七年级数学有关三角形旋转的题.docx
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七年级数学有关三角形旋转的题
一、在四边形ABCD中,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,
1、如图1,顺次连接P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论;
证明时依据的定理或定义有:
(1);
(2)。
2、若在AB上取一点E,连结DE,CE,恰好△ADE和△BCE都是等边三角形(如图2):
①判断此时四边形PQMN的形状为,并说明理由
②当AE=6,EB=3,求此时四边形PQMN的周长(结果保留根号)
3、在图2的基础上,将△BCE绕着点E旋转任意一个角度,在旋转过程中,四边形PQMN的内角∠MNP的大小是否发生变化?
若发生变化,请说明理由;若不发生变化,请直接写出∠MNP的度数。
二、如图①,将两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板叠放在一起,点B在AD上,点C在AE上.
(1)在图①中,你发现线段BD,CE的数量关系是,直线BD,CE相交成度的角.
(2)将图①中的△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到图②,这时
(1)中的两个结论是否成立?
作出判断并说明理由.若△ABC绕点A继续旋转更大的角时,结论仍然成立吗?
作出判断,不必说明理由.
(3)如图③若将“两个有公共直角顶点A的不全等的等腰直角三角板”改为“两个有公共顶角为锐角∠A的不全等等腰三角形”,△ABC绕点A逆时针旋转任意一个角度,这时
(1)中的两个结论仍然成立吗?
作出判断,不必说明理由.
三、(2014山西百校联考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠CAB的角度记为α.
(1)操作与证明:
如图①,点D为边BC上一个动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置,连接CE.求证:
BD=CE;
(2)探究与发现:
如图②,在
(1)中若α=90°,点D变为BC延长线上一动点.可以发现:
①线段BD和CE的数量关系是________;②线段BD和CE的位置关系是________;
(3)思考与判断:
如图③,在
(1)中若α=90°,AB2=BD·BC,判断四边形ADCE的形状,并说明理由.
四、如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是线段OC上一点,过点A作BE的垂线,交线段OB于点G,垂足为点F,
(1)求证:
OG=OE;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,过点A作BE的垂线,交OB的延长线于点G,垂足为点F,求证OG=OE.
(3)如图3,将图1中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,且∠ABC=60度,其余条件不变,试求OG:
OE的值。
五、如图1,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D是CB的中点,将△ACD沿AD折叠后得到△AED,过点B作BF平行AC,交AE的延长线于点F。
1、问线段BF和EF的数量关系?
并说明理由。
2、若将图1中“AC=BC”改成“AC≠BC”,其他条件不变,如图2,那么1中的发现是否仍然成立?
请说明理由。
3、若将图1中“在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°”改为“在△ABC中”,其他条件不变,如图3,那么1中的发现是否仍然成立,请说明理由。
六、两个全等的直角三角板ABC和DEF重叠在一起,∠BAC=∠EDF=30°,AC=DF=2.△ABC固定不动,将△DEF沿AC平移(点D在线段AC上移动).
(1)猜想与证明:
如图①,当点D为AC的中点时,请你猜想四边形BDCE的性状,并证明结论;
(2)思考与验证:
如图②,连接BD,BE,CE,四边形BDCE的形状在不断的变化,它的面积变化吗?
若不变,求出其面积;若变化,请说明理由;
(3)操作与计算:
如图③,当点D为AC的中点时,将点D固定,然后再将△DEF绕点D顺时针旋转60°,若点P为线段AC延长线上一动点,求PE+PF的最小值.
七、(2014•山西模拟)问题情境:
数学活动课上,老师提出了一个问题:
如图①,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为直线AB上的一动点(点D不与点A,B重合)连接CD,以点C为旋转中心,将CD逆时针旋转90°得到CE,连接BE,试探索线段AB,BD,BE之间的数量关系.
