高三一轮复习函数的性质含答案docx.docx
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函数的性质及其应用
教师用
函数的基本性与函数的合运用是高考函数内容考的重中之重,其中函数
性与奇偶性是高考命的必考内容之一,
有具体函数,会涉及抽象函数。
函数性是函
数在定域内某个区上的性,
函数奇偶性是函数在整个定域上的性。
研究基本性,
不可忽略定域函数性的影响。
函数定域体了函数像左右方向的延伸程度,
而
域又表了函数像在上下方向上的延伸程度。
函数性要深入复,
深刻理解性
定,熟运用性定明或判断一个函数的性,
掌握区的求法,
掌握
性与奇偶性之的系。
掌握性的重要运用,如求最、解不等式、求参数范等,掌
握抽象函数性的判断方法等等。
要充分重运用方程与函数、
等价、分及数
形合等数学思想,运用分离量方法解决函数相关,
并函数性分析解决函数
合。
一、函数与反函数
例1.
(1)已知A={1,2,3},B={4,5},以A定域,B域的函数共有
6个.
解:
从A到B建立映射共有
23=8个,其中由2个映射的像集是{4}和{5}
,把2个映
射去掉,其它映射的像集都是
{4,5},函数的本是一个数集到另一个数集的映
射,所以,构成以A定域,B域的不同的函数共有
82=6个,故答案6.
(2)、(2012?
徐区一模)已知函数
f(x)=x21的定域D,域{1,0,1},
确定的集合D最多有9个.
解:
∵f(x)
2
=x1,∴f(0)=1,f(±1)=0,f(±)=1
因此,定域
D有:
{0,1,},{0,1,},{0,1,},{0,1,},{0,
1,1,},{0,1,1,},{0,1,,},
{0,1,,},{0,1,1,,}共9种情况,故答案:
9
(3)(2013?
上海)区I上有定的函数
g(x),g(I)={y|y=g(x),x∈I}.已知
定域[0,3]的函数y=f(x)有反函数
y=f﹣1(x),且f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1((2,
4])=[0,1).若方程f(x)x=0有解x
,x=
2
.
0
0
解:
因g(I)={y|y=g(x),x∈I}
,f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1(2,4])=[0,
1),
所以于函数
f(x),当x∈[0,1),f(x)∈(2,4],所以方程f(x)x=0
即f(x)=x无解;当x∈[1,2),f(x)∈[0,1),所以方程
f(x)x=0即f
(x)=x无解;所以当x∈[0,2)方程f(x)x=0即f(x)=x无解,又因方
程f(x)x=0有解x0,且定域[0,3],故当x∈[2,3],f(x)的取属
于集合(∞,0)∪[1,2]∪(4,+∞),故若f(x
)=x,只有x
0
=2,故答案:
0
0
2.
二、函数域及最求法
例2、
(1)(2011?
上海)g(x)是定在R上,以1周期的函数,若函数
f(x)=x+g
(x)在区[0,1]上的域[2,5],f(x)在区[0,3]
上的域
[2,7].
解:
g(x)R上周期1的函数,g(x)=g(x+1)函数f(x)=x+g(x)在区
[0,1]【正好是一个周期区度】的域是
[2,5],令x+1=t,当x∈[0,1]
,t=x+1∈[1,2],此,f(t)=t+g(t)=(x+1)+g(x+1)=(x+1)+g(x)
=[x+g(x)]+1,所以,在
t∈[1,2],f(t)∈[1,6]⋯
(1)
同理,令x+2=t,在当x∈[0,1],t=x+2∈[2,3]
此,f(t)=t+g(t)=(x+2)+g(x+2)=(x+2)+g(x)=[x+g(x)]+2
所以,当t∈[2,3],f(t)∈[0,7]⋯
(2)
由已知条件及
(1)
(2)得到,f(x)在区[0,3]上的域[2,7]
故答案:
[2,7].
