厦门理工学院线性代数练习答案.docx
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厦门理工学院线性代数练习答案
线性代数练习题第一章行列式
系专业班姓名学号
§1.1行列式的定义
一.选择题
125
1.若行列式132=0,则x[C]
25x
(A)2
(B)2
(C)3
(D)
x1
2x2
3
2.线性方程组
7x2
,则方程组的解(x1,x2)=
3x1
4
(A)(13,5)
(B)(13,5)
(C)(13,5)
(D)(
1xx2
3
[C]
13,5)
3.方程
1
2
40根的个数是
[
C
]
1
3
9
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
4.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“
+”的有
[
AD
]
(A)a15a23a32a44a51a66
(B)a11a26a32a44a53a65
(C)a21a53a16a42a65a34
(D)a51a32a13a44a65a26
5.若(
1)(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式
aij的一项,则k,l的值及该项的符号为
[
B
]
(A)k
2,l
3,符号为正;
(B)
(C)k
3,l
2,该项为零;
(D)
k2,l3,符号为负;
k3,l2,符号为负
6.下列n(n>2)阶行列式的值必为零的是[B]
(A)行列式主对角线上的元素全为零(B)上三角行列式主对角线上有一个元素为零
(C)行列式零的元素的个数多于n个(D)行列式非零元素的个数小于等于n个
二、填空题
1.行列式
k
1
2
0的充分必要条件是
k
3且k
1
2
k
1
2.排列36715284的逆序数是13
3.若aa
23
a
a
a
54
为五阶行列式带正号的一项,则
i=
2
j=1
1i
354j
1
4.在六阶行列式aij中,a23a14a46a51a35a62应取的符号为
负号
。
三、计算下列行列式:
1
2
3
1.3
1
2=18
2
3
1
1
1
1
2.3
1
4=5
8
9
5
x
y
x
y
3.
y
xy
x
=2(x3
y3)
x
y
x
y
0
0
1
0
0
1
0
0
4.
0
0
=1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
5.
=
(1)n1n!
0
0
0
n1
n
0
0
0
a11
a1,n1
a1n
(
1)(n,n1,
1)a1na2,n1
an1
a21
a2,n1
0
6.
=
n(n1)
an1
0
0
(1)2
a1na2,n1
an1
2
线性代数练习题
第一章
行
列
式
系
专业
班
姓名
学号
§1.2-1.3
行列式的性质与计算
一、选择题:
a11
a12
a13
a11
2a31
5a21
3a21
1.如果D
a21
a22
a23
3,D1
a12
2a32
5a22
3a22,则D1
[
B
]
a31
a32
a33
a13
2a33
5a23
3a23
(A)18
(B)18
(C)9
(D)27
a2
(a
1)2
(a
2)2
(a
3)2
b2
(b
1)2
(b
2)2
(b
3)2
=
[
C
]
2.
(c
1)
(c
2)2
(c
3)2
c2
2
d2
(d
1)2
(d
2)2
(d
3)2
(A)8
(B)2
(C)0
(D)6
二、填空题:
1
1
1
0
2
1
4
1
1.行列式
1
1
0
1
3
3
1
2
1
0
1
0
1
1
行列式
1
2
3
=
2
0
1
1
1
5
0
6
2
3
0
4
2.
行列式
5
0
3
中元素3的代数余子式是
6
2
2
1
3
1
5
3.
设行列式D
0
2
6,则第三行各代数余子式之和的值为
8
。
5
7
2
1
5
7
8
4.
设行列式D
1
1
1
1
,设M4j
A4j是元素a4
j的余子式和代数余子式,
2
0
3
6
1
2
3
4
则A41
A42
A43
A44=
0
,M41
M42
M43
M44=
66
3
三、计算下列行列式:
1
1
1
x1
1
1
x1
1
1.计算行列式
x1
1
1
1
x1
1
1
1
r2
r1
1
11x1
1
11
x
1
x
r3
r1
1
r4
r1
0
0
x
xc4c10
0
x
x
x
xx4
解:
原式
x0
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
x0
0
x
x
0
0
x
0
x
a
a
2.计算n阶行列式
a
x
a
a
a
x
解:
(n
1)a
x
a
a
1
a
a
r1
r2
x
a
0
c1c2cn(n1)axx
0
arnr1
0
xa
0
原式
(n1)ax0
(n
1)a
x
a
x
0
0
0
xa
(n1)ax(xa)n1
4
1
a1
1
1
3.计算n阶行列式
1
1a2
1
1
1
1
an
1
a1
1
1
1
1
a1
n
a11
1
1
ai
r2
r1
a1
a2
0
0c1
a1
ci
i
2
ai
0
a2
0
0
rn
r1
i
2,3,n
原式
a1
0
a3
0
0
0
a3
0
解:
a1
0
0
an
0
0
0
an
1a1
na1a2a3
an
1
n1a1a2a3
an
i
2ai
i
1
ai
5
线性代数练习题
第二章
矩阵
系
专业
班
姓名
学号
§2.1
矩阵的概念
1.指出下列矩阵属于何种特殊矩阵
2
1
1
3
1
2
2
3
2
1
4
3
4矩阵
;
3
上三角矩阵
;
1
2
2
5
4
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0
4
;
对角矩阵
;
0
1
0
阶单位阵
3
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
9
2
0
下三角矩阵
;
0
0
0
0
0
零矩阵
;
1
3
0
0
0
0
0
2.写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。
x1
2x2
3x3
x4
1
1
2
31
(1)
2x1
x2
x3
4x4
0
系数矩阵:
2
1
1
4
x1
3x2
x3
x4
3
13
1
1
1
2
3
1
1
增广矩阵:
2
1
1
40
1
3
1
1
3
x1
x2
x3
0
1
1
1
1
1
1
0
(2)2x1
2x2
x3
0.
