数学知识点完全平方数和完全平方式.docx
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数学知识点完全平方数和完全平方式
数学知识点:
完全平方数和完全平方式
填空题
1.已知a+b=6,ab=3,则a2+b2= _________ .
2.若
=5,则
= _________ .
3.x2﹣3x+ _________ =(x﹣ _________ )2.
4.已知a2+b2=13,ab=6,则a+b的值是 _________ .
5.已知x2+y2+4x﹣6y+13=0,那么xy= _________
6.已知
=6,则
= _________ .
7.若(x﹣m)2=x2+x+a,则m= _________ ,a= _________ .
8.x2+kx+9是完全平方式,则k= _________ .
9.若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式,则k= _________ .
10.若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式,则k的值是 _________ .
11.若x2+3x+m是一个完全平方式,则m= _________ .
12.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m= _________ .
13.多项式4y2+my+9是完全平方式,则m= _________ .
14.若4x2+mx+25是一个完全平方式,则m的值是 _________ .
15.已知x2﹣mxy+y2是完全平方式,则m= _________ .
16.如果x2+mx+16是一个完全平方式,那么m= _________ .
17.若x2﹣ax+16是一个完全平方式,则a= _________ .
18.若x2﹣2ax+16是完全平方式,则a= _________ .
19.若a2+2ka+9是一个完全平方式,则k等于 _________ .
20.若x2+mx+1是完全平方式,则m= _________ .
21.若x2+mx+4是完全平方式,则m= _________ .
22.代数式4x2+3mx+9是完全平方式,则m= _________ .
23.若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式,则a= _________ .
24.多项式x2+2mx+64是完全平方式,则m= _________ .
解答题
25.(2009•佛山)阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:
(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(
x﹣2)2+
x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.
26.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)xy.
28.已知(x+y)2=18,(x﹣y)2=6,求x2+y2及xy的值.
29.图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 _________ ;
(2)观察图②,三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是 _________ ;
(3)若x+y=﹣6,xy=2.75,则x﹣y= _________ ; _________
(4)观察图③,你能得到怎样的代数恒等式呢?
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
30.阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图
(1)或图
(2)等图形的面积表示.
(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:
_________ ;
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:
(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
数学知识点:
完全平方数和完全平方式
参考答案与试题解析
填空题
1.已知a+b=6,ab=3,则a2+b2= 30 .
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
先把a+b=6两边乘方,再把ab=3代入即可求解.
解答:
解:
∵a+b=6,
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=36,
∵ab=3,
∴a2+2×3+b2=36,
解得a2+b2=36﹣6=30.
故应填30.
点评:
本题是对完全平方公式的考查,学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错.
2.若
=5,则
= 23 .
考点:
完全平方公式。
1923992
专题:
计算题。
分析:
根据完全平方公式两边平方,然后整理即可求解.
解答:
解:
∵(a+
)2=a2+2+
=25,
∴a2+
=25﹣2=23.
点评:
此题主要考查了完全平方式的运用,本题利用好乘积二倍项不含字母是常数项是解题的关键.
3.x2﹣3x+
=(x﹣
)2.
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
根据乘积二倍项和已知的平方项先确定出另一个数,再根据完全平方公式解答.
解答:
解:
∵3x=2×
•x,
∴x2﹣3x+(
)2=x2﹣3x+
=(x﹣
)2.
点评:
本题考查了完全平方公式,根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键.
4.已知a2+b2=13,ab=6,则a+b的值是 ±5 .
考点:
完全平方公式。
1923992
专题:
计算题。
分析:
先求出(a+b)的平方,然后把a2+b2=13,ab=6代入求解,最后再开平方即可.
解答:
解:
∵a2+b2=13,ab=6,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab,
=13+12,
=25,
∴a+b=±5.
点评:
本题考查了完全平方公式,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式,完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.
