届上海市杨浦区高三下学期质量调研二模数学试题解析版.docx
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届上海市杨浦区高三下学期质量调研二模数学试题解析版
2018届上海市杨浦区高三下学期质量调研(二模)数学试题
一、单选题
1.已知函数的图象如图所示,则的值为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由函数的图象可知:
,
故选
2.设A、B是非空集合,定义:
且.
已知,,则等于()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】求出集合中的函数的定义域得到:
,即
可化为或
解得,即
,
则
故选
3.已知,,则“”是“直线与
平行”的()条件
A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要
【答案】B
【解析】,,则“”化为
,即
直线与平行”可推出:
,
,,则“”是“直线与
平行”的必要不充分条件
故选
4.已知长方体的表面积为,棱长的总和为24.则长方体的体对角线与棱所成角的最大
值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设三条棱
,,
整理可得
最短棱长为,体对角线长为
故选
点睛:
本题以长方体为载体,考查了不等式的运用,根据题目意思给出三边的数量关系,利用基本不等式代入消元,将三元变为二元,二元变为一元,从而求出变量范围,结合问题求出角的最大值
二、填空题
5.函数的零点是________
【答案】
【解析】函数单调递增,在只有一个零点
6.计算:
________
【答案】
【解析】
7.已知的展开式中含有项的系数是54,则n=_____________.
【答案】
【解析】当时,,单调递减,且,单调递增,且,此时有且仅有一个交点;当时,,在上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
8.掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为________
【答案】
【解析】掷一颗均匀的骰子,则掷的点数只可能是其中的一种,每种结果等可能出现,属于古典概率记“出现奇数点”为事件,则包含的结果有共种结果,由古典概率公式可得
9.若满足,则目标函数的最大值是________.
【答案】;
【解析】画出可行域,如下图阴影部分,其中令,则,
为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点时,有最大值3.
10.若复数满足,则的最大值是________
【答案】2
【解析】设
当时,
11.若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3、3、2的三角形,则该圆锥的体积是________
【答案】
【解析】由图可得:
12.若双曲线()的左焦点在抛物线的准线上,则__________.
【答案】4
【解析】双曲线的左焦点,双曲线的左焦点在抛物线的准线上,可得,解得,故答案为.
13.若,则的值为________
【答案】
【解析】由已知有
,
为第三或第四象限的角
当为第三象限的角时,
,则
当为第四象限的角时,
,则
14.若为等比数列,,且,则的最小值为________
【答案】4
【解析】为等比数列,,
公比
,
,
当且仅当,即时取等号
的最小值为
15.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,.
若为钝角,,则的面积为________
【答案】
【解析】,
,
由正弦定理可得:
,
由余弦定理可知可得:
解得
点睛:
本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理。
直接利用倍角公式求出的值,然后利用,根据正弦定理求出的值,再由二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出的值,由,及的值利用余弦定理列出关于的方程,求出的值,利用三角形面积公式即可求出答案
16.已知非零向量、不共线,设,定义点集
.若对于任意的,当,且不在直线上时,不等式恒成立,则实数的最小值为________
【答案】
【解析】不妨设,
,
,则
设,
即
点在此圆内
实数的最小值为
点睛:
本题考查了向量的综合运用并求最值,由可知三点共线,再由向量的数量积的几何意义可得平分,可得点的轨迹方程,由圆的直径代入求得最值
三、解答题
17.共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用,
据市场分析,每辆单车的营运累计利润y(单位:
元)与营运天数x满足函数关系
式.
(1)要使营运累计利润高于800元,求营运天数的取值范围;
(2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润的值最大?
【答案】
(1)40到80天之间
(2)每辆单车营运400天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为20元每天
【解析】试题分析:
直接代入令,解出的值即可
根据条件列出不等式求出的值,即可得到结论
解析:
(1)要使营运累计收入高于800元,令,
解得.
所以营运天数的取值范围为40到80天之间
(2)
当且仅当时等号成立,解得
所以每辆单车营运400天时,才能使每天的平均营运利润最大,最大为20元每天
18.如图,在棱长为1的正方体中,点E是棱AB上的动点.
(1)求证:
;
(2)若直线与平面所成的角是45,请你确定点E的位置,并证明你的结论.
【答案】
(1)见解析
(2)直线与平面所成的角是45时,点在线段AB中点处
【解析】试题分析:
要证明,只需要证明即可,建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标,得到向量和的坐标,利用向量的数量积的计算公式进行计算即可;另解:
容易得到,又因为,得到平面,从而证得先利用求平面法向量的计算公式,求出平面的法向量,由已知直线与平面所成的角是,利用甲角公式得到方程,解方程即可得到点的位置
解析:
以D为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则,,,
C(0,1,0),D1(0,1,2),A1(1,0,1),设
(1)证明:
,
所以DA1⊥ED1
另解:
,所以.