(2)(2013?
黄浦区二模)已知,若存在区
[a,b]?
(0,+∞),使得
{y|y=f(x),x∈[a,b]}=[ma,mb],数m的取范是
(0,4).
解:
∵f(x)=4在(0,+∞)是增函数,∴f(x)在x∈[a,b]上域
[f(a),f(b)],所以f(a)=ma且f(b)=mb,即4=ma且4=mb,
2
2
2
所以ma
4a+1=0且mb4b+1=0,所以mx4x+1=0必有两个不相等的正根,故
m≠0,∴,解得0<m<4.
∴数m的取范是(0,4).故答案:
(
0,4).
(3).(2012?
虹口区一模)已知函数
f(x)=2x+a,g(x)=x26x+1,于任意的都能找到,
2
1
[2,6].
使得g(x)=f
(x),数a的取范是
解:
∵函数f(x)=2x+a,g(x)=x26x+1,∴x1∈[1,1],f(x)的域就是
[a2,a+2],要使上述范内能找到
x2足g(x2)=f(x1),即g(x)的域
要包含[a2,a+2],∵g(x)是一个二次函数,在[1,1]上减,
∴域[4,8],因此,解得2≤a≤6.故答案:
[2,6].
三、函数性与奇偶性
例3、
(1)(2013?
阳一模)已知函数
2
(1,3).
若f(2m+1)>f(m2),数m的取范是
解:
∵x≤1,函数y=x2+2x+1=(x1)2+2,在(∞,1]上增;x>1
,函数
3
2
y=x+1在(1,+∞)上增,又
x≤1,x+2x+1≤2,x>1,
x3+1>2,∴函数,∴函数在
R上增,
∴2m+1>m22,∴m22m3<0,∴1<m<3,故答案:
(1,3)
(2)已知是R上的增函数,那么a的取范是
(1,3).
解:
∵是R上的增函数,
∴∴a∈(1,3)故答案:
(1,3)
(3)(2012?
上海)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g
(1)=1,g
(1)
=3.
解:
由意y=f(x)是奇函数,g(x)=f(x)+2
∴g(x)+g(x)=f(x)+2+f(x)+2=4,又g
(1)=1
∴1+g
(1)=4,解得g
(1)=3,故答案3
(4)f(x)R上的偶函数,g(x)R上的奇函数且(1,3),g(x)=f(x1),
f(2012)+f(2013)=3.
解:
由f(x)R上的偶函数,g(x)R上的奇函数,得f(x)=f(x),g(
x)=g(x),且g(0)=0,由g(x)=f(x1),得f(x)=g(x+1)=g(x
1)=f(x2)=f(x+2),即f(x)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x+2)
=[f(x)]=f(x),故f(x)是周期4的周期函数,所以f(2012)=f(4×503)
=f(0)=g
(1)=g
(1)=3,f(2013)=f(4×503+1)=f
(1)=f
(1)=g(0)
=0,所以f(2012)+f(2013)=3,故答案:
3.
四、函数的周期性
例4、
(1)已知奇函数足的
。
解:
(2)函数y=f(x)是定在R上的奇函数,且足f(x2)=f(x)一切x∈R都成立,又当x∈[1,1],f(x)=x3,下列四个命:
①函数y=f(x)是以4周期
的周期函数;②当x∈[1,3],f(x)=(2x)3;③函数y=f(x)的象关于x=1
称;④函数y=f(x)的象关于(2,0)称.其中正确的命是①②③④.
解:
∵函数y=f(x)是定在R上的奇函数,∴f(x)=f(x),
∵f(x2)=f(x)一切x∈R都成立,∴f(x4)=f(x),∴函数y=f(x)
是以4周期的周期函数,故①正确.当x∈[1,3],x2∈∈[1,1],f(x2)=(x2)3=f(x),∴f(x)=(2x)3,故②正确.∵f(x2)=f(x),
∴f(1+x)=f(1x),∴函数y=f(x)的象关于x=1称,故③正确.∵当x∈[1,3],f(x)=(2x)3,∴f
(2)=0,∵f(x2)=f(x),
∴f(x2)=f(x)=f(x)=f(x2),∴f(x+2)=f(x2),∴函
数y=f(x)的象关于(2,0)称.故正确的命有①②③④,故答案
①②③④.