5.已知x2+y2+4x﹣6y+13=0,那么xy= ﹣8
考点:
完全平方公式;非负数的性质:
偶次方。
1923992
分析:
利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式,再根据平方数非负数列式求解出x、y的值,然后再求xy的值.
解答:
解:
∵x2+y2+4x﹣6y+13=0,
∴x2+4x+4+y2﹣6y+9=0,即(x+2)2+(y﹣3)2=0,
∴x+2=0,y﹣3=0,
解得x=﹣2,y=3,
∴xy=(﹣2)3=﹣8.
点评:
本题考查了完全平方公式和非负数的性质,利用完全平方公式整理得到两整式的平方和是解题的关键.
6.已知
=6,则
= 32 .
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
把所给等式平方,求出a2+
的值,然后把所求的算式整理,代入数据计算即可得到答案.
解答:
解:
∵(a+
)2=a2+2+
=36,
∴a2+
=34,
∴(a﹣
)2=a2﹣2+
=34﹣2=32.
点评:
本题主要考查完全平方式,利用好乘积二倍项不含有字母是常数项是解本题的关键,也是难点.
7.若(x﹣m)2=x2+x+a,则m= ﹣
,a=
.
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
根据完全平方公式把(x﹣m)2展开,然后根据对应项系数相等列式求解即可.
解答:
解:
∵(x﹣m)2=x2﹣2mx+m2=x2+x+a,
∴﹣2m=1,a=m2,
解得m=﹣
,a=
.
点评:
本题主要考查完全平方公式的展开式,根据对应项系数相等列出等式是求解的关键.
8.x2+kx+9是完全平方式,则k= ±6 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍,故k=±6.
解答:
解:
中间一项为加上或减去x和3的积的2倍,
故k=±6.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
9.若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式,则k= ±4 .
考点:
完全平方式。
1923992
专题:
计算题。
分析:
本题考查完全平方公式的应用能力,因为这里首尾两项是2x和y的平方,因此中间一项为加上或减去它们乘积的2倍,所以可得:
kxy=±2•2x•y,即:
k=±4.
解答:
解:
∵(2x±y)2=4x2±4xy+y2,
∴在4x2﹣kxy+y2中,k=±4.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
10.若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式,则k的值是 ±12 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
这里首末两项是3x和2y这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍.
解答:
解:
中间一项为加上或减去3x和2y积的2倍.
故k=±12.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
11.若x2+3x+m是一个完全平方式,则m=
.
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
利用完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.即可求得.
解答:
解:
∵3x=2x•
,
∴m=(
)2=
.
故填
.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.此题要求熟练掌握并灵活运用完全平方公式,会从乘积项求平方项的值.
12.若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,则m= ±24 .
考点:
完全平方式。
1923992
专题:
计算题。
分析:
这里首末两项是3和4y个数的平方,那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍,故:
m=±24.
解答:
解:
∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2,
∴在9x2+mxy+16y2中,m=±24.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
13.多项式4y2+my+9是完全平方式,则m= ±12 .
考点:
完全平方式。
1923992
专题:
计算题。
分析:
这里首末两项是2y和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去2y和3积的2倍,故,m=±12.
解答:
解:
∵(2y±3)2=4y2±12y+9,
∴在4y2+my+9中,m=±12.
点评:
本题考查了完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
14.若4x2+mx+25是一个完全平方式,则m的值是 ±20 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
先根据平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2.利用乘积二倍项列式求解即可.
解答:
解:
∵4x2+mx+25是完全平方式,
∴这两个数是2x和5,
∴mx=±2×5×2x,
解得m=±20.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式,根据平方项确定出这两个数是求解的关键.
15.已知x2﹣mxy+y2是完全平方式,则m= ±2 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
这里首末两项是x和y这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和y的积的2倍,故﹣m=±2,m=±2.
解答:
解:
由于(x±2)2=x2±2xy+y2=x2+mx+y2,
∴m=±2.
