高中数学必修一集合经典题型总结高分必备.docx
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高中数学必修一集合经典题型总结高分必备
慧诚教育2017年秋季高中数学讲义
必修一第一章复习
知识点一 集合的概念
1.集合
一般地,把一些能够对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示.
2.元素
构成集合的叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.
3.空集
不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.
知识点二 集合与元素的关系
1.属于
如果a是集合A的元素,就说集合A,记作.
2.不属于
如果a不是集合A中的元素,就说集合A,记作.
知识点三 集合的特性及分类
1.集合元素的特性
、、.
2.集合的分类
(1)有限集:
含有元素的集合.
(2)无限集:
含有元素的集合.
3.常用数集及符号表示
名称
非负整数集(自然数集)
整数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
知识点四 集合的表示方法
1.列举法
把集合的元素,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法.
知识点五 集合与集合的关系
1.子集与真子集
定义
符号语言
图形语言
(图)
子集
如果集合A中的元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集
(或)
真子集
如果集合A⊆B,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集
(或)
2.子集的性质
(1)规定:
空集是的子集,也就是说,对任意集合A,都有.
(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即.
(3)如果A⊆B,B⊆C,则.
(4)如果
,
,则.
3.集合相等
定义
符号语言
图形图言
(图)
集合相等
如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等
A=B
4.集合相等的性质
如果A⊆B,B⊆A,则A=B;反之,.
知识点六 集合的运算
1.交集
自然语言
符号语言
图形语言
由
组成的集合,称为A与B的交集
A∩B=
2.并集
自然语言
符号语言
图形语言
由
组成的集合,称为A与B的并集
A∪B=
3.交集与并集的性质
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B=
A∪B=
A∩A=
A∪A=
A∩∅=
A∪∅=
A⊆B⇔A∩B=
A⊆B⇔A∪B=
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的,那么就称这个集合为全集,通常记作.
5.补集
文字语言
对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作
符号语言
∁=
图形语言
典例精讲
题型一判断能否构成集合
1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是。
题型二验证元素是否是集合的元素
1、已知集合
.
求证:
(1)3
A;
(2)偶数42(
)不属于A.
2、集合A是由形如
的数构成的,判断
是不是集合A中的元素.
题型三求集合
1.方程组的解集是( )
B.{x,=3且y=-7}
C.{3,-7}D.{(x,y)=3且y=-7}
2.下列六种表示法:
①{x=-1,y=2};②{(x,y)=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};
⑥{(x,y)=-1或y=2}.
能表示方程组的解集的是( )
A.①②③④⑤⑥B.②③④⑤
C.②⑤D.②⑤⑥
3.数集A满足条件:
若a∈A,则∈A(a≠1).若∈A,求集合中的其他元素.
4.已知x,y,z为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是M,用列举法表示集合M为。
题型四利用集合中元素的性质求参数
1.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△的三边长,那么△一定不是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=.
3.已知P={2<x<k,x∈N,k∈R},若集合P中恰有3个元素,则实数k的取值范围是.
4.已知集合A={2-3x+2=0}.
(1)若A是单元素集合,求集合A;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
5.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m的值为( )
A.2B.3
C.0或3D.0或2或3
6.(2016·浙江镇海检测)已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=.
题型五判断集合间的关系
1、设
,则M与N的关系正确的是()
A.B.
C.
D.以上都不对
2.判断下列集合间的关系:
(1)A={-3>2},B={2x-5≥0};
(2)A={x∈-1≤x<3},B={=,y∈A}.
3.已知集合M={=m+,m∈Z},N={=-,n∈Z},P={=+,p∈Z},试确定M,N,P之间的关系.
题型六求子集个数
1.已知集合A={2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值构成的集合为.
题型七利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B⊆A,则m=.
2.已知集合A={1,2},B={-2=0},若B⊆A,则a的值不可能是( )
A.0B.1
C.2D.3
3.设集合A={-2≤x≤5},B={+1≤x≤2m-1}.
(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈Z时,求A的非空真子集个数;
(3)当x∈R时,不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围.
