《相似三角形的性质优秀获奖教案.docx
- 文档编号:6375159
- 上传时间:2023-01-05
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:108.07KB
《相似三角形的性质优秀获奖教案.docx
《《相似三角形的性质优秀获奖教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《《相似三角形的性质优秀获奖教案.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
《相似三角形的性质优秀获奖教案
按照新课程标准要求,学科核心素养作为现代教育体系的核心理论,提高学生的兴趣、学习的主动性,是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月,教育部发布文件,对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出,作为一线教师,教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环,对核心素养进行了贯彻,将课堂环节设计进行了细致剖析,力求达到学生乐学,教师乐教的理想状态。
相似三角形的性质
教学目标
【知识与技能】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.
【过程与方法】
对性质定理的探究,学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.
【情感态度】
在学习和探讨的过程中,体验从特殊到一般的认知规律.
【教学重点】
相似三角形性质的应用.
【教学难点】
相似三角形性质的应用.
教学过程
一、情景导入,初步认知
1.什么叫相似三角形?
相似比指的是什么?
2.全等三角形是相似三角形吗?
全等三角形的相似比是多少?
3.相似三角形的判定方法有哪些?
【教学说明】复习相关知识,为本节课的学习做准备.
二、思考探究,获取新知
1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质?
【归纳结论】相似三角形的基本性质:
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
2.如图,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中,AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么,AD和A′D′之间有什么关系?
证明:
∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∠B=∠B′,
又∵AD⊥BC,A′D′⊥B′C′,
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,
∴△ABD∽△A′B′D′,
∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
你能得到什么结论?
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.
3.如图,△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形,相似比为k,求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.
解:
∵△A′B′C′∽△ABC,
∴∠B′=∠B,∠A′B′C′=∠ABC,
∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线,
∴∠B′A′D′=∠BAD,
∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)
∴
=k
根据上面的探究,你能得到什么结论?
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
4.在上图中,如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线,那么,AD和A′D′之间有什么关系?
你能证明你的结论吗?
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
5.如图△ABC∽△A′B′C′,ABA′B′=k,AD、A′D′为高线.
(1)这两个相似三角形周长比为多少?
(2)这两个相似三角形面积比为多少?
分析:
(1)由于△ABC∽△A′B′C′,
所以AB︰A′B′=BC︰B′C′=AC︰A′C′=k.
由并比的性质可知,
(AB+BC+AC)︰(A′B′+B′C′+A′C′)=k.
(2)由题意可知,
因为△ABD∽△A′B′D′,
所以AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.
因此可得,
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
=(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)
=k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
【教学说明】通过这两个问题,引导学生通过合情推理,得出结论.学生可以通过合作交流,找出解决问题的方法.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P86例9、P88例11、例12.
2.已知△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,且
=
,B′D′=4,则BD的长为____.
分析:
因为△ABC∽△A′B′C′,BD和B′D′是它们的对应中线,根据对应中线的比等于相似比,
【答案】6
3.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为()
A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6
分析:
根据相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方可得周长为8,面积为3,所以选A.
【答案】A
4.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′=1∶2,则AB∶A′B′=_____.
分析:
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′=1∶
.
【答案】1∶
5.把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的
,那么边长应缩小到原来的_____.
分析:
根据面积比等于相似比的平方可得相似比为
,所以边长应缩小到原来的
.
【答案】
6.如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
(1)则图中有几对相似三角形;
(2)若AD=9cm,CD=6cm,求BD;
(3)若AB=25cm,BC=15cm,求BD.
解:
(1)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,
同理可知,△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
7.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:
△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.
(1)证明:
∵在梯形ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,
∴△CDF∽△BGF.
(2)由
(1)知△CDF∽△BGF,
又F是BC的中点,∴BF=FC,
∴△CDF≌△BGF,
∴DF=FG,CD=BG.
又∵EF∥CD,AB∥CD,
∴EF∥AG,得2EF=AB+BG.
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2,
∴CD=BG=2cm.
8.已知△ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的△A′B′C′的最大边长为26,求△A′B′C′的面积S.
分析:
由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形,又因为△ABC∽△A′B′C′,所以△A′B′C′也是直角三角形,那么由△A′B′C′的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出△A′B′C′的两条直角边长,再求得△A′B′C′的面积.
解:
设△ABC的三边依次为:
BC=5,AC=12,AB=13,
∵AB2=BC2+AC2,
∴∠C=90°.