小组展示:
“希望”小组展示如下:
解:
线段AB,BD,BE之间的数量关系是AB=BE+BD.证明:
如图①∵∠ACB=90°,∠DCE=90°
∴∠ACB=∠DCE
∴∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB
即∠ACD=∠BCE
∵CE是由CD旋转得到.
∴CE=CD
则在△ACD和△BCE中,
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE
∴△ACD≌△BCE(依据1)
∴AD=BE(依据2)
∵AB=AD+BD
∴AB=BE+BD
反思与交流:
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1:
______
依据2:
______
(2)“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见,认为还有两种情况需要考虑,你根据他们的分类情况直接写出发现的结论:
①如图②,当点D在线段AB的延长线上时,三条点段AB,BD,BE之间的数量关系是______.
②如图③,当点D在线段BA的延长线上时,三条线段AB,BD,BE之间的数量关系是______.
(3)如图④,当点D在线段BA的延长线上时,若CD=4,线段DE的中点为F,连接FB,求FB的长度.
八、如图1,在△ABC和△AEF中,∠BAC=∠EAF=α,AB=AC,AE=AF,点D是BC的中点,点M是EF的中点,连接CE,点N是CE的中点,连接DN,MN.
(1)如图2,将△AEF绕点A旋转,使点E,F分别在边BA,CA的延长线上.
①试探究线段DN与MN的数量关系,并证明你的结论;
②此时,∠DNM与α之间存在等量关系,这个等量关系为_____。
请说明理由.
(2)将△AEF绕点A旋转,使点E落在△ABC内部,如图3,此时,你在
(1)中得到的①、②两个结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
九、如图
(1),点F是正方形ABCD的边AB上一点,以AF为边在正方形的外部作△AEF,使∠AFE=90°,AF=FE,点O是线段CE的中点,连接OB,OF,请探究线段OB,OF的数量关系和位置关系.
小颖的思路:
延长FO交BC于点G,通过构造全等三角形解决.
(1)请按小颖的思路解决图
(1)中的问题:
①证明:
△EOF≌COG;
②直接写出OB,OF的位置关系为______,数量关系为______.
(2)将图
(1)中的△AEF绕点A旋转,使AE落在对角线CA的延长线上,其余条件都不变,请写出此时OB,OF的数量关系和位置关系,并证明;
(3)将图
(2)中的正方形变为菱形,其中∠ABC=60°,将等腰△AEF的顶角变为120°,其余条件都不变,此时线段OB,OF的位置关系为______,
OB
OF
十、如图1,分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN,且AM∥BN,∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C,过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E.
(1)求证:
△ABC是直角三角形;
(2)在图1中,当直线l⊥AM时,线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系?
证明你的猜想;
(3)当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时,在如图2、3两种情况下,
(2)中的三条线段之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
十一、已知在△ABC和△DBE中,AB=AC,DB=DE,且∠BAC=∠BDE=α,点D在△ABC的内部,连接AD、CE,探究AD和CE的数量关系.
为解决这些问题,小明先研究一些特殊情况,最后得出结论。
(1)如图1,若∠BAC=∠BDE=60°,则线段CE与AD之间的数量关系是______;并证明。
(2)如图2,若∠BAC=∠BDE=120°,且点D在线段AB上,则线段CE与AD之间的数量关系是______;
(3)如图3,若∠BAC=∠BDE=α,请你探究线段CE与AD之间的数量关系(用含α的式子表示),并证明你的结论.
十二、问题情境:
将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放,其中∠ACB=90°,CA=CB,∠FDE=90°,O是AB的中点,点D与点O重合,DF⊥AC于点M,DE⊥BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由
探究展示:
小宇同学展示出如下正确的解法:
解:
OM=ON,
证明如下:
连接CO,则CO是AB边上中线,
∵CA=CB,
∴CO是∠ACB的角平分线(依据1)
∵OM⊥AC,ON⊥BC,
∴OM=ON(依据2)反思交流:
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1:
依据2:
(2)你有与小宇不同的思考方法吗?
请写出你的证明过程.
拓展延伸:
(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程.
