第8章振动控制题解docx.docx
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第8章振动控制题解docx
1+(2刃
(1一,・于+(2疔
8T对一质量为200kg,转速为100r/rnui的电扇提供效率为81%的隔振,所需的无阻尼减振器的最犬刚度是多少?
对81%的隔振效率,其最大传递比为0.19o利用方程Ft=FJ\f心=他其中尸0,并且注意,只有当&迈时才有意义,即
0.19>^—厂_]
解得r>2.50,允许的系统最人固有频率为
因而隔振器的最大刚度为
=3.51x10』
m
*>〔ad
k=mco^=(200kg)41.9-^—
8-2为一个转速为1500-2000r/nmi的泵提供效率为75%的隔振,所用无阻尼隔振器的最小静变形为多少?
对75%的隔振效率,其传递比为0.25,利用方程F/.=FoT(r,G=Fo」一3厂―其中$=^(1—厂)-+(2夕)-
0.并且注意,只有当时才有意义,即
0.25=—!
—r2-1
解得r=2.24o从幅频曲线图可看出,速度越高,隔振效率越好。
因此,如果转速为1500r/mui时就
能获得75%的隔振效果,它比以更高的转速获得相同的隔振效果好,因而最人固有频率为
最小静变形是
8-3—个质量为20kg的实验器材安装在桌子上,该桌子与实验室的地板用螺栓相连接,测量结果显示由于附近的泵以2000r/mm速度工作,桌子有一个0.25nun的稳态位移,用最大刚度为多少的一个无阻尼隔振器放在器材与桌子之间才能使器材的加速度小于0.4nVs-?
激振频率为2000r/niHi=209.4rad/s,则桌子的加速度为
co~Y-^209.4iad^(0.00025m)-10.97:
所需的传递比为
T-:
亦一s-_0.365
小10.974
s*
最小频率比计算为
0.365—J->r-1.93
r-1
最人固有频率和隔振器的刚度分别为
rad
209.4.
co
erad
==108.5
1.93s
8-4一个质量为100kg的涡轮机以2000r/nun的速度转动,如果把它放在并联的四个相同的弹簧上,每个弹簧的刚度为3X105N/m,则涡轮机获得的隔振效率为多少?
并联弹簧组的等效刚度
R=4k=4(3xl()5—]=1.2x106—
I.m丿m
当涡轮机放在弹簧上时,系统的固有频率为
1.2xl06—.
=109.5竺
100kgs
转速为2000f/nuii=209.5rad/s,频率比为
rad
209.4——
=s
=109.5^1
传递比为
T=——==0.376
厂_](1.912)--1
则隔振效率为
100(1-7)=62.4percent
8-5一个质量为200kg的机器与一个刚度为4X105N/m的弹簧相连。
在运转过程中,机器受到一个人小为500N,频率为50rad/s的简谐激励,设计一个无阻尼减振器,使得主质量的稳态振幅为0,减振器质量的稳态振幅小于2mm。
当减振器的频率调整到激振频率时,机器的稳态振幅为0。
因此,
在这种条件下,减振器质量的稳态振幅可由式(8.17)得
0.002m>500N=2.5x105—
kr~0.002mm
用最小允许刚度,所需减振器的质量为
2.5xl05—
=100kg
m
(50四
因此减振器的刚度为2.5X105N/s,质量为100kgo
解二:
设减震器由质量为〃匕和弹簧人组成,系统微分方程为
设上式的稳态响应为
将此式代入上式,根据系数行列式不为零,可解得受迫振动的振幅(人一”叫)F
1(k\+k]-ccrtn^k^-arm^-k;
B、=\gF
・&+&一(匕_
已知尸=500sinm,从而解得/〉2.5xl05
取减震器的刚度为2.5x105N/S,再根据co=p2=俣=50rad/s
解得fii2=100kg
8-6带有减振器的题8-5所示的系统的固有频率是多少?
