完整版勾股定理知识点对应类型.docx
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完整版勾股定理知识点对应类型
第二章
勾股定理、平方根专题
第一节勾股定理
」、勾股定理:
1、勾股定理定义:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为C,那么
勾:
直角三角形较短的直角边
股:
直角三角形较长的直角边
弦:
斜边
三角形。
(经典直角三角形:
勾三、股四、弦五)
其他方法:
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为C);
(2)若c2=32+匕2,则^ABC是以/C为直角的三角形;
c为最大边);
c为最大边)
若a2+b2vC2,则此三角形为钝角三角形(其中
若a2+b2>C2,则此三角形为锐角三角形(其中
4.注意:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
,那么它所对的直角边等于斜边的
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30
一半。
(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角
等于30°。
5.勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理,作出长为jn的线段
二、平方根:
(11——19的平方)
1、平方根定义:
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。
(也称为二次方
2
根),也就是说如果x=a,那么x就叫做a的平方根。
2、平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
记作”,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“一Ja”,“±”。
(a叫被开方数,“J—”是二次根号,这里“『”,
Oja2
一个数的两个平方根之和为
三、立方根:
(1――9的立方)
a,那么这个数就叫做a的立方根。
(也称为二次
1、立方根的定义:
如果一个数的立方等于
方根),也就是说如果
x'=a,那么x就叫做a的立方根。
记作"Va”。
2、立方根的性质:
1
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,
任何数都有立方根,并且只有一个立方根,0的立方根是0.
2互为相反数的数的立方根也互为相反数,即=Va
③(需)3Va3a
3、开立方:
求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1,0,-1。
5、平方根和立方根的区别:
(1)被开方数的取值范围不同:
在Va中,a0,在7a中,a可以为任意数值。
而它有一个立方根。
(2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,6、立方根和平方根:
不同点:
即被开方数的取值范围
(1)任何数都有立方根,正数和0有平方根,负数没有平方根;
不同:
±Va中的被开方数a是非负数;Va中的被开方数可以是任何数
(2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根;
(3)立方根等于本身的数有0、1、一1,平方根等于本身的数只有0.共同点:
0的立方根和平方根都是0.
四、实数:
因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
1、定义:
有理数和无理数统称为实数无理数:
无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数,口)有理数:
有限小数或无限循环小数注意:
分数都是有理数,
2、实数的分类:
正有理数
实数
负有理数
实数*
无理数(无限不循环小数)
实数的性质:
①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。
2实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。
3两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。
4实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数:
由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到
精确的数,用以描述所研究的量,这样的数就叫近似数。
取近似值的方法一一四舍五入法
4、有效数字:
对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法:
把一个数记为a10n(其中1a10,n是整数)的形式,就叫做科学记数法。
6、实数和数轴:
每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。
实
数与数轴上的点是一一对应的。
勾股定理:
(一
J结合三角形:
2
1.已知ABC的三边a、b、c满足(ab)
2
(bc)0,则ABC为
三角形
2.在
ABC中,若a2=(b+c)(b-c),则
ABC是三角形,且
90
3.在
ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,
则BC的长为
1.已知
x12
xy25与z210z25互为相反数,试判断以x、y、
z为三边的三
角形的形状。
2
c=n1(n>1)
2.已知:
在ABC中,三条边长分别为a、b、c,a=n21,b=2n,
试说明:
C=90。
22
3.若ABC的三边a、b、c满足条件ab
2
C33810a24b26c,试判断
ABC
的形状。
4.已知Ja62|b8(c10)20,则以
a、b、c为边的三角形是
(二八实际应用:
1.梯子滑动问题:
(1)一架长2.5m的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底梯子的顶端沿墙下滑
(2)如图,一个长为如果梯子的顶端下滑于”,或“小于”)
(3)如图,梯子AB
0.7m(如图)
0.4m,那么梯子底端将向左滑动米
10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为1米,那么,梯子底端的滑动距离
,如果
8米,
1米,(填“大于”,“等
斜靠在墙面上,AC丄BC,AC=BC,当梯子的顶端A沿AC方向下滑)
D.不能确定
1m,
米
x米时,梯足B沿CB方向滑动y米,则x与y的大小关系是(
A.xyB.xyC.xy
(4)小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多的下端拉开5米后,发现绳子下端刚好触到地面,试问旗杆的高度为
当他把绳子
2.直角边与斜边和斜边上的高的关系:
直角三角形两直角边长为
A.abb2
B.a2
a,b,斜边上的高为
1
C.-
a
b22h2
h,
1
b
则下列式子总能成立的是
1
h
变:
如图,
求证:
在Rt△ABC中,
11
(1)——
ab
(2)abc
(3)以ab,
/ACB=90
,CD丄AB于D,设AB=c,AC=b,
丄
h
h,ch为三边的三角形是直角三角形
BC=a,CD=ho
试一试:
(1)
只需证明
h2」
a
1,从左边推到到右边
h2
,注意面积关系abch的应用
3.爬行距离最短冋题:
1.如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为
10cm,得到Ci处有一只昆虫甲,在盒子的内部有
一只昆虫乙(盒壁的忽略不计)
(1)假设昆虫甲在顶点C1处静止不动,如图a,在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E,
(2)如图b,假设昆虫甲从点C1以
昆虫甲,仔细体会其中的道理,并在图同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。
1厘米/秒的速度在盒子的内部沿CjC向下爬行,同时
昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲?
