山东省聊城第一中学届高三份模拟考试数学文试题含答案.docx
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山东省聊城第一中学届高三份模拟考试数学文试题含答案
2019年第一次模拟考试自主训练一
数学(文)试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.在复平面内,复数6-5i,-2+3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()
A.4+8iB.8+2iC.2-iD.4+i
2.设命题p:
-6≤m≤6,命题q:
函数f(x)=x2+mx+9(m∈R)没有零点,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4,且在2x+y-3<0表示的平面区域内,则a的值为()
A.3B.7C.-3D.-7
4.若函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是()
A.y=-x2+1B.y=|x+1|C.y=e|x|D.y=
5.若,,则的值为()
A.B.C.D.
6.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是( )
7.将参加夏令营的400名学生编号为:
001,002,…,400,采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本,且随机抽得的第1个号码为003,这400名学生分住在三个营区,从001到180在第一营区,从181到295在第二营区,从296到400在第三营区,三个营区被抽中的人数分别为()
A.18,12,10B.20,12,8C.17,13,10D.18,11,11
数学文试题(四)第1页共4页
8.已知△ABC中,∠A=30°,AB、BC分别是+,-的等差中项与等比中项,则△ABC的面积等于()
A.B.C.或D.或
9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:
松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于( )
A.2B.3C.4D.5
10.A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面内三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则a,b满足的关系式为()
A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14
11.已知抛物线的焦点为F,P为抛物线上一点,周长最小时,PF所在直线的斜率为()
A.B.C.D.
12.已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率,则a2+b2的取值范围是()
A.(,+∞)B.[,+∞)C.[5,+∞)D.(5,+∞)
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
13.若直线与两坐标轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则的内切圆的标准方程为__________.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,过点A向∠BAD所在区域等可能任作一条射线AP,已知事件“射线AP与线段BC有公共点”发生的概率为,则BC边的长为.
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为的面积为S,的最大值为__________.
16.函数y=f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)=叫做曲线y=f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y=ex+x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1-x2=1,则φ(A,B)的取值范围是____.
数学文试题(四)第2页共4页
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)已知等比数列为递增数列且满足,数列满足:
.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
18.(本题满分12分)某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:
第一组,第二组,…,第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数;
(2)从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为,求事件概率.
19.(本题满分12分)如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,∠DAB=60°,AD⊥DC,AB⊥BC,QD⊥平面ABCD,PA∥QD,PA=1,AD=AB=QD=2.
(1)求证:
平面PAB⊥平面QBC;
(2)求该组合体QPABCD的体积.
数学文试题(四)第3页共4页
20.(本题满分12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)当时,求的面积;
(3)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.
21.(本题满分12分)设函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设,记,当时,若方程有两个不相等的实根,,证明.
选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4—4坐标系与参数方程
知曲线C的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换,得到曲线,设M为曲线上任一点,求的最小值,并求相应点M的坐标.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知实数,函数的最大值为3.
(1)求的值;
(2)设函数,若对于均有,求的取值范围.
2019年第一次模拟考试自主训练
(一)
数学(文)试题参考答案
一、CBCCADADCAAD
二、13.14.15.616.
1.复数6-5i对应的点为A(6,-5),复数-2+3i对应的点为B(-2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,-1),故点C对应的复数为2-i,选C.