(2)若f(n)n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如
142+1=197,1+9+7=17f(14)
=17,f
(n)=f(n),f
(n)=f[f
(n)],⋯,f
(n)=f[f
*
1
k
(n)]k∈N,
1
2
k+1
f2010(8)=
8.
解:
f(18)=f(8)=64+1=656+5=11,f(28)=f[f(18)]=f(11)=121+1=122=1+2+2=5f3(8)=f[f2(8)]=f(5)=25+1=26=8,f4(8)=f[f3(8)]=f(8)⋯所以f2010(8)=f3(8)=8,故答案:
8
五、函数像的称性
例5、
(1)已知函数y
f(2x1)偶函数,
函数y
f(2x)像关于直
称,函数y
f(x)像关于直
称。
解:
y
f(2x)像关于直
x
1
f(x)像关于直x
1称。
称,函数y
2
(2).
1006.
解:
若a+b=1,f(a)+f(b)==
===1,
所以
=[f
()+f()]+[f()+f()]+⋯+[f
()+f()]
=1+1+⋯+1=1006.故答案:
1006.
(3)已知函数f(x)的定域
R,下列命中:
①若f(x2)是偶函数,函数
f(x)的象关于直
x=2称;
②若f(x+2)=f
(x2),函数f(x)的象关于原点称;
③函数y=f(2+x)与函数y=f(2x)的
象关于直
x=2称;④函数y=f(x2)与函数y=f(2x)的象关于直x=2
称.其中正确的命序号是
④
.
解:
①不正确.因f(x2)的象是由f(x)的象向右平移两个位而得到,合
f
(x2)是偶函数知,f(x)的象关于x=2称,
②由f(x+2)=f(x2)形得f(x+8)=f(x)是周期函数.不能得出函数
f(x)的
象关于原点称,故不正确.
③不正确,因函数
y=f(2+x)是由f(x)向左平移
2个
位,函数y=f(2x)的象是由f(x)的象向右平移2个位,故两函数的象仍
然关于原点对称.
④如图所示,正确.故答案为:
④
.六、函数性质的综合应用
例6、(2013?
上海春季)已知真命题:
“函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f(x+a)﹣b是奇函数”.
(1)将函数g(x)=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象
对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标;
(2)求函数h(x)=图象对称中心的坐标;
(3)已知命题:
“函数y=f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数y=f(x+a)﹣b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给
予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
解:
(1)平移后图象对应的函数解析式为y=(x+1)3﹣3(x+1)2+2,整理得y=x3﹣
3
标是(1,﹣2).
(2)设h(x)=的对称中心为P(a,b),由题设知函数h(x+a)﹣b是奇函数.设
f(x)=h(x+a)﹣b则f(x)=﹣b,即f(x)=.由不等式的解集关于原点对称,得
a=2.
此时f(x)=﹣b,x∈(﹣2,2).
任取x∈(﹣2,2),由f(﹣x)+f(x)=0,得b=1,所以函数h(x)=图象对称中心的坐标是(2,1).
(3)此命题是假命题.举反例说明:
函数f(x)=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象,但是对任意实数a和b,函数y=f(x+a)﹣b,即y=x+a﹣b总不是偶函数.
修改后的真命题:
“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是
“函数y=f(x+a)是偶函数”.
