数学分析华东师大第四章函数的连续性汇编.docx

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数学分析华东师大第四章函数的连续性汇编

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第四章函数的连续性

§1连续性概念

连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.

从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.

一函数在一点的连续性

定义1设函数f在某U（x0）内有定义.若

lim

x→x

f（x）=f（x0）,

（1）

0

则称f在点x0连续.

例如,函数f（x）=2x+1在点x=2连续,因为

又如,函数

lim

x→2

f（x）=lim

x→2

（2x+1）=5=f

（2）.

f（x）=

xsin1

x

x≠0,

0,x=0

在点x=0连续,因为

lim

x→0

f（x）=lim

x→0

xsin1

x

=0=f（0）.

为引入函数y=f（x）在点x0连续的另一种表述,记Δx=x-x0,称为自变量x（在点x0）的增量或改变量.设y0=f（x0）,相应的函数y（在点x0）的增量记为

Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.

注自变量的增量Δx或函数的增量Δy可以是正数,也可以是0或负数.

引进了增量的概念之后,易见“函数y=f（x）在点x0连续”等价于

limΔy=0.

Δx→0

70第四章函数的连续性

由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的,因而也可直接用ε-δ方式来叙述,即:

若对任给的ε>0,存在δ>0,使得当|x-x0|<δ时有

|f（x）-f（x0）|<ε,

（2）

则称函数f在点x0连续.

由上述定义,我们可得出函数f在点x0有极限与f在x0连续这两个概念

之间的联系.首先,f在点x0有极限是f在x0连续的必要条件;进一步说“,f在

点x0连续”不仅要求f在点x0有极限,而且其极限值应等于f在x0的函数值f（x0）.其次,在讨论极限时,我们假定f在点x0的某空心邻域U°（x0）内有定义（f在点x0可以没有定义）,而“f在点x0连续”则要求f在某U（x0）内（包括点x0）有定义,此时由于

（2）式当x=x0时总是成立的,所以在极限定义中的“0

<|x-x0|<δ”换成了在连续定义中的“|x-x0|<δ”.最后,

（1）式又可表示为

lim

x→x

0

f（x）=flimx,

x→x

0

可见“f在点x0连续”意味着极限运算lim

x→x

与对应法则f的可交换性.

0

例1证明函数f（x）=xD（x）在点x=0连续,其中D（x）为狄利克雷函数.

证由f（0）=0及|D（x）|≤1,对任给的ε>0,为使

|f（x）-f（0）|=|xD（x）|≤|x|<ε,

只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f在x=0连续.□相应于f在点x0的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下:

定义2设函数f在某U+（x0）（U-（x0））内有定义.若

lim

x→x+

0

f（x）=f（x0）lim

-

x→x

0

f（x）=f（x0）,

则称f在点x0右（左）连续.

根据上述定义1与定义2,不难推出如下定理.

定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是:

f在点x0既是右连续,又是左连续.

例2讨论函数

在点x=0的连续性.

解因为

f（x）=

x+2,x≥0,x-2,x<0

lim

x→0+

lim

x→0-

f（x）=lim

x→0+

f（x）=lim

x→0-

（x+2）=2,（x-2）=-2,

而f（0）=2,所以f在点x=0右连续,但不左连续,从而它在x=0不连续（见

●

§1连续性概念71

图4-1）.□

二间断点及其分类

定义3设函数f在某U°（x0）内有定义.若f在点x0无定义,或f在点x0有定义而不连续,则称点x0为函数f的间断点或不连续点.

按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论,若x0为函数f的间断点,则必出现下列情形之一:

图4-1

（i）f在点x0无定义或极限lim

x→x

f（x）不存在;

0

（ii）f在点x0有定义且极限lim

x→x

0

f（x）存在①,但lim

x→x

0

f（x）≠f（x0）.

据此,我们对函数的间断点作如下分类:

1.可去间断点若

lim

x→x

f（x）=A,

0

而f在点x0无定义,或有定义但f（x0）≠A,则称x0为f的可去间断点.

例如,对于函数f（x）=|sgnx|,因f（0）=0,而

lim

x→0

f（x）=1≠f（0）,

故x=0为f（x）=|sgnx|的可去间断点.又如函数g（x）=sinx,由于

x

lim

x→0

g（x）=1,而g在x=0无定义,所以x=0是函数g的可去间断点.

