最新导数平均变化率与瞬时变化率.docx
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最新导数平均变化率与瞬时变化率
导数:
平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】
一.本周教学内容:
导数——平均变化率与瞬时变化率w
二.本周教学目标:
1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵.
2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.
三.本周知识要点:
(一)平均变化率
1、情境:
观察某市某天的气温变化图
2、一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.
(二)瞬时变化率——导数
1、曲线的切线
如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线c上一点作割线PQ,当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线
割线PQ的斜率为,即当时,无限趋近于点P的斜率.
2、瞬时速度与瞬时加速度
1)瞬时速度定义:
运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.
2)确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:
要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.
当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度.
我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,t0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:
位移为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt称时间增量)
平均速度
根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.
现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt.时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时,位移的平均变化率无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体在t=t0的瞬时速度
同样,计算运动物体速度的平均变化率,当Δt→0时,平均速度无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t=t0时的瞬时加速度.
3、导数
设函数在(a,b)上有定义,.若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作.
几何意义是曲线上点()处的切线的斜率.
导函数(导数):
如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作.
【典型例题】
例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,ts后容器甲中水的体积(单位:
),计算第一个10s内V的平均变化率.
解:
在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为
即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为.
例2、已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数及的平均变化率.
解:
函数在[-3,-1]上的平均变化率为
在[-3,-1]上的平均变化率为
函数在[0,5]上的平均变化率为
在[0,5]上的平均变化率为
例3、已知函数,分别计算函数在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率.
解:
函数在区间[1,3]上的平均变化率为
函数在[1,2]上的平均变化率为
函数在[1,1.1]上的平均变化率为
函数在[1,1.001]上的平均变化率为
例4、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8m/s2.求t=3这一时段的速度.
解:
取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度g(6+Δt)
当Δt无限趋于0时,无限趋于3g=29.4m/s.
例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:
cm,时间单位:
s),
(1)当t=2,Δt=0.01时,求.
(2)当t=2,Δt=0.001时,求.
(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.
分析:
Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度.
解:
∵=4t+2Δt
∴
(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02cm/s.
(2)当t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002cm/s.
(3)Δt0,(4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s
例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程.
解:
设Q(1+,2+),则割线PQ的斜率为:
斜率为2
∴切线的斜率为2.
切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
【模拟试题】
1、若函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy),则=()
A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2Δx
2、一直线运动的物体,从时间到时,物体的位移为,那么时,为()
A.从时间到时,物体的平均速度;B.在时刻时该物体的瞬时速度;
C.当时间为时物体的速度;D.从时间到时物体的平均速度
3、已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求
(1)点A处的切线的斜率.
(2)点A处的切线方程.
4、求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线方程.
5、求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
6、一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:
m,时间单位:
s),求小球在t=5时的瞬时速度
7、质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:
cm,时间单位:
s),求质点M在t=2时的瞬时速度.
【试题答案】
1、B
2、B
3、解:
(1)时,k=
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2
4、解:
时,k=
∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3.
5、解:
Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,=2Δx+16
∴时,y′|x=3=16
6、解:
时,瞬时速度v=(10+Δt)=10m/s.
∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.
7、解:
时,瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s
【励志故事】
遭窃的罗斯福
罗斯福还未当上美国总统之前,家中遭窃,朋友写信安慰他.罗斯福回信说:
“谢谢你的来信,我现在心中很平静,因为:
第一、窃贼只偷去我的财物,并没有伤害我的生命.第二、窃贼只偷走部分的东西,而非全部.第三、最值得庆幸的是:
做贼的是他,而不是我.”
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