故本题答案为:
±2.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
16.如果x2+mx+16是一个完全平方式,那么m= ±8 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
这里首末两项是x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍,依此求出m的值.
解答:
解:
∵x2+mx+16是一个完全平方式,
∴这两个数是x和4,
∴mx=±2×4•x,
解得m=±8.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
17.若x2﹣ax+16是一个完全平方式,则a= ±8 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,这里首末两项是x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍.
解答:
解:
∵x2﹣ax+16是一个完全平方式,
∴ax=±2•x×4=±8x,
∴a=±8.
点评:
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析,对此类题要真正理解完全平方公式,并熟记公式,这样才能灵活应用.
本题易错点在于:
是加上或减去两数乘积的2倍,在此有正负两种情况,要全面分析,避免漏解.
18.若x2﹣2ax+16是完全平方式,则a= ±4 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2,这里首末两项是x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍.
解答:
解:
∵x2﹣2ax+16是完全平方式,
∴﹣2ax=±2×x×4
∴a=±4.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
19.若a2+2ka+9是一个完全平方式,则k等于 ±3 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
先根据平方项确定出这两个数是a和3,再根据完全平方公式:
(a±b)2=a2±2ab+b2的乘积二倍项列式求解即可.
解答:
解:
∵a2+2ka+9是一个完全平方式,
∴这两个数是a和3,
∴2ka=±2×3•a,
解得k=±3.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.此题解题的关键是利用平方项求出这两个数.
20.若x2+mx+1是完全平方式,则m= ±2 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
本题考查完全平方公式,这里根据首末两项是x和1的平方可得,中间一项为加上或减去它们乘积的2倍,即:
x=±2•x•1,由此得m=±2.
解答:
解:
由于(x±1)2,
=x2±2x+1,
=x2+mx+1,
∴m=±2.
点评:
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析,对此类题要真正理解完全平方公式,并熟记公式,这样才能灵活应用,本题易错点在于:
是加上或减去两数乘积的2倍,在此有正负两种情况,要全面分析,避免漏解.
21.若x2+mx+4是完全平方式,则m= ±4 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
这里首末两项是x和2这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍,故m=±4.
解答:
解:
中间一项为加上或减去x和2积的2倍,
故m=±4,
故填±4.
点评:
本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
22.代数式4x2+3mx+9是完全平方式,则m= ±4 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
本题考查完全平方公式的灵活应用,这里首末两项是2x和3的平方,那么中间项为加上或减去2x和3的乘积的2倍.
解答:
解:
∵4x2+3mx+9是完全平方式,
∴3mx=±2×3•2x,
解得m=±4.
点评:
本题主要考查完全平方公式,根据两平方项确定出这两个数,再根据乘积二倍项求解.
23.若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式,则a= ±12 .
考点:
完全平方式。
1923992
专题:
配方法。
分析:
此题考查了配方法,一次项系数等于二次项系数与常数项的平方根的积的2倍,注意完全平方式有两个,所以一次项系数有两个且互为相反数.
解答:
解:
a=±2×2×3=±12.
点评:
此题考查了学生的应用能力与计算能力,解题要注意别漏解.
24.多项式x2+2mx+64是完全平方式,则m= ±8 .
考点:
完全平方式。
1923992
分析:
根据完全平方公式结构特征,这里首尾两数是x和8的平方,所以中间项为加上或减去它们乘积的2倍.
解答:
解:
∵x2+2mx+64是完全平方式,
∴2mx=±2•x•8,
∴m=±8.
点评:
本题是完全平方公式的应用,要熟记完全平方公式的结构特征:
两数的平方和,再加上或减去它们乘积的2倍,为此应注意积的2倍有符号有正负两种,避免漏解.
解答题
25.(2009•佛山)阅读材料:
把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
例如:
(x﹣1)2+3、(x﹣2)2+2x、(
x﹣2)2+
x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分).
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0,求a+b+c的值.