题型八集合间的基本运算
1.下面四个结论:
①若a∈(A∪B),则a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若a∈A,且a∈B,则a∈(A∩B);④若A∪B=A,则A∩B=B.其中正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
2.已知集合M={-3
A.{>-3}B.{-3 C.{3 3.已知集合A={2,-3},集合B满足B∩A=B,那么符合条件的集合B的个数是( ) A.1B.2 C.3D.4 4.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合S={(x-2)(x-3)≥0},T={>0},则S∩T=( ) A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞) 5.下列关系式中,正确的个数为( ) ①(M∩N)⊆N;②(M∩N)⊆(M∪N); ③(M∪N)⊆N;④若M⊆N,则M∩N=M. A.4B.3 C.2D.1 6.设U={0,1,2,3},A={x∈2+=0},若∁={1,2},则实数m=. 7.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U={≤4},集合A={-2 8.设全集U={1,2,3,4,5},集合S与T都是U的子集,满足S∩T={2},(∁)∩T={4},(∁)∩(∁)={1,5}则有( ) A.3∈S,3∈TB.3∈S,3∈∁ C.3∈∁,3∈TD.3∈∁,3∈∁ 题型九根据集合运算的结果求参数 1.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=. 2.已知集合A={-1≤x<3},B={2x-4≥x-2}. (1)求A∩B; (2)若集合C={2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围. 3.设A={2+8x=0},B={2+2(a+2)x+a2-4=0},其中a∈R.如果A∩B=B,求实数a的取值范围. 4.已知集合A={2++12b=0}和B={2-+b=0},满足(∁)∩B={2},A∩(∁)={4},U=R,求实数a,b的值. 5.U={1,2},A={2++q=0},∁={1},则p+q=. 4.设全集U=R,集合A={≤1或x≥3},集合B={<x<k+1,k<2},且B∩(∁)≠∅,则( ) A.k<0B.k<2 C.0<k<2D.-1<k<2 6.已知集合A={2-+a2-19=0},B={2-5x+6=0},C={2+2x-8=0},试探求a取何实数时,(A∩B) ∅与A∩C=∅同时成立. 题型十交集、并集、补集思想的应用 1.若三个方程x2+4-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2-2a=0至少有一个方程有实数解,试求实数a的取值范围. 题型十一集合中的新定义问题 1.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含3个元素的可倒数集. 2.集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为( ) A.7B.12 C.32D.64 3.当x∈A时,若x-1∉A,且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M={0,1,3}的孤星集为M′,集合N={0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′=( ) A.{0,1,3,4}B.{1,4} C.{1,3}D.{0,3} 4.设U为全集,对集合X,Y定义运算“*”,X*Y=∁U(X∩Y),对于任意集合X,Y,Z,则(X*Y)*Z=( ) A.(X∪Y)∩∁B.(X∩Y)∪∁ C.(∁∪∁)∩ZD.(∁∩∁)∪Z 5.设数集M={≤x≤m+},N={-≤x≤n},且M,N都是集合{0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是. 6.设A,B是两个非空集合,定义A与B的差集A-B={∈A,且x∉B}. (1)试举出两个数集,求它们的差集; (2)差集A-B与B-A是否一定相等? 说明理由; (3)已知A={>4},B={-6 知识点一 函数的有关概念 知识点二 两个函数相等的条件 1.定义域. 2.完全一致. 知识点三 区间的概念及表示 1.一般区间的表示 设a,b∈R,且a 定义 名称 符号 数轴表示 {≤x≤b} 闭区间 { 开区间 {≤x 半开半闭区间 { 半开半闭区间 2.特殊区间的表示 定义 R {≥a} {>a} {≤a} { 符号 (-∞,+∞) a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 知识点四 函数的表示方法 函数的三种表示法: 解析法、图象法、列表法. 知识点五 分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的,那么称这样的函数为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的,值域是各段值域的. 