专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx
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专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案
蚂蚁爬行的最短路径
1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:
+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10.
回答下列问题:
(1)蚂蚁最后是否回到出发点0;
(2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.
解:
(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0;
(2)(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114粒
2.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.
解:
如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB即为最短路线.
AB=
.
3.(2006•)如图,点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm
4
.
解:
由题意得,从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长,即2+2=4.
4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是()
A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B
解:
根据两点之间线段最短可知选A.
故选A.
5.如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是( )
解:
如图,AB=
.故选C.
6.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为( )
解:
展开正方体的点M所在的面,
∵BC的中点为M,
所以MC=
BC=1,
在直角三角形中AM=
=
.
7.如图,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程是cm。
解:
将盒子展开,如图所示:
AB=CD=DF+FC=
EF+
GF=
×20+
×20=20cm.
故选C.
8.正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.
解:
将正方体展开,连接M、D1,
根据两点之间线段最短,
MD=MC+CD=1+2=3,
MD1=
.
9.如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用2.52.5秒钟.
解:
因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线.
(1)展开前面右面由勾股定理得AB=
=
cm;
(2)展开底面右面由勾股定理得AB=
=5cm;
所以最短路径长为5cm,用时最少:
5÷2=2.5秒.
10.(2009•XX州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是。
解:
将长方体展开,连接A、B,
根据两点之间线段最短,AB=
=25.
11.如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?
最短路线长为.
解:
正面和上面沿A1B1展开如图,连接AC1,△ABC1是直角三角形,
∴AC1=
12.如图所示:
有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到B点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。
解:
由题意得,
路径一:
AB=
=
;
路径二:
AB=
=5;
路径三:
AB=
=
;
∵
>5,
∴5米为最短路径.
13.如图,直四棱柱侧棱长为4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求:
(1)蚂蚁经过的最短路程;
(2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.
解:
(1)AB的长就为最短路线.
然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为
(cm);
若蚂蚁沿侧面和底面爬行,则经过的路程为
(cm),
或
(cm)
所以蚂蚁经过的最短路程是
cm.
(2) 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,
最长路程是30cm.
14.如图,在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食,最短的路程是多少?
解:
图1中,
cm.
图2中,
cm.
图3中,
cm.
∴采用图3的爬法路程最短,为
cm
15.如图,长方体的长、宽、高分别为6cm,8cm,4cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解:
第一种情况:
把我们所看到的前面和上面组成一个平面,
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,
则所走的最短线段是
=6
cm;
第二种情况:
把我们看到的左面与上面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,
所以走的最短线段是
=
cm;
第三种情况:
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,
所以走的最短线段是
=2
cm;
三种情况比较而言,第二种情况最短.
16.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm
解:
三级台阶平面展开图为长方形,长为20cm,宽为(2+3)×3cm,
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,
由勾股定理得:
x2=202+[(2+3)×3]2=252,
解得x=25.
故答案为25.
17.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是cm。
解:
将台阶展开,如下图,
因为AC=3×3+1×3=12,BC=5,
所以AB2=AC2+BC2=169,
所以AB=13(cm),
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.
答:
蚂蚁爬行的最短线路为13cm.
18.(2011•荆州)如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为13cm.
解:
∵PA=2×(4+2)=12,QA=5
∴PQ=13.
故答案为:
13.
19.如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少?
解:
如图1,在砖的侧面展开图2上,连接AB,
则AB的长即为A处到B处的最短路程.
解:
在Rt△ABD中,
因为AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,
所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.
所以AB=17cm.
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.
20.(2009•)如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;
(3)求点B1到最短路径的距离.
解:
(1)如图,
木柜的表面展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1.
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1.(2分)
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1,
爬过的路径的长是
.(3分)
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1,爬过的路径的长是
.(4分)
l1>l2,故最短路径的长是
.(5分)
(3)作B1E⊥AC1于E,
则
•
•
为所求.(8分)
21.有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.