2.函数f(x)=x2+mx+9(m∈R)没有零点,则Δ=m2-36<0,即-6 3.由题意解得a=-3.选C. 4.由已知得f(x)在(-2,0)上单调递减,所以答案为C. 7.根据系统抽样特点,抽样间隔为=10,被抽到号码l=10k+3,k∈N.由题意可知,第一营区可分为18个小组,每组抽取1人,共抽取18人,由第二营区的编号为181到295,可知181≤10k+3≤295,k∈N,可得18≤k≤29,因此第二营区应有12人,第三营区有10人,所以三个营区被抽中的人数分别为18,12,10. 8.由条件AB=,BC=1,由=,得sinC=.∴C=60°或120°,∴B=90°或30°,∴S△ABC=AB·BC·sinB=sinB=或.故选D. 10.由与在方向上的投影相同可知: =4a+5=8+5b4a-5b=3.故选A. 12.设f′(x)=3x2+2ax+b,由抛物线的离心率为1,知f (1)=1+a+b+c=0故c=-1-a-b,所以f(x)=(x-1)[x2+(1+a)x+a+b+1].另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率,故g(x)=x2+(1+a)x+a+b+1有两个分别属于(0,1)和(1,+∞)的零点.故有g(0)>0且g (1)<0,即a+b+1>0且2a+b+3<0.运用线性规划知识可求得a2+b2∈(5,+∞).故选D. 14.因为P==,∠BAD=90°,则∠BAC=30°,所以=tan30°=.因为AB=3,则BC=. 数学文试题(四)答案第1页共8页 16._y=ex+x的导数为y′=ex+1,kA=ex1+1,kB=ex2+1,φ(A,B)===,x1-x2=1,可得x1>x2,ex1>ex2,可令t=ex1-ex2,可设f(t)=,t>0,f′(t)==,当0<t<时,f′(t)>0,f(t)递增;当t>时,f′(t)<0,f(t)递减.则当t=处f(t)取得极大值,且为最大值=.则φ(A,B)∈ 17.解: 设的公比为,则由已知, 解得,………………2分 因为等比数列递增所以不满足条件所以,………………4分 可得到 所以是以1为首项,2以为公差的等差数列 所以………………6分 (2) 由错位相减法求得………………12分过程略 18.解: (1)由直方图知,成绩在内的频率为,所以中位数在内,设中位数为,则,解得,所以中位数是77;………………3分 设平均数为,则.………6分 数学文试题(四)答案第2页共8页 (2)由直方图知,成绩在内的人数为: 设成绩为,成绩在的人数为,设成绩为,若时,只有一种情况,若时,有三种情况,若分别在和内时,有,共有6种情况,所以基本事件总数为10种,事件“”所包含的基本事件个数有6种………………10分 .………………12分 19.解: (1)因为QD⊥平面ABCD,PA∥QD, 所以PA⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为AB⊥BC,且AB∩PA=A,所以 BC⊥平面PAB,又BC⊂平面QBC,所以平面PAB⊥平面QBC.(6分) (2)平面QDB将几何体分成四棱锥BPADQ和三棱锥QBDC两部分, 过B作BO⊥AD,因为PA⊥平面ABCD,BO⊂平面ABCD, 所以PA⊥BO,又AD⊥OB,PA∩AD=A, 所以BO⊥平面PADQ,即BO为四棱锥BAPQD的高, 因为BO=ABsin60°=,S四边形PADQ=(1+2)×2=3,所以VBPADQ=·BO·S四边形PADQ=,因为QD⊥平面ABCD,且QD=2,又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形,BD=2,S△BDC=,所以VQBDC=·S△BDC·QD=,所以组合体QPABCD的体积为+=.(12分) 20.解 (1)因为,所以所以离心率………………2分 (2)设若,则直线的方程为 数学文试题(四)答案第3页共8页 由,得解得………………4分 数学文试题(四)答案第4页共8页 设,则………………6分 (3)法一: 设显然直线有斜率,设直线的方程为 由,得………………7分 所以又………………8分 解得或 所以或………………10分 所以或………………12分 法二: 设点,因为,,所以………………7分 又点,都在椭圆上,所以………………8分 解得或………………10分 所以或………………12分 21.解: (1)由,可知 . 因为函数的定义域为,………………2分 ①若时,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增;………………3分 ②若时,当在内恒成立,函数单调递增;…………4分 ③若时,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.………………5分综上: 略………………6分 (2)证明: 由题可知, 所以.………………7分 所以当时,;当时,;当时,. 欲证,只需证,又,即单调递增,故 只需证明.………………8分 设,是方程的两个不相等的实根,不妨设为, 则 两式相减并整理得, 从而, 故只需证明,………………9分 即. 因为, 所以(*)式可化为, 即. 因为,所以, 不妨令,所以得到,.………………10分 记,,所以,当且仅当时,等号成立,因此在单调递增. 又,因此,, 故,得证, 从而得证.………………12分
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