高一平面向量讲义.docx

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高一平面向量讲义

　平面向量讲义

§2.1　平面向量的实际背景及基本概念

1．向量：

既有________，又有________的量叫向量．

2．向量的几何表示：

以A为起点，B为终点的向量记作________．

3．向量的有关概念：

（1）零向量：

长度为__________的向量叫做零向量，记作______．

（2）单位向量：

长度为______的向量叫做单位向量．

（3）相等向量：

__________且__________的向量叫做相等向量．

（4）平行向量（共线向量）：

方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．

①记法：

向量a平行于b，记作________．

②规定：

零向量与__________平行．

考点一　向量的有关概念

例1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有＝；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

变式训练1　判断下列命题是否正确，并说明理由．

（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

（2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

（4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

考点二　向量的表示方法

例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．

（1）作出向量、、；　

（2）求||.

考点三　相等向量与共线向量

例3　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.

（1）与a的模相等的向量有多少个？

（2）与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

（3）与a共线的向量有哪些？

（4）请一一列出与a，b，c相等的向量．

§2.2　平面向量的线性运算

1．向量的加法法则

（1）三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.

（2）平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

（1）交换律：

a＋b＝______________.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝______________________.

3.相反向量

（1）定义：

如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．

（2）性质：

①对于相反向量有：

a＋（－a）＝______.

②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.

③零向量的相反向量仍是__________．

4.向量的减法

（1）定义：

a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的

___________________________________________________________________．

（2）作法：

在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝__________.如图所示．

（3）几何意义：

如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：

－＝________.

5．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

（1）|λa|＝__________.

（2）λa（a≠0）的方向；

特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________.

6．向量数乘的运算律

（1）λ（μa）＝________.

（2）（λ＋μ）a＝____________.

（3）λ（a＋b）＝____________.

特别地，有（－λ）a＝____________＝________；

λ（a－b）＝____________.

7．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

8．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有

λ（μ1a±μ2b）＝__________________.

考点一　运用向量加法法则作和向量

例1　如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.

变式训练1　如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.

考点二　运用向量加减法法则化简向量

例2　化简：

（1）＋；

（2）＋＋；（3）＋＋＋＋.

（4）（－）－（－）．（5）（－）－（－）；

（6）（＋＋）－（－－）．

变式训练2　如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

（1）＋＝________；

（2）＋＋＝________；

（3）＋＋＝________；

（4）＋＋＝________.

变式训练3　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，

＝b，＝c，求证：

b＋c－a＝.

考点三向量的共线

例3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则（　　）

A．k＝0B．k＝1

C．k＝2D．k＝

变式训练4已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则（　　）

A．P在△ABC内部

B．P在△ABC外部

C．P在AB边上或其延长线上

D．P在AC边上

考点四：

三点共线

例4两个非零向量a、b不共线．

（1）若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3（a－b），求证：

A、B、D三点共线；

（2）求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．

变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　）

A．B、C、DB．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D

变式训练6已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.

§2.3　平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

（1）定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________.

（2）基底：

把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．

2.两向量的夹角与垂直

（1）夹角：

已知两个__________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角．

①范围：

向量a与b的夹角的范围是______________．

②当θ＝0°时，a与b________.

③当θ＝180°时，a与b________.

（2）垂直：

如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．

3．平面向量的坐标表示

（1）向量的正交分解：

把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

（2）向量的坐标表示：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

（3）向量坐标的求法：

在平面直角坐标系中，若A（x，y），则＝________，若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝________________________.

4．平面向量的坐标运算

（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

5．两向量共线的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．

（1）当a∥b时，有______________________．

（2）当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

6．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．

当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；

当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．

考点一　对基底概念的理解

例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　）

①λe1＋μe2（λ、μ∈R）可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个；

③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ（λ2e1＋μ2e2）；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.

A．①②B．②③C．③④D．②

变式训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；

③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.

其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．（写出所有满足条件的序号）

考点二　用基底表示向量

例2　如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b试用a，b表示、、.

变式训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.

考点三　平面向量基本定理的应用

例3　如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：

AP∶PM＝4∶1.

变式训练3　如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

（1）用a和b表示向量、；

（2）若＝λ，求实数λ的值．

考点四　平面向量的坐标运算

例4　已知平面上三点A（2，－4），B（0,6），C（－8,10），求

（1）－；

（2）＋2；（3）－.

变式训练4　已知a＝（－1,2），b＝（2,1），求：

（1）2a＋3b；

（2）a－3b；（3）a－b.

考点五　平面向量的坐标表示

例5　已知a＝（－2,3），b＝（3,1