解:
AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C,D分别是BE,AF的中点.
AF=2π•5=10π.AD=5π.
AC=
≈16cm.
故答案为:
16cm.
22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短路线长为.
解:
AB=
m
23.如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为
,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为
13
.
解:
因为圆柱底面圆的周长为2π×
=12,高为5,
所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,
根据勾股定理,对角线长为
=13.
故蚂蚁爬行的最短距离为13.
24.如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是
解:
如图所示:
由于圆柱体的底面周长为24cm,
则AD=24×
=12cm.
又因为CD=AB=9cm,
所以AC=
=15cm.
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.
故答案为:
15.
25.(2006•荆州)有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线.在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是
cm.(结果用带π和根号的式子表示)
解:
QA=3,PB1=2,
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中,
根据勾股定理得:
QP=
26.同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从A处爬行到对面的中点B处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图.
问题:
某正方体盒子,如图左边下方A处有一只蚂蚁,从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图.
解:
如图,将圆柱的侧面展开成一个长方形,如图示,则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图.
如图,将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形,如图示,则A、M分别位于如图所示的位置,连接AM,即是这条最短路线图.
27.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是.
解:
∵圆锥的底面周长是4π,则4π=
,
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°,
∴在圆锥侧面展开图中AP=2,AB=4,∠BAP=90°,
∴在圆锥侧面展开图中BP=
,
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是
cm.
故答案是:
cm.
28.如图,圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,∠COB=150°,D为VB上一点,VD=
.现有一只蚂蚁,沿圆锥表面从点C爬到D.则蚂蚁爬行的最短路程是( )
解:
=
=
,
∴设弧BC所对的圆心角的度数为n,
∴
=
解得n=90,
∴∠CVD=90°,
∴CD=
=4
,
29.已知圆锥的母线长为5cm,圆锥的侧面展开图如图所示,且∠AOA1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。
解:
连接AA′,作OC⊥AA′于C,
∵圆锥的母线长为5cm,∠AOA1=120°,
∴AA′=2AC=5
.
30.如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是.
解:
由题意知,底面圆的直径为2,
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,
,
解得n=90°,
所以展开图中圆心角为90°,
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是:
.
31.(2006•)如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到A点,它爬行的最短路线长是。
解:
由题意知底面圆的直径=2,
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=
,
解得n=90°,
所以展开图中的圆心角为90°,
根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为
.
32.(2009•)如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为。
解:
由题意知,底面圆的直径AB=4,
故底面周长等于4π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=
,
解得n=120°,
所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,
根据勾股定理求得AD=
,
所以蚂蚁爬行的最短距离为
.
33.如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径.
解:
把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形,
则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段).
由此知:
OA=OA′=3r,
的长为2πr.
∴2πr=
,n=120°,
即∠AOA′=120°,∠OAC=30°.
∴OC=
OA=
∴AC=
∴AA′=2AC=
r,
即蚂蚁运动的最短路程是
r.
34.如图①,一只蚂蚁从圆锥底面的A点出发,沿侧面绕行一周后到达母线SA的中点M.蚂蚁沿怎样的路径行走最合算?
为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究.
(1)善于表现的银银首先列出了一组数据:
圆锥底面半径r=10cm,母线SA长为40cm,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程;
(2)一向稳重的慧慧只给出一个数据:
圆锥的锥角等于60°(如图②),请问:
蚂蚁如何行走最合算?
(3)通过
(1)、
(2)的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,
①请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周?
②结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法.
解:
(1)2π•10=nπ•40÷180°
n=90°,
AM=
=20
.
(2)∵锥角为60°,
∴底面半径的长和母线的长相等,
但缺少母线的长.(3)①因为银银的数据不合理,因为慧慧缺少条件.
②
(1)展成平面图形.
(2)知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及M是SA的中点,根据三角函数或者构
造直角三角形来求解
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