带有减振器的两自由度系统的固有频率是值顽寸,使得式x严学—二:
——;—的
hf'ir2一厂[一(1+“”「+1
分母为零。
因此质量比为“=100/200=0.5
r[r;-r<-1.5/^+1=0
CD
J+of]。 二=0 4xl05— m 当6Zz2=50rad/s,并且 rad =44.72—— 200kgs 代入数值得 ty4-5.75xl03ty2+5xl06=0 用解二次方程法得",取正的平方根得, 8.-7质量为100kg的机器放在一个长度为3m的简支梁上。 梁的弹性模量为200X109N/m2,惯性矩为1.3X10〈N/m»机器在工作过程中受到一个大小为5000N,速度为600〜700r/imn的简谐激励。 设计一个无阻尼减振器使得机器在以各种速度运转时,其稳态振幅均小于3mm。 梁的刚度为 系统的固有频率是 假设在这个速度时,消除了稳态振动,则 62.8rad/s,且门=门=62・8/68・0=0・923时,为使Xi<3,得 ■ m 0・ ■■ •• X + 'k-k1 0 0 LxoJ _~kko+k\ LxoJ 0 0003m~4.62xlO5-(1078)2(1.078)2-(1.078尸-(1+“)(1.078尸+1 111 解得“=0・525,由于计算的质量比,代表的是在运转范闱的限制内小于3nun的振幅的最小质量比,所以必须选择较人的质量比,故 “=0.652,nt2=pml=(0.652)(100kg)=65.2kg 匕=〃人e訂=(65.2kg)f68.0—=3.014xl05— ・"Is丿m 8-8—个质量为10kg的无阻尼减振器,频率调整为lOOiad/s。 当把它安装到刚度为5X106N/m的单自由度结构中,此结构的最低固有频率为85.44rad/so求此结构的较高固有频率为多人? 解: 根据无阻尼减振器的原理和已知条件得, k0=5xlQ6N/m,m=10kg,k=mar=lOxlOO2=105N/m 其运动方程为 n伙—加加)伙°+k-加叫)—T=o 即叫P: -[伙°+k)m+kmQ]p;+kko=O 即叫p: -(51xl05+lO4mo)p;+5xlOlo=O 将q=85.44带入上式解出〃7。 将叫带入即解出另一根1032^%=103rad/s。 即为较高固有频率 8-9一个质量为15kg的无阻尼减振器,频率调整到250rad/s,把它放在一个质量为150kg,底座刚度为1X107N/m的机器上。 当频率为250rad/s时,减振器的振幅为3.9mm,求频率为275rad/s时机器的振幅。 解: 由题意可得 ❻=1x10=N=150kg叫=15kgp2=250rad/s cd=250md/scd=215rcid/sB2(©)=3.9nun d为主系统的等效静位移,d为“的振幅,鸟为〃S的振幅。 又 =3.656mill d(0)=9・OlxKT4m 所以所求振幅为9・01x107m 8-10一个质量为20kg的机器安装在刚度为1.3X106N/m的底座上,求一个质量为4kg的有阻尼减振器的最佳设计刚度和阻尼系数? 解: B B 0 最佳的§和a的选取标准是: 1、选取a使曲线族过的两个定点S和T处的幅值相等 2、选取使这条曲线在两个定点S和T处的切线水平为了解决第一个问题我们选取疔=0和f=8两条曲线求交点S和T“=1/5 .22 B 鉀0时才二 0 1r or '.622A4A2⑵ 3CTCT i时才 0 1 -22-l⑶ 3 使 (2)、(3)两式的左右相等,再根据两交点处的幅值相同可以求出: a=1.0555 两个焦点并为一个: A=0.9768 把a=1.0555代入⑴式,两边对兄求导并使2=0.9768时导数为零,可以求出 解二 建立运动微分方程: 令上式的稳态响应为 其中瓦,瓦是复振幅 代入得 kY+k2-w2mk+jwc -k2一jwc '瓦、 (F\ -k2一jwc k2一w2m2+jwc 瓦 3丿 V(w)=伙三+❻一+jwc)匕-+jwc)-(k2+jwc)' =(代-mLw2)(k2-m2w2)-k2ni2w2+jwc(kk-mkw2-m2w2) 其中牛尽和(pg分别为系统稳态响应的振幅和相位差 可以得到主系统的振幅 g=—^― P1 2叫[人 2=^ B。 