十三、数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:
数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点C.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:
请解答老师提出的问题.
(2)合作交流:
“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?
请写出解答过程.
(3)提出问题:
老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题.
“爱心”小组提出的问题是:
如图3,将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积.
任务:
①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是________.
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答.
十四、在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,
问题发现:
(1)如图1,若∠ACB=90°,点E是线段AB上的一个动点(点E不与点A、B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转90度,得到线段CF,连接BF,猜想线段CD,BE,BF之间的数量关系,并证明你的结论。
(2)如图2,问题1中,若点E是线段AB延长线上一个动点时,(点E不与点A、B重合),其他条件不变,请直接写出线段CD,BE,BF之间的数量关系,。
拓广探索:
(3)若∠ACB=60°,点E是射线AB上的一个动点,连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转60度,得到线段CF,连接BF,
①如图3,点E是线段AB上的一个动点(点E不与点A、B重合),则线段CD,BE,BF之间的数量关系是
②如图4,若点E是线段AB延长线上一个动点时,(点E不与点A、B重合),则线段CD,BE,BF之间的数量关系是
提出猜想:
若∠ACB=α,CE=k·AB(k为常数),点E是射线AB上的一个动点(点E不与点A、B重合),连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转度α,得到线段CF,连接BF,
请你利用上述条件,根据前面的解答过程提出一个类似的猜想,并在图5中画出图形,表明字母,不必解答。
十五、如图1,在△ABC中,ACB=90°,BAC=60°,点E角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的线段,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF。
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=,求AB,BD的长。
(2)如图1,求证:
HF=EF。
(3)如图2,连接CF,CE,猜想:
△CEF是否是等边三角形?
若是,请证明;若不是,请说明理由。
十六、如图
(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=√2,点D在AC上,点E在BC上,且CD=CE=1,连接DE.
猜想验证:
(1)线段BE与AD的数量关系是,位置关系是.
(2)如图
(2),当△DCE绕点C顺时针旋转一定角度α后,
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由。
(3)将图1中△CDE绕点C顺时针旋转α角度(0°<α≤180°)至△DCE,在旋转过程中,四边形ACED能成为平行四边形吗?
如果能,请写出α的角度,并证明;如果不能,请说明理由
(4)观察发现:
在图2中,连接BE,点F、G、H、I分别为四边形ABED各边的中点,连接FG、GH、HI、IF,在整个旋转过程中,试判断四边形FGHI的形状,并说明理由。
解决问题:
(5)当α=135°时,四边形FGHI的面积是
提出问题:
请结合图2,提出一个数学问题(不必解答)
十七、如图1,正方形ABCD中,点E是线段BC上一点,连接AE,并将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF,连接FC。
设线段FC与直线AB相交于点G,试探究线段CE与BG的数量关系。
操作思考:
1、小颖同学先对这一问题的“特殊”情况进行了分析。
如图2,当点E与点B重合时,她发现如下结论:
①点G是CF的中点;②CE=2BG。
小颖得到的结论中,一定成立的是(填序号)
2、完成“特殊”情形分析后,小颖对这一问题的“一般”情形进行了探究,如图1,当点E在线段BC上(不与点B、C重合时),试判断
(1)中的两个结论是否都成立,并说明理由。
拓展探究:
3、如图3,小明将图1中的正方形ABCD变为矩形,其中AB=1,BC=2,点E不与点B、C重合,其余条件不变,设线段CE的长为x,BC的长为y,请写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围。
十八、如图:
已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E、F分别在A和BC上,∠1=∠2,FG⊥AB
于点G,求证:
△CDE≌△EGF.
(1)阅读理解,完成解答
本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写这道练习题的证明过程;
(2)特殊位置,证明结论
若CE平分∠ACD,其余条件不变,试判断AE与BF的数量关系,并说明理由;
(3)知识迁移,探究发现
如图,已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若点E是DB的中点,点F在直线CB上且满足EC=EF,请直接写出AE与BF的数量关系.
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