又∵△ABC∽△A′B′C′,
∴∠C′=∠C=90°.
又BC=5,AC=12,
∴B′C′=10,A′C′=24.
∴S=
A′C′×B′C′=
×24×10=120.
(2)已知:
两相似三角形对应高的比为3∶10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.
分析:
(1)用同一个字母k表示出x,y,z.再根据已知条件列方程求得k的值,从而进行求解;
(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比,求得周长比,再根据周长差进行求解.
【教学说明】通过例题的拓展延伸,体会类比的数学思想,培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯,提高分析问题和解决问题的能力.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题3.4”中第6、7、9题.
教学反思
本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理,并进行初步运用,让学生经历相似三角形性质探索的过程,提高数学思考、分析和探究活动的能力,体会相似三角形中的变量与不变量,体会其中蕴涵的数学思想.[教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好的结合;在遇到问题时,多数学生不愿意自己探索,都要寻求帮助。
在今后的教学中,我会不断的钻研探索,使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动,主要是让学生通过观察、动手操作,熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折
叠后的形状。
教学时,我让每个学生带长方体或正方体的纸盒
,每个学生都剪一剪,并展示所剪图形的形状。
由于剪的方法不同,展开图的形状也可能是不同的。
学生在剪、拆盒子过程中,很容易把盒子拆散了,无法形成完整的展开图,就要求适当进行指导。
通过动手操作,动脑思考,集体交流,不仅提高了学生的空间思维能力,而且在情感上每位学生
都获得了成功的体验,建立自信心。
一元二次方程根的判别式
教学目标
【知识与技能】
能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【过程与方法】
经历思考、探究过程,发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
【情感态度】
积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲.
【教学重点】
能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教学过程
一、情景导入,初步认知
同学们,我们已经学会了怎么解一元二次方程,对吗?
那么,现在老师这儿还有一手绝活,就是:
我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的根的大致情况,不信呀!
同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.
二、思考探究,获取新知
1.问题:
什么是求根公式?
它有什么作用?
2.观察求根公式
回答下列问题:
(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?
(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?
(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?
3.综上所知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由b2-4ac来判断的.
【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“Δ”表示.即:
Δ=b2-4ac
⑴当Δ=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即
,
.
⑵当Δ=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根.
⑶当Δ=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
4.不解方程判定下列方程的根的情况.
(1)3x2+4x-3=0
(2)4x2=12x-9
(3)7y=5(y2+1)
解:
(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3)
=52>0
所以,原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化为一般形式,得
4x2-12x+9=0
因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以,原方程有两个相等的实数根.
(3)将原方程化为一般形式,得
5y2-7y+5=0
因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5
=-51<0
所以,原方程没有实数根.
【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识,真正体验自己发现结论的成功乐趣.
三、运用新知,深化理解
1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根,则p与q的关系是.
【答案】p2-4q=0
2.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3,则p,q的值分别为.
【答案】-1,-6
3.判断下列方程是否有解:
(1)5x2-2=6x
(2)3x2+2x+1=0
解析:
演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根
解:
(1)有
(2)没有
4.不解方程,判定方程根的情况.
(1)16x2+8x=-3
(2)9x2+6x+1=0
(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0
分析:
不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.
解:
(1)化为16x2+8x+3=0
这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以,方程没有实数根.
(2)a=9,b=6,c=1,
b2-4ac=36-36=0,
∴方程有两个相等的实数根.
(3)a=2,b=-9,c=8
b2-4ac=(-9)2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根.
(4)a=1,b=-7,c=-18
b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0
∴方程有两个不相等的实根.
5.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).
分析:
要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.
解:
∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a
∴所求不等式的解集为x<-3/a
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时,求方程的根.
分析:
(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可判断:
当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.
(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可.
解:
(1)∵当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根.
(2)当m=-3时,原方程变为x2+2x-3=0,
∵(x-1)(x+3)=0,∴x-1=0,x+3=0.
∴x1=1,x2=-3.
7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.
(1)求q关于p的关系式;
(2)求证:
抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.
分析:
(1)根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式;
(2)由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.
解:
(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2,
∴4+2p+q+1=0,
即q=-2p-5;
(2)证明:
令x2+px+q=0.则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4>0,即Δ>0,
所以,关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.
【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:
教材“习题2.3”中第1、2、3题.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 相似 三角形 性质 优秀 获奖 教案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)