OD2(OBOC)
举一反三:
变式1】在如图所示的平行六面体中,求证:
ACAB'AD'2AC'.
答案】证明如下:
【答案】21,14,34
1)如图所示,
1
取AA'的中点为E,则1AA'EA'
2
取F为D'C'的一个三等分点,则D'F2AB
3
又BCA'D',ABD'C',
12
∴AA'BCABEA'A'D'D'FEF.(表示法不唯一)23
1
2)MNMBBN
11
12,14,
类型二:
空间向量的数量积
例5.已知向量ab,向量c与a,b的夹角都是60,且|a|1,|b|2,|c|3,试求:
1)(a2bc)2;
(2)(3a2b)(b3c).
cos6032
思路点拨】和平面向量一样,空间向量数量积运算类似于多项式的乘法.解析】∵向量ab,向量c与a,b的夹角都是60,且|a|1,|b|2,|c|3,
∴a21,b4,c29,ab0,acac
1)(a2bc)2=a2(2b)2c22a2b2ac4bc
=1+16+9+0-3-12=11;
2277
(2)(3a2b)(b3c)=3ab3a3c2b2b3c=0--8+18=.
22
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外,其它都满足,所以其运算和实数的运算基本相同.
举一反三:
【变式1】设向量a与b互相垂直,向量c与它们构成的角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么a3c3b-2a=;2ab-3c=.
【答案】-62;373
a3c3b2a
=3ab2a29cb6ac
2
3abcos902a9cbcos606accos60
62
2
.同理可得2ab3c=373
变式2】已知:
abc0,|a|3,|b|1,|c|4,试计算abbcca.
答案】
13
abc0,
可得
222
ab)c(ab)c0|a2||b2||2c2|a2bb2cc.0a
|a|3,|b|1,|c|4,
abbcca13.
E、F、
例6.如右图,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,G分别是AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积.
1)ABAC;
(2)ADBD;(3)GFAC;
4)EFBC.
思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底解析】在空间四边形ABCD中,
∵|AB||AC|a,AB,AC60,
点
1)
12
∴ABACaacos60a2.
2
2)
∵|AD|a,|BD|a,AD,BD60,
∴ADBDa
12cos60a2.
2
3)
∵|GF|21a,
|AC|a,又GF//AC,∴GF,AC
1212
∴GFACa2cosa2.
2
12
1
4)∵|EF|2a,|BC|a,EF//BD,
∴EF,BCBD,BC60,∴EFBC
1a2cos601a2
24
总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样,
关键在于确定两个向量之间的夹角以及它
们的模,利用公式:
ababcosa,b即可顺利计算.
【高清课堂:
空间向量的数量积399424例题1】
举一反三:
变式】已知在长方体
ABCDA'B'C'D'?
中,ABAA'2,AD4,E为
侧面AA'B'B的中心,
F为A'D'的中点.求下列向量的数量积:
1)BCED';
2)
EFFC'.
答案】
(1)BCED'BC(EA'A'D')BCEA'BCA'D'04416
(2)EFFC'(EA'A'F)(FD'D'C')EA'FD'EA'D'C'A'FFD'A'FD'C'
04400.
类型三:
共线向量定理的应用
例7.证明:
在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.
此点称为四面体的重心)
【思路点拨】如图.在四面体ABCD中,E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点,要证明EF、GH、PQ相交于一点O,且O为它们的中点.
11
【解析】∵E、G分别为AB、AC的中点,∴EG//BC,同理HF//BC,
22
∴EG//HF.
从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF、GH相交于一点O,且O为它们的中点.连接OP、OQ.
只要能证明向量OPOQ,就可以说明P、O、Q三点共线,且O为PQ的中点.
事实上,OPOGGP,OQOHHQ,而O为GH的中点,∴OGOH0,
GP//1CD,
2
1QH//CD.
2
1
∴GPCD,QHCD.
22
1
2.
11
∴OPOQOGOHGPHQ0CDCD0.
22
∴OPOQ.
∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.
即证得EF、GH、Q相交于点O,且O为它们的中点,故原命题得证.
【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线.证平行时,先从直线上取有向线段来表示两个向量,然后利用向量的线性运算证明向量共线,进而可以得到线线平行,此为证明平行问题的一种重要方法;证明三点共线问题时,通常不用图形.直接利用向量的线性运算,但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.
举一反三:
【变式1】设e1、e2是平面上不共线的向量,已知AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,
若A、B、D三点共线,求k的值.
答案】8由共线的向量定理列出关系式.
∵BDCDCB(2e1e2)(e13e2)e14e2,AB2e1ke2.
答案】用共线向量定理证明线线平行,从而证明面面平行.
证明:
设AB
a,ADb,AA1c,则EGED1D1G1(ab),
ACab2EG,∴EG//AC,∴EG∥AC
又∵EFED1D1F1b1c1(bc),
222
∴B1CB1C1C1Cbc2EF,∴EF//B1C,EF∥B1C.
又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,∴平面EFG∥平面AB1C.
类型四:
共面向量及应用
例8.已知ABCD,从平面AC外一点O引向量OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD,
1)求证:
四点E,F,G,H共面;
∴EF//AB,EG//AC
所以,平面AC//平面EG.【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.
举一反三:
122
【变式】已知A,B,C三点不共线,对平面外任一点,满足条件OP1OA2OB2OC,试判断:
555
答案】由题意:
5O
点P与A,B,C是否一定共面?
OPOA2OB2OC,
∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP),
∴点P与A,B,C共面.
例9.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点.
求证:
B1C∥平面ODC.
【总结升华】
(1)利用共面向量定理证明线面平行时,只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可.
(2)利用共面向量定理证明四点共面时,通常构造有公共起点的三个向量,用其中的两个向量线性表示另一个向量,得到向量共面,即四点共面.
举一反三:
高清课堂:
空间向量及其线性运算399109例题1】
变式1】已知斜三棱柱ABCA1B1C1,设ABa,ACb,
AA1c.在面对角线AC1和棱BC上分别取点M和N,AMkAC1,
BNkBC(0k1).
求证:
MN与向量a,c共面.
答案】证明如下:
AMkAC1,∴MAkAC1k(bc)
MNMAABBNk(bc)ak(ba)(1k)akc
MN与向量a,c共面.
【变式2】如右图,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点
11
M,N分别在对角线BD,AE上,且BMBD,ANAE.
33
求证:
MN∥平面CDE.
【答案】
1
证明:
如题图,因为M在BD上,且BMBD,
3
所以MB1BD1DA1AB.
333
同理AN1AD1DE.
33
所以MNMBBAAN1DA1ABBA1AD1DE
3333
2121
BADECDDE.
3333
又CD与DE不共线,
根据向量共面的充要条件可知
MN,CD
DE共面.
由于MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 知识 讲解 空间 向量 及其 线性 运算
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)