试一试:
对于
(2),当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时,昆虫乙可以沿不同
的路径爬行,禾U用勾股定理建立时间方程,通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间
3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离
是O
4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,/B=60。
,则江面的宽度为
(三)求边长:
(五)方向问题:
1.有一次,小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行,在A点望湖中小岛M,测得/MAN=30°,当他到B点时,测得/MBN=45°,AB=100米,你能算出AM的长吗?
8km,接着,它又掉头向正东方向航行15千
2.—轮船在大海中航行,它先向正北方向航行
米.
⑴此时轮船离开出发点多少km?
⑵若轮船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此过程中轮船共耗油多少升
(六)利用三角形面积相等:
1.如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到,可得△ABC,则边AC上的高为(
D.纟75
5
(七)旋转问题:
2.如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,将ABH绕点A逆时针旋转到AC
处,若AH=3cm,试求出H、H两点之间的距离。
3.如图所示,P为正方形ABCD内一点,将ABP绕B顺时针旋转90至UCBE的位置,BP=a,求:
以PE为边长的正方形的面积
上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C
D、E。
当三角板绕点C旋转到CD与0A垂直时,如图①,易证:
0D0EJ20C;当三角板绕点C旋转到CD与0A不垂直时,如图②、③这两种情况下,上述结论还是否成立?
若成立,请给与证明;若不成立,线段0E、0C、0D之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,不需证明。
试一试:
对于第1问,0D=CE,问题的实质是20E20C2,0E—0C,对于第二
2
4.如图所示,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线
AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
5.如图,/B=90°,AB=BC=4,AD=2,CD=6
(1)△ACD是什么三角形?
为什么?
(2)把^ACD沿直线AC向下翻折,CD交AB于点E,若重叠部分面积为4,求D'E的长。
、平方根:
(一)文字类题目:
一个数的平方等于它本身,这个数是_
一个数的平方根等于它本身,这个数是一个数的算术平方根等于它本身,这个数是一个数的立方根等于它本身,这个数是一个正数的两个平方根的和是
一个正数的两个平方根的商是
(二).定义:
D.V81
A.VsT9
妬的平方根是(
(3)
若3a+1没有算术平方根,则a的取值范围是
若3x-6总有平方根,则x的取值范围是_
1
x的值是
若式子X—丄的平方根只有一个,则
3
x-y=
(4)已知丁X1
若(x3)2
(6)
已知a2
已知x、
代数式
若jm
若vx
■
Vb240,那么a+b=
y满足:
Jx2y3(2x
3Jab的最大值是
10,则m=
3,则x=
下列个数中:
2
3y5)0,那么x-8y的立方根为
,这时a、b之间的关系是
4,贝ym的平方根是
JX23,则x=
1002,0,6眺,J2
56没有平方根的有
2.已知△ABC的三边分别是a、b、c,且满足
Ja1b24b40,求c的取值范围。
已知a、b为实数,且72a6b逅
0,解关于x的方程:
(a+2)x+b2=a-1。
2I
已知4a-49=0,求寸3910a的值。
3.列方程求值:
2
(1)X=196;
2
(2)5x-10=0;
2
(3)36(X-3)-25=0
4.