知识点六 映射的概念 设A,B是两个,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f: A→B为从集合A到集合B的一个映射. 知识点七 函数的单调性 1.增函数、减函数: 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 2.函数的单调性: 若函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间. 3.单调性的常见结论: 若函数f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则为减(增)函数. 知识点八 函数的最大值、最小值 最值 类别 最大值 最小值 条件 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有 (2)存在x0∈I,使得 (1)对于任意的x∈I,都有 (2)存在x0∈I,使得 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 性质: 定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 结论 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 2.性质 (1)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. (2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反. (3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 例1 (2016年10月学考)函数f(x)=(x-3)的定义域为( ) A.{>-3}B.{>0} C.{>3}D.{≥3} 例2 (2016年4月学考)下列图象中,不可能成为函数y=f(x)图象的是( ) 例3 已知函数f(x)=则f(f(3))=,f(x)的单调递减区间是. 例4 (2015年10月学考)已知函数f(x)=,g(x)=+1,其中a>0,若f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,则a的取值范围是. 例5 已知函数f(x)=满足对任意的x1 例6 (2016年4月学考改编)已知函数f(x)=-. (1)设g(x)=f(x+2),判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由; (2)求证: 函数f(x)在2,3)上是增函数. 例7 (2015年10月学考)已知函数f(x)=++,a∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当a<2时,证明: 函数f(x)在(0,1)上单调递减. 例8 (2016年10月学考)设函数f(x)=的定义域为D,其中a<1. (1)当a=-3时,写出函数f(x)的单调区间(不要求证明); (2)若对于任意的x∈0,2]∩D,均有f(x)≥2成立,求实数k的取值范围. 一、选择题 1.函数f(x)=+的定义域为( ) A.(-3,0]B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1] 2.下列四组函数中,表示同一个函数的是( ) A.y=与y= B.y=()2与y= C.y=·与y= D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 3.若函数y=f(x)的定义域为M={-2≤x≤2},值域为N={0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( ) 4.已知f(x)是一次函数,且(x)]=x+2,则f(x)等于( ) A.x+1B.2x-1 C.-x+1D.x+1或-x-1 5.设集合A={0≤x≤6},B={0≤y≤2},从A到B的对应法则f不是映射的是( ) A.f: x→y=xB.f: x→y=x C.f: x→y=xD.f: x→y=x 6.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g (1)=2,f (1)+g(-1)=4,则g (1)等于( ) A.4B.3C.2D.1 7.若函数y=+1在1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值为( ) A.2B.-2C.2或-2D.0 8.偶函数f(x)(x∈R)满足: f(4)=f (1)=0,且在区间0,3]与3,+∞)上分别递减和递增,则不等式x·f(x)<0的解集为( ) A.(-∞,-4)∪(4,+∞) B.(-∞,-4)∪(-1,0) C.(-4,-1)∪(1,4) D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4) 二、填空题 9.已知函数f(x)=若f(a)=a,则实数a=. 10.设f(x)=2++2是定义在1+a,1]上的偶函数,则f(x)>0的解集为. 11.