设x0为函数f的可去间断点,且lim

x→x

f（x）=A.我们按如下方法定义一个

0

函数f^:

当x≠x0时,f^（x）=f（x）;当x=x0时,f^（x0）=A.易见,对于函数

f^,x0是它的连续点.例如,对上述的g（x）=sinx,我们定义

x

则g^在x=0连续.

g^（x）=

sinx

x,x≠0,

1,x=0,

2.跳跃间断点若函数f在点x0的左、右极限都存在,但

lim

x→x+

0

f（x）≠lim

x→x-

0

f（x）,

则称点x0为函数f的跳跃间断点.

例如,对函数f（x）=[x]（图1-8）,当x=n（n为整数）时有

①这里所说的极限存在是指存在有限极限,即不包括非正常极限.

72第四章函数的连续性

lim

x→n-

[x]=n-1,lim

x→n+

[x]=n,

所以在整数点上函数f的左、右极限不相等,从而整数点都是函数f（x）=[x]的跳跃间断点.又如符号函数sgnx在点x=0处的左、右极限分别为-1和1,故x=0是sgnx的跳跃间断点（图1-3）.

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在.

3.函数的所有其他形式的间断点,即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点,称为第二类间断点.

例如,函数y=1当x→0时不存在有限的极限,故x=0是y=1的第二类

xx

间断点.函数sin1在点x=0处左、右极限都不存在,故x=0是sin1的第二类

xx

间断点.又如,对于狄利克雷函数D（x）,其定义域R上每一点x都是第二类间断点.

三区间上的连续函数

若函数f在区间I上的每一点都连续,则称f为I上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.

例如,函数y=c,y=x,y=sinx和y=cosx都是R上的连续函数.又如

函数y=1-x2在（-1,1）每一点处都连续,在x=1为左连续,在x=-1为右连续,因而它在[-1,1]上连续.

若函数f在区间[a,b]上仅有有限个第一类间断点,则称f在[a,b]上分段连续.例如,函数y=[x]和y=x-[x]在区间[-3,3]上是分段连续的.

在§3中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数.同时,也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数,如前面已提到的狄利克雷函数.

例3证明:

黎曼函数

R（x）=

1,当x=pqq

p、q为正整数,p6q/为既约真分数,

0,当x=0,1及（0,1）内无理数在（0,1）内任何无理点处都连续,任何有理点处都不连续.

证设ξ∈（0,1）为无理数.任给ε>0不妨设ε<1

2

满足1≥ε的正整

q

数q显然只有有限个（但至少有一个,如q=2）,从而使R（x）≥ε的有理数x∈

（0,1）只有有限个至少有一个,如1

2

设为x1,,xn.取

δ=min|x1-ξ|,,|xn-ξ|,ξ,1-ξ,

§1连续性概念73

则对任何x∈U（ξ;δ）（Ì（0,1））,当x为有理数时有R（x）<ε,当x为无理数时R（x）=0.于是,对任何x∈U（ξ;δ）,总有

R（x）-R（ξ）=R（x）<ε.

这就证明了R（x）在无理点ξ处连续.

现设p为（0,1）内任一有理数.取ε0=1,对任何正数δ（无论多么小）,在

q2q

Up

q;δ内总可取到无理数x（∈（0,1））,使得

R（x）-Rp

q

=1

q

>ε0.

所以R（x）在任何有理点处都不连续.□

习题

1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:

（1）f（x）=1;

（2）f（x）=|x|.

x

2.指出下列函数的间断点并说明其类型:

（1）f（x）=x+1;

（2）f（x）=sinx;

x|x|

（3）f（x）=[|cosx|];（4）f（x）=sgn|x|;

（5）f（x）=sgn（cosx）;

x,x为有理数,

（6）f（x）=

（7）f（x）=

-x,x为无理数;

1

x+7,-∞

x,-7≤x≤1

（x-1）sin1,1

x-1

3.延拓下列函数,使其在R上连续:

3

（1）f（x）=x-8;

（2）f（x）=1-cosx;

x-2x2

（3）f（x）=xcos1.

x

22

4.证明:

若f在点x0连续,则|f|与f也在点x0连续.又问:

若|f|或f

那么f在I上是否必连续?

在I上连续,

5.设当x≠0时f（x）≡g（x）,而f（0）≠g（0）.证明:

f与g两者中至多有一个在x=0

连续.

6.设f为区间I上的单调函数.证明:

若x0∈I为f的间断点,则x0必是f的第一类间断点.

74第四章函数的连续性

7.设函数f只有可去间断点,定义

g（x）=lim

y→x

f（y）.

证明g为连续函数.

8.设f为R上的单调函数,定义

g（x）=f（x+0）.

证明g在R上每一点都右连续.

9.举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在1,1和1三点不连续的函数;

234

（2）只在1,1和1三点连续的函数;

234

（3）只在1（n=1,2,3,）上间断的函数;n

（4）只在x=0右连续,而在其他点都不连续的函数.