(1)已知一个正数的平方根是2X-1和3-X,求这个数
5.估算:
(1)比较大小:
(2)、下列计算正确的是(
7.平方根的性质:
(0.01
;V52
;7162
二、立方根
1.定义:
(1)如果a是x的立方根,那么下列说法正确的是()
A.-a也是x的立方根B.方是-X的立方根
(2)下列各式:
①丁9
3;
②迈0010.1;③^"OTi0.1;
④3©80.2,其中错
误的有
2.根据定义求值:
(1)求值:
(2)
(2)方程:
x3
125
216
3.估算:
(1)
A.
估计68的立方根大小在
2与3之间
)
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
通过估算幼420的整数部分为(
A.6
B.7
C.8
D.9
(3)3/100估算到个位=
(1)
若2x+1的平方根是
5,
那么5x+4的立方根是
(2)
已知jx8,求4
1-x
的值。
V
8
(3)
已知m满足2m1
3,
k、n满足k32
3
z三、
实数:
4.平方根与立方根相结合:
J917n0,求Vm23n的值
1.实数的定义:
1.判断下列说法是否正确,为什么?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
无限小数是无理数;有理数都是是有限小数;无理数都是无限小数;带根号的数都是无理数任何实数的偶次幕都是正实数;
(6)
在实数范围内,若
(7)
0是最小的实数;
(8)0是绝对值最小的实数;
(9)数轴上的点与有理数是对应的
(10)数轴上的点与实数是—对应的
2.下列说法正确的是
B.有理数是有限小数
D.带根号的数都是无理数
A.不存在最小的实数
C.无限小数都是无理数
3.下列说法正确的是(
B.不循环小数是无理数
D.两个无理数的和还是无理数
A.无限小数是无理数
C.无理数的相反数还是无理数
4.把下列各数填入相应的集合内:
3.14,1732,
0,0.3「8,聶,HF,
(1)
(2)
(3)
(4)
3'3『
3—、V
2
有理数集合
无理数集合正实数集合负实数集合
8、0、
—、0.5、3.14159、-0.0200200020.12121121112
3
{
{
{
{
}
}
}
}
2.有效数字、科学记数法、近似数:
注意:
2000有4个有效数字,精确到个位
2103有1个有效数字,精确到千位
1.有几个有效数字,保留几个有效数字:
用四舍五入法,按要求取近似值:
.
1地球上七大洲的面积约为149480000(保留2个有效数字)
225.8万(保留2个有效数字)
3小明身高1.595m(保留3个有效数字)
40.0608,0.060800
2.精确到哪一位:
由四舍五入法得到的近似数,分别精确到哪一位?
各有几个有效数字?
1小明身高1.59m;
2地球的半径约为6.4>103;
3组成云的小水滴很小,最大的直径约为0.2mm;
4某种电子显微镜的分辨率为1.4>0-8;
570万
69.03万
71.8亿
⑧6.40105
⑨0.090080
3.精确到0.1,0.01等:
1
1)是
0.1)是_
0.01)是
精确到个位(或精确到
n精确到十分位(或精确到n精确到百分位(或精确到
n精确到千分位(或精确到0.001)是
小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,按下列要求取近似数,
①精确到0.01kg;②精确到0.1kg;
2某人一天饮水1890ml(精确到1000ml)
3的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm(精确到
4.科学记数法:
(1)用科学记数法表示91800000,
A、918X10B、91.8X10
(2)一个数用科学记数法记为
一个数用科学记数法记为
并指出每个近似数的有效数:
③精确到1kg.
0.00001)
正确的是()
C、9.18X105
104,这个数原来怎么记?
它是几位整数?
D、9.18X107
6.09X104,这个数原来怎么记?
它是几位整数?
4
6.00009X10,这个数原来怎么记?
它有几位整数?
一个数用科学记数法记为
(3)25.8万(保留2个有效数字)
2347600000(保留3个有效数字)
5.今年全国的消费额为29458.4亿元,小明认为这个数字精确到0.1亿元,而小亮认为这个
数字精确到1000万元,你认为谁的说法对?
为什么?
小亮,数位只存在个、十、百、千、万、十万等,不存在
0.1万之类的
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