高中数学必修五检测线性规划的应用解析版.docx
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高中数学必修五检测线性规划的应用解析版
高中数学必修五检测:
线性规划的应用(解析版)
固基础
一、选择题
1.设z=x-y,式中变量x和y满足条件,则z的最小值为( A )
A.1 B.-1
C.3D.-3
[解析] 作出可行域如图中阴影部分.直线z=x-y即y=x-z.经过点A(2,1)时,纵截距最大,∴z最小.zmin=1.
2.(2015·北京理,2)若x,y满足则z=x+2y的最大值为( D )
A.0B.1
C.D.2
[解析] 如图,先画出可行域,由于z=x+2y,则y=-x+z,令z=0,作直线y=-x,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,z取得最大值2.
3.某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( B )
A.31200元B.36800元
C.36000元D.38400元
[解析] 设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z,则线性约束条件为目标函数为z=1600x+2400y.
画出可行域,如图.
当目标函数z=1600x+2400y经过点A(5,12)时,zmin=1600×5+2400×12=36800(元).故选B.
4.(2015·天津文,2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为( C )
A.7B.8
C.9D.14
[解析] z=3x+y=(x-2)+(x+2y-8)+9≤9,当x=2,y=3时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域如图,借助图象求解.
5.已知x、y满足约束条件,则z=x+y的最大值是( B )
A.B.
C.2D.4
[解析] 画出可行域为如图阴影部分.
由,解得A(,),
∴当直线z=x+y经过可行域内点A时,z最大,且zmax=.
6.(2015·哈尔滨质检)已知变量x,y满足的不等组表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k的值为( B )
A.0或-2B.0或-
C.-D.-2
[解析] 直线kx-y+1=0过定点(0,1),由条件可知,直线kx-y+1=0与直线x=0或直线y=2x垂直,∴k=0或k=-,故选B.
二、填空题
7.(2015·全国Ⅰ理,15)若x,y满足约束条件则的最大值为3.
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.
8.已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=0.
[分析] 先作出表示的平面区域和直线2x+4y=-6,直线x+y+k=0的斜率k1=-1,直线z=2x+4y的斜率k2=-,且->-1.
结合图形易知当目标函数z=2x+4y经过直线x+y+k=0与x=3的交点时,y取得最小值-6.
[解析] 由条件作出可行域如图.
根据图象知,目标函数过x+y+k=0与x=3的交点(3,-3-k)时取最小值,代入目标函数得-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.
三、解答题
9.制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g,乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g.已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g.甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大.
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则,作出可行域如图所示.
目标函数为:
z=2x+y.(x∈N,y∈N)
作直线l:
2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润.
10.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务,该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车,有10名驾驶员,每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元,B型车为504元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低.
[解析] 设每天调出A型车x辆,B型车y辆,公司所花的成本为z元,则由题意知目标函数为z=320x+504y(其中x,y∈N).作出可行域如图所示.
由图易知,当直线z=320x+504y在可行域内经过的整数点中,点(8,0)使z=320x+504y取得最小值,zmin=320×8+504×0=2560,∴每天调出A型车8辆,B型车0辆,公司所花成本费最低.
提能力
一、选择题
11.(2015·湖南文,4)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值为( A )
A.-1B.0
C.1D.2
[解析] 由约束条件作出可行域,然后根据所得图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,∴,
∴A(0,1),∴z=2x-y在点A处取得最小值为2×0-1=-1,故选A.
12.为支援灾区人民,某单位要将捐献的100台电视机运往灾区,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装电视机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装电视机10台,若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( C )
A.2800元B.2400元
C.2200元D.2000元
[解析] 设调用甲型货车x辆,乙型货车y辆,则0≤x≤4,0≤y≤8,20x+10y≥100,即2x+y≥10,设运输费用为t,则t=400x+300y.
线性约束条件为,
作出可行域如图,则当直线y=-x+经过可行域内点A(4,2)时,t取最小值2200,故选C.
13.(2015·南昌市一模)已知实数x,y满足,若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为( C )
A.4B.3
C.2D.-
[解析] 表示的可行域如图中阴影部分所示.
将直线l0:
2x+y=0向上平移至过点A,B时,z=2x+y分别取得最小值与最大值.由得A(m-1,m),由得B(4-m,m),所以zmin=2(m-1)+m=3m-2,zmax=2(4-m)+m=8-m,所以zmax-zmin=8-m-(3m-2)=10-4m=2,解得m=2.故选C.
二、填空题
14.已知实数x、y满足,则z=2x+y的最小值是-1.
[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示.
由图知,z是直线y=-2x+z在y轴上的截距,当直线y=-2x+z经过点A(-1,1)时,z取最小值,此时x=-1,y=1,则z的最小值是zmin=2x+y=-2+1=-1.
15.(2015·全国Ⅱ文,14)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为8.
[解析] 不等式组,表示的可行域是以A(1,1),B(2,3),C(3,2)为顶点的三角形区域,z=2x+y的最大值必在顶点C处取得,即x=3,y=2时,zmax=8.
三、解答题
16.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤,西车站每年最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5元/t,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/t和1.6元/t.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?
[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤,乙煤矿向东车站运y万吨煤,那么总运费
z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(260-y)(万元)即z=716-0.5x-0.8y.
x、y应满足,
即,
作出上面的不等式组所表示的平面区域,如图.
设直线x+y=280与y=260的交点为M,则M(20,260).把直线l0:
5x+8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时,z的值最小.
∵点M的坐标为(20,260),
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨,向西车站运180万吨,乙煤矿生产的煤全部运往东车站时,总运费最少.
17.某厂有一批长为18m的条形钢板,可以割成1.8m和1.5m长的零件.它们的加工费分别为每个1元和0.6元.售价分别为20元和15元,总加工费要求不超过8元.问如何下料能获得最大利润.
[解析] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个,利润为z元,
则z=20x+15y-(x+0.6y)即z=19x+14.4y且
,
作出不等式组表示的平面区域如图,
又由,
解出x=,y=,∴M(,),
∵x、y为自然数,在可行区域内找出与M最近的点为(3,8),此时z=19×3+14.4×8=172.2(元).
又可行域的另一顶点是(0,12),过(0,12)的直线使z=19×0+14.4×12=172.8(元);
过顶点(8,0)的直线使z=19×8+14.4×0=152(元).
M(,)附近的点(1,10)、(2,9),直线z=19x+14.4y过点(1,10)时,z=163;过点(2,9)时z=167.6.
∴当x=0,y=12时,z=172.8元为最大值.
答:
只要截1.5m长的零件12个,就能获得最大利润.
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