§2连续函数的性质

一连续函数的局部性质

若函数f在点x0连续,则f在点x0有极限,且极限值等于函数值f（x0）.

从而,根据函数极限的性质能推断出函数f在U（x0）的性态.

定理4.2（局部有界性）若函数f在点x0连续,则f在某U（x0）内有界.

定理4.3（局部保号性）若函数f在点x0连续,且f（x0）>0（或<0）,则对任何正数r

f（x）>r（或f（x）<-r）.

注在具体应用局部保号性时,常取r=1

2

f（x0）,则（当f（x0）>0时）存

在某U（x0）,使在其内有f（x）>1

2

f（x0）.

定理4.4（四则运算）若函数f和g在点x0连续,则f±g,f·g,6fg（x0）≠0）也都在点x0连续.

以上三个定理的证明,都可从函数极限的有关定理直接推得.

g/（这里

对常量函数y=c和函数y=x反复应用定理4.4,能推出多项式函数

nn-1

P（x）=a0x+a1x++an-1x+an

和有理函数R（x）=P（x）

Q（x）

（P,Q为多项式）在其定义域的每一点都是连续的.

同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每

§2连续函数的性质75

一点都连续.

关于复合函数的连续性,有如下定理:

定理4.5若函数f在点x0连续,g在点u0连续,u0=f（x0）,则复合函数

gf在点x0连续.

证由于g在u0连续,对任给的ε>0,存在δ1>0,使得当|u-u0|<δ1时有

|g（u）-g（u0）|<ε.

（1）

又由u0=f（x0）及u=f（x）在点x0连续,故对上述δ1>0,存在δ>0,使得当

|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f（x）-f（x0）|<δ1.联系

（1）得:

对任给的ε>0,

存在δ>0,当|x-x0|<δ时有

|g（f（x））-g（f（x0））|<ε.

这就证明了gf在点x0连续.□

注根据连续性的定义,上述定理的结论可表为

lim

x→x

0

g（f（x））=glim

x→x

0

f（x）=g（f（x0））.

（2）

例1求limsin（1-x2）.

x→1

解sin（1-x2）可看作函数g（u）=sinu与f（x）=1-x2的复合.由

（2）式

得

limsin（1-x2）=sinlim

（1-x2）=sin0=0.□

x→1x→1

注若复合函数gf的内函数f当x→x0时极限为a,而a≠f（x0）或f在x0无定义（即x0为f的可去间断点）,又外函数g在u=a连续,则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限,即有

lim

x→x

0

g（f（x））=glim

x→x

0

f（x）.（3）

读者还可证明:

（3）式不仅对于x→x0这种类型的极限成立,而且对于x→

0

+∞,x→-∞或x→x±

等类型的极限也是成立的.

例2求极限:

（1）lim

2-sinx;

（2）lim

2-sinx.

x→0

解

（1）lim

x→0

x

2-sinx

x

x→∞

=2-lim

x→0

x

sinx=2-1=1;x

（2）lim

2-sinx=2-lim

sinx

=2-0=2.□

x→∞xx→∞x

二闭区间上连续函数的基本性质

设f为闭区间[a,b]上的连续函数,本段中我们讨论f在[a,b]上的整体性质.

76第四章函数的连续性

定义1设f为定义在数集D上的函数.若存在x0∈D,使得对一切x∈D

有

f（x0）≥f（x）（f（x0）≤f（x））,

则称f在D上有最大（最小）值,并称f（x0）为f在D上的最大（最小）值.

例如,sinx在[0,π]上有最大值1,最小值0.但一般而言,函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值（即使f在D上有界）.如f（x）=x在（0,1）上既无最大值也无最小值.又如

g（x）=

1

x,x∈（0,1）,

2,x=0与1,

（4）

它在闭区间[0,1]上也无最大、最小值.下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件.

定理4.6（最大、最小值定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在

[a,b]上有最大值与最小值.

此定理和随后的定理4.7以及本节最后的定理4.9,其证明将在第七章§2给出.在这里读者先对这些定理有所了解,并能初步运用它们.

推论（有界性定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上有界.

易见由（4）式给出的函数g在闭区间[0,1]上无界,请读者考虑为什么对函数g上述推论的结论不成立.

定理4.7（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f（a）≠

f（b）.若μ为介于f（a）与f（b）之间的任何实数（f（a）<μμ

>f（b））,则至少存在一点x0∈（a,b）,使得

f（x0）=μ.

这个定理表明,若f在[a,b]上连续,又不妨