又,所以.
所以
(2)以A为原点,AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴建立空间直角坐标系
所以、、、,设,则
设平面CED1的法向量为,由可得,
所以,因此平面CED1的一个法向量为
由直线与平面所成的角是45,可得
可得,解得
由于AB=1,所以直线与平面所成的角是45时,点在线段AB中点处
19.已知数列,其前项和为,满足,,其中,,
,.
(1)若,,(),求数列的前项和;
(2)若,且,求证:
数列是等差数列.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
根据已知条件得到,两式相减得,得到求得的值,进而得到,即可得到数列为以为首项,为公比的等比数列,然后求得数列的前项和;
将,且代入,解得,,猜想,用数学归纳法证明
解析:
(1),所以.两式相减得.
即
所以,即,
又,所以,得
因此数列为以2为首项,2为公比的等比数列.,前n项和为
(2)当n=2时,,
所以.又,可以解得,
所以,,两式相减得
即.猜想,下面用数学归纳法证明:
①当n=1或2时,,,猜想成立;
②假设当()时,成立
则当时,猜想成立.
由①、②可知,对任意正整数n,.
所以为常数,所以数列是等差数列.
20.已知椭圆,直线不过原点O且不平行于坐标轴,与有两
个交点A、B,线段AB的中点为M.
(1)若,点K在椭圆上,、分别为椭圆的两个焦点,求的范围;
(2)证明:
直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(3)若过点,射线OM与交于点P,四边形能否为平行四边形?
若能,求此时的斜率;若不能,说明理由.
【答案】
(1)
(2)见解析(3)当的斜率为或时,四边形为平行四边形
【解析】试题分析:
将代入,求出焦点坐标,设,给出的表达式,消元求出范围
联立直线方程和椭圆方程化简得到,求出,的值,求出对应的直线斜率即可得到结论
四边形为平行四边形,当且仅当线段与线段互相平分,即,建立方程关系即可得到结论
解析:
(1)椭圆,两个焦点、,设
所以
由于,所以,
由椭圆性质可知,所以
(2)设直线(),,,,
所以为方程的两根,化简得,
所以,.
,所以直线的斜率与的斜率的乘积等于为定值.
(3)∵直线过点,∴不过原点且与有两个交点的充要条件是,.
设设直线(),即.
由
(2)的结论可知,代入椭圆方程得
由
(2)的过程得中点,
若四边形为平行四边形,那么M也是OP的中点,所以,
得,解得
所以当的斜率为或时,四边形为平行四边形.
点睛:
本题是一道关于直线与椭圆的综合应用的题目,需要利用直线与椭圆的性质进行解答。
在解答过程中的计算尤为重要,这里需要设直线斜率和点坐标,设而不求,用斜率表示相关量,然后化简求值。
21.记函数的定义域为D.如果存在实数、使得对任意满
足且的x恒成立,则称为函数.
(1)设函数,试判断是否为函数,并说明理由;
(2)设函数,其中常数,证明:
是函数;
(3)若是定义在上的函数,且函数的图象关于直线(m为常数)对称,试判断是否为周期函数?
并证明你的结论.
【答案】
(1)是函数
(2)见解析(3)函数为周期函数
【解析】试题分析:
求出的定义域,对任意恒成立转化成对任意恒成立,解出,使得
为函数只需证明存在实数,使得当且时,恒成立,化简求得,,满足条件图象关于直线对称,结合,整体换元得,从而证明结论
解析:
(1)是函数
理由如下:
的定义域为,
只需证明存在实数,使得对任意恒成立.
由,得,即.
所以对任意恒成立.即
从而存在,使对任意恒成立.
所以是函数.
(2)记的定义域为,只需证明存在实数,使得当且时,
恒成立,即恒成立.
所以,
化简得,.
所以,.因为,可得,,
即存在实数,满足条件,从而是函数.
(3)函数的图象关于直线(为常数)对称,
所以
(1),
又因为
(2),
所以当时,
由
(1)
由
(2)(3)
所以
(取由(3)得)
再利用(3)式,.
所以为周期函数,其一个周期为.
当时,即,又,
所以为常数.所以函数为常数函数,
,是一个周期函数.
综上,函数为周期函数
点睛:
本题主要考查知识点的是新定义函数,证明函数的特性,本题的解题关键是抓住新定义中的概念,可将问题迎刃而解。
对于这类问题,我们要弄清问题的本质,在解题中适当的变形,已知条件的运用,函数周期性等的证明即可得证,本题有一定难度
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