若关于x的不等式x2-4x-a≥0在1,3]上恒成立,则实数a的取值范围为. 三、解答题 12.已知函数f(x)=的图象经过点(1,3),并且g(x)=(x)是偶函数. (1)求函数中a、b的值; (2)判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明. 13.已知二次函数f(x)=2-2+2+b在区间2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求f(x)的解析式; (2)若b>1,g(x)=f(x)+在2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围. 答案精析 知识条目排查 知识点一 1.确定的不同的 全体 2.每个对象 知识点二 1.属于 ∈ 2.不属于 ∉ 知识点三 1.确定性 互异性 无序性 2. (1)有限个 (2)无限个 3.正整数集 有理数集 知识点四 1.一一列举出来 2.共同特征 知识点五 1.任意一个 A⊆B B⊇A x∈B x∉A AB BA 2. (1)任何集合 ∅⊆A (2)A⊆A (3)A⊆C (4)AC 3.集合B是集合A的子集(B⊆A) 4.如果A=B,则A⊆B,且B⊆A 知识点六 1.属于集合A且属于集合B的所有元素 {∈A,且x∈B} 2.所有属于集合A或属于集合B的元素 {∈A,或x∈B} 3.B∩A B∪A A A ∅ A A B 4.所有元素 U 5.不属于集合A ∁ {∈U,且x∉A} 题型分类示例 例1 D 例2 A ∵A=B,∴2∈B,则a=2.] 例3 {4} 解析 ∵全集U={2,3,4},集合A={2,3},∴∁={4}. 例4 A ∵A∩B=A,∴A⊆B. ∵A={1,2},B={1,m,3}, ∴m=2,故选A.] 例5 B 由B中不等式变形得 (x-2)(x+4)>0, 解得x<-4或x>2, 即B=(-∞,-4)∪(2,+∞). ∵A=-2,3], ∴A∪B=(-∞,-4)∪-2,+∞). 故选B.] 例6 C 图中的阴影部分是M∩P的子集, 不属于集合S,属于集合S的补集,即是∁的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁,故选C.] 例7 A A={1≤3x≤81} ={0≤x≤4}, B={2(x2-x)>1}={2-x>2} ={<-1或x>2}, ∴A∩B={2 考点专项训练 1.B ∵集合A={1≤x≤5},Z为整数集, 则集合A∩Z={1,2,3,4,5}. ∴集合A∩Z中元素的个数是5, 故选B.] 2.C 由x2-5x+6≥0,解得x≥3或x≤2. 又集合A={-1≤x≤1},∴A⊆B, 故选C.] 3.D 4 5.A ∁={2,4,5,7},A∩(∁)={3,4,5}∩{2,4,5,7}={4,5},故选A.] 6.A 因为全集U={-1,1,3}, 集合A={a+2,a2+2},且∁={-1}, 所以1,3是集合A中的元素, 所以或 由得a=-1. 由得a无解, 所以a=-1,故选A.] 7.D A={2-8x+15=0}={3,5}, ∵B⊆A,∴B=∅或{3}或{5}, 若B=∅时,a=0; 若B={3},则a=; 若B={5},则a=. 故a=或或0,故选D.] 8.D ∵集合A={2≥16}={≤-4或x≥4}, B={m},且A∪B=A,∴B⊆A, ∴m≤-4或m≥4, ∴实数m的取值范围是 (-∞,-4]∪4,+∞),故选D.] 9.{1,2} 10.0 1 解析 A={1,a},∵x(x-a)(x-b)=0, 解得x=0或a或b, 若A=B,则a=0,b=1. 11.4 解析 全集U={x∈-2≤x≤4}={-2,-1,0,1,2,3,4},A={-1,0,1,2,3},∁={-2,4}, ∵B⊆∁,则集合B=∅,{-2},{4},{-2,4}, 因此满足条件的集合B的个数是4. 12.1,+∞) 解析 由x2-x<0,解得0 ∴A=(0,1). ∵B=(0,a)(a>0),A⊆B, ∴a≥1. 13.3,+∞) 解析 由-2|0), ∴A=(2-a,2+a)(a>0). 由x2-2x-3<0,解得-1 B=(-1,3). ∵B⊆A,则解得a≥3. 答案精析 知识条目排查 知识点一 非空数集 唯一确定 从集合A到集合B {f(x)∈A} 知识点二 1.相同 2.对应关系 知识点三 1.a,b] (a,b) a,b) (a,b] 知识点五 对应关系 并集 并集 知识点六 非空的集合 任意一个元素x 唯一 知识点八 f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 题型分类示例 例1 C 例2 A 当x=0时,有两个y值对应,故A不可能是函数y=f(x)的图象.] 例3 5 -1,+∞) 解析 f(3)=3=-1, ∴f(f(3))=f(-1)=-1+2+4=5, 当x≤1时,f(x)=-x2-2x+4 =-(x+1)2+5, 对称轴x=-1, f(x)在-1,1]上递减,当x>1时,f(x)递减, ∴f(x)在-1,+∞)上递减. 例4 (0,1) 解析 由题意得f(x)=在平面直角坐标系内分别画出01时,函数f(x),g(x)的图象, 由图易得当f(x),g(x)的图象有两个交点时,
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