例7、已知函数f(x)=ax2+bx+1,a,b为实数,a≠0,x∈R,F(x)=,
(1)若f(﹣1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[﹣1,1]时,g(x)=f(x)+kx是单调函数,求实数k的取
值范围;
(3)设mn<0,m+n>0,a>0,且函数f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)是否大于0.解:
(1)依题意,有,解得,∴f(x)=x2+2x+1,
∴
(2)由
(1)得g(x)=f(x)+kx=x2+2x+1+kx=x2+(k+2)x+1,
∴函数g(x)的对称轴x=,∵g(x)在区间[﹣1,1]上是单调函数,
∴.解得k≥0,或k≤﹣4.
∴实数k的取值范围为(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞),
(3)∵f(x)=ax2+bx+1为偶函数,∴b=0,即f(x)=ax2+1(a>0),
∴
∵mn<0,m+n>0,a>0,不妨设n<0<m,则有0<﹣n<m,
∴m﹣n>0,m+n>0.∵F(m)+F(n)=am2+1﹣an2﹣1=a(m+n)(m﹣n),
∴F(m)+F(n)>0.
例8、(2012?
上海)已知f(x)=lg(x+1)
(1)若0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求x的取值范围;
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求函数y=g(x)
(x∈[1,2])的反函数.
解:
(1)由解得:
﹣1<x<1.
由0<lg(2﹣2x)﹣lg(x+1)=lg<1得:
1<<10,∵x+1>0,∴x+1<2﹣2x<10x+10,
∴.由得:
.
(2)当x∈[1,2]时,2﹣x∈[0,1],∴y=g(x)=g(x﹣2)=g(2﹣x)=f(2﹣x)
=lg(3﹣x),由单调性可知y∈[0,lg2],又∵x=3﹣10y,
∴所求反函数是y=3﹣10x,x∈[0,lg2].
例9、(2012?
卢湾区二模)对于定义域为D的函数y=f(x),若有常数M,使得对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D满足等式,则称M为函数y=f(x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数
f(x)=2x+1(﹣1≤x≤1)的“均值”,请说明理由;
(2)若函数f(x)=ax2﹣2x(1<x<2,a为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数f(x)的“均值”情况(是
否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
解:
(1)对任意的x1∈[﹣1,1],有﹣x1∈[﹣1,1],
当且仅当x2=﹣x1时,有,
故存在唯一x2∈[﹣1,1],满足,
所以1是函数f(x)=2x+1(﹣1≤x≤1)的“均值”.
(2)当a=0时,f(x)=﹣2x(1<x<2)存在“均值”,且“均值”为﹣3;
2
2
都有唯一的x2与之对应,从而有f(x)=ax﹣2x(1<x<2)单调,故有或,解得a≥1
或a<0或,综上,a的取值范围是或a≥1.
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时,函数f(x)存在唯一的“均值”.这时函数f(x)的“均值”为;
②当I为(﹣∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”;
③当I=(a,+∞)或(﹣∞,a)或[a,+∞)或(﹣∞,a]或[a,b)或(a,b]时,函数f(x)不存在“均值”.
①当且仅当I形如(a,b)、[a,b]其中之一时,函数f(x)存在唯一的“均值”.
这时函数f(x)的“均值”为;
②当且仅当I为(﹣∞,+∞)时,函数f(x)存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数f(x)的“均值”;
③当且仅当I形如(a,+∞)、(﹣∞,a)、[a,+∞)、(﹣∞,a]、[a,b)、
(a,b]其中之一时,函数f(x)不存在“均值”.
例10、已知函数y=f(x),x∈R满足f(x+1)=af(x),a是不为0的实常数.
(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1﹣x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;
(2)在
(1)的条件下,求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
解:
(1)∵,∴.
(2)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,fn(x)=afn﹣1(x﹣1)=a2fn﹣1(x﹣2)
n
n
═af1(x﹣n),fn(x)=a(x﹣n)(n+1﹣x).
(3)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,
f(x)=af
2
(x﹣2)
(x﹣1)=af
n﹣1
n
n﹣1
n
n
x﹣n
nx﹣n
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