Y[/zZT-(/-1)(/-")[+(2勿),(A2-l+/iA2y “=20kg叫=4kg人=1.3x106怀7 把已知条件代入得 仁=1.81X104N/m, c=134.3N・s/m 8-11如果一个最佳设计的有阻尼减振器用于题8・7的系统中,质量比为0.25,在转速为600 Mmin时,机器的稳态的振幅为多少? 用式x严HI(厶? 丫/厂+0V-(/-)[——_,其中n=0.923,Fo=5000 k、VO'/一[i+(i+“)q~]T+q-}+(2 w)~[i—Q(i+“)]- N,ki=4.62X105N/m,以及上述值,计算得Xi=2.9cm。 8-12一个质量为300kg的机器放在长为1.8m的悬臂梁末端。 梁的弹性模量为200X109N/m,惯性矩为1.8X10-5nf,当机器以10001/nmi速度运转时,稳态振幅为0.8mm。 当一个质量为30kg,阻尼系数为650N-s/m,刚度1.5XIO"N/m的减振器加到悬臂梁的末端时,机器的稳态振幅为多少? 梁的刚度是 系统的固有频率为 AY 3200xlO9—(1.8xl0'5m4) (1.8m)3 1.85xl06—, =78.5^ 300kgs 对co—1000r/inin=104.7rad/s的频率比为 104.7型 在加减振器之前,由稳态振幅计算得受迫力幅为: F。 =il2X1(/-12-1)=^1.85xlO6—K0.0008m)[(1.33)2-1] =1.14x10’N 减振器的固有频率为 因此减振器的设计参数为 0"= 30kgs /? ? ->30kg 卩=亠==0.1 旳300kg 70.7—— =0.90 7&5型 '2^m2k2 …N・s 6〉0 m 2jfl.5xl05—l(30kg) VVBl丿 =0.153 把I泌仏代入式X产百■Y{r4一[1+(1+“才]z.2+/}+(2丫q)2[i—F(1+“)F -,得Xi=9.08X lO^nio 8-13一个质量为110kg的机器受到一个大小为1500N的激励的作用。 该机器安装在刚度为3X106N/m的底座上。 要使最佳设计的有阻尼减振器的最人振幅为3mm,求其质量和阻尼系数。 答: 44kg,5624N-s/iiio 8-14一个发动机飞轮的偏心距为1.2cm,质量为40kg,若阻尼比为0.05,当发动机在1000〜 2000r/nuii转速范围内运转其旋转振幅均小于1.2mm,求发动机轴承所需的刚度为多人? A的最大允许值为 max man 旦巴=0.1 1.2cm 则由式兰=A(八C=r~=得 £J(l—r于+(2? ・), O.K Vr4-1.99r2+1 r<0.302 因此以各种速度运转时r<0.302t由于最人运转速度足2000f/niui=209.4iad/s 209.4—s 0.302 所以轴承的最小刚度为 k=mco^=(40kg)693-^—=1.93x10— sJm 1 0 m •—』 ■ • ・ XA 8-15如题8-15图所示,己知机器质量m=90kg,减振器质量〃匕=2.25kg,若机器上有一偏心质量mr=0.5kg,偏心矩e=1cm,机器转速“=1800r/iimio试问: ⑴弹簧刚度居多人,才能使机器振幅为零? (2)此时振幅B? 为多大? (3)若使振幅弘不超过2mm,参数m2,k2应如何改变? 解: 建立广义坐标由图示。 得作用力方程为 设X]=dsin劲,耳=禺sin劲,代入上式得 (k2-m2CD2)mreco2 [(2k.十kJ-(m.+m)cjjr—k;] k2(k2-in2co^)ineco・ (k2-m2a)2)[(2kl+&)—(“+in)co2]-k; 由已知条件知: 作用在机器上的激振力 F=mfea)2・sin血/ ^=111=188.4(1/s)30 (1)若满足邑=血‘,则机器振幅为零 k2=co2•叫=7.99xio4N/m (2)此时: Fo=meork2=co2•m2 meC°~竺=2.22mm 〃人 (3) 则: 令B2=2(mm) 同时满足 .k; co^=— 〃7: b>8.88xl04 N/m 题8・16图 叫>2.5kg 8-16质量为皿的物块,用弹簧常量为k的弹簧系住,可在光滑水平面上滑动,如图所示。 物块上连接一摆长为/,质量为〃匕的单摆。 物块受水平激振力S=Hsma作用,试问当单摆长度满足什么条件时,物块的振幅为零? 解: 己知单摆的周期为 吨 由减震知识门J知只要外力频率与单摆频率相同即可,单摆频率为 所以
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