考点:
完全平方公式。
1923992
专题:
阅读型。
分析:
(1)
(2)本题考查对完全平方公式的灵活应用能力,由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式;
(3)通过配方后,求得a,b,c的值,再代入代数式求值.
解答:
解:
(1)x2﹣4x+2的三种配方分别为:
x2﹣4x+2=(x﹣2)2﹣2,
x2﹣4x+2=(x+
)2﹣(2
+4)x,
x2﹣4x+2=(
x﹣
)2﹣x2;
(2)a2+ab+b2=(a+b)2﹣ab,
a2+ab+b2=(a+
b)2+
b2;
(3)a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4,
=(a2﹣ab+
b2)+(
b2﹣3b+3)+(c2﹣2c+1),
=(a2﹣ab+
b2)+
(b2﹣4b+4)+(c2﹣2c+1),
=(a﹣
b)2+
(b﹣2)2+(c﹣1)2=0,
从而有a﹣
b=0,b﹣2=0,c﹣1=0,
即a=1,b=2,c=1,
∴a+b+c=4.
点评:
本题考查了根据完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方的能力.
26.已知(x+y)2=49,(x﹣y)2=1,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)xy.
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
根据完全平方公式把(x+y)2和(x﹣y)2展开,然后相加即可求出x2+y2的值,相减即可求出xy的值.
解答:
解:
由题意知:
(x+y)2=x2+y2+2xy=49①,
(x﹣y)2=x2+y2﹣2xy=1②,
①+②得:
(x+y)2+(x﹣y)2,
=x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy,
=2(x2+y2),
=49+1,
=50,
∴x2+y2=25;
①﹣②得:
4xy=(x+y)2﹣(x﹣y)2=49﹣1=48,
∴xy=12.
点评:
本题考查了完全平方公式,灵活运用完全平方公式,熟记公式是解题的关键.
28.已知(x+y)2=18,(x﹣y)2=6,求x2+y2及xy的值.
考点:
完全平方公式。
1923992
分析:
把(x+y)2=18,(x﹣y)2=6,展开后,相加即可求出x2+y2的值,相减即可求出xy的值.
解答:
解:
∵(x+y)2=18,(x﹣y)2=6,
∴x2+y2+2xy=18,x2+y2﹣2xy=6,
两式相加得,2(x2+y2)=24,∴x2+y2=12;
两式相减得,4xy=12,∴xy=3.
点评:
本题考查完全平方公式的灵活运用,利用了建立方程组的思想整体求解.
29.图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为 (m﹣n)2 ;
(2)观察图②,三个代数式(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系是 (m﹣n)2+4mn=(m+n)2 ;
(3)若x+y=﹣6,xy=2.75,则x﹣y= 5 ; ﹣5
(4)观察图③,你能得到怎样的代数恒等式呢?
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
考点:
完全平方公式的几何背景。
1923992
分析:
(1)可直接用正方形的面积公式得到.
(2)数量掌握完全平方公式,并掌握和与差的区别.
(3)此题可参照第二题.
(4)可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式.
(5)可参照第四题画图.
解答:
解:
(1)(m﹣n)2(3分)
(2)(m﹣n)2+4mn=(m+n)2(3分)
(3)±5(3分)
(4)(m+n)(2m+n)=2m2+3mn+n2(3分)
(5)答案不唯一:
(4分)
例如:
点评:
解题关键是认真观察题中给出的图示,用不同的形式去表示面积,熟练掌握完全平方公式,并能进行变式.
30.阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图
(1)或图
(2)等图形的面积表示.
(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2 ;
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:
(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
考点:
完全平方公式的几何背景。
1923992
专题:
阅读型。
分析:
本题考查用平面几何图形的面积来表示一些代数恒等式,如图(3)中长方形的面积=长×宽=(2a+b)(a+2b),长方形的面积还可以把几个小图形的面积相加,即a2+a2+ab+ab+a
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- 数学 知识点 完全 平方