系数矩阵:
2
2
1
增广矩阵:
2
2
1
0
3x1
3x2
x3
0
3
3
1
3
3
1
0
3.两矩阵称为同型矩阵满足什么条件?
行数和列数分别相同
6
线性代数练习题
第二章
矩阵
系
专业
班
姓名
学号
§2.2
矩阵的运算
一.选择题
1.有矩阵A32,B23,C3
3,下列运算正确的是
[
B
]
(A)AC
(B)ABC
(C)AB-BC
(D)AC+BC
二、填空题:
a11
a12
a13
x1
1
.
x1,x2,x3a21
a22
a23
x2
a31
a32
a33
x3
x1(a11x1a21x2
a31x3)x2(a12x1a22x2
a32x3)x3(a13x1
a23x2a33x3)
三、计算题:
1
1
1
1
2
3
设A1
1
1,B
1
2
4
,求3AB2A及ATB
1
1
1
0
5
1
0
5
8
解:
AT
A,
ATBAB0
5
6;
2
9
0
0
15
24
2
2
2
2
13
22
3AB2A
0
15
18
2
2
2
2
17
20.
6
27
0
2
2
2
4
29
2
1
1
A相乘可换的矩阵.
四、设A
,求所有与
0
1
a
b
ac
bd
a
a
b
解:
设B
,则AB
c
,BA
c
c
。
c
d
d
d
c
0
a
b
所以
,因此B
0
.
a
d
a
线性代数练习题第二章矩阵
7
系
专业
班
姓名
学号
§2.3
方阵
一、f(x)3
5xx2,A
2
1,计算f(A)。
3
3
解:
A2
7
5
,f(A)3E5AA2
0
0
15
12
0
0
1
二、设
2
,且
(x)
x2
2x3.求(
),
().
3
12
2
3
0
解:
()
2
2
3E
22
4
3
5
,
32
6
3
12
()0
三、已知A是n阶方阵,且满足A4A2EA3A,计算A5E.
解:
A(A4
A2
E)
A(A3
A)有A5
A3
AA4
A2。
所以A5
EA4
A2
A3
AE0。
四、设A
1
2
B
1
0
1
3
1
下列等式是否成立。
2
(1)
AB
BA;
否
(2)
(A
B)2
A2
2AB
B2;
否
(3)
(A
B)(A
B)
A2
B2.
否
五、举反例说明下列命题是错误的.
(1)若A2O则AO;
(2)
若A2
A则
AO或A
E;
(3)
若AX
AY
且AO
则XY.
解:
(1)A
1
1
1
1
8
1
1
(2)A
2
2
1
1
2
2
(3)A
1
1
2
2
1
1
1
,X
1
1
,Y
2
1
2
六、计算题
1
0
n
1
n
0
;
(2)0
1
(n2)
(1)
1
0
0
解:
(1)原式=
1
0
n
1
n
n
n1
n(n1)
n2
2
(2)原式=0
n
nn
1
0
0
n
9
线性代数练习题
第二章
矩阵
系
专业
班
姓名
学号
§2.4
逆矩阵
一.选择题
1.设A是n阶矩阵A的伴随矩阵,则
[
B
]
(A)AAA1
(B)A
n1
(C)(
A)
nA(D)(A)
0
A
2.设A,B都是n阶可逆矩阵,则
[C
]
(A)A+B是n阶可逆矩阵
(B)A+B是n阶不可逆矩阵
(C)AB是n阶可逆矩阵
(D)|A+B|=|A|+|B|
3.设A是n阶方阵,λ为实数,下列各式成立的是
[
C
]
(A)AA(B)AA(C)AnA(D)A
nA
4.设A,B,C是n阶矩阵,且ABC=E,则必有[B]
(A)CBA=E(B)BCA=E(C)BAC=E(D)ACB=E
二、填空题:
1.已知
2.设
1
2
1
ABB
1
A,其中B
,则A
2
2
1
1
1
2
2
5
4
6
2
13
1
X
2
,则X=
0
4
3
1
3.设A,B均是n阶矩阵,
A
2
,B
3,则2AB1
=
4n
6
4.设矩阵A满足A2
A
4E
0
,则(AE)1
1
(A
2E)
2
三、计算与证明题:
1.设方阵A满足A2
A
2E
0,证明A及A
2E都可逆,并求
A1和(A2E)1。
证明:
A(AE)2E
A1
1(AE)
2
3EA
(A2E)(A3E)
4E
(A2E)1
4
10
1
2
1
2.设A3
4
2
5
4
1
,求A的逆矩阵A1
4
2
0
A1A*
2
1
0
解:
A
2,A*
13
6
1
,
13
3
1
32
4
2
A
2
7
2
16
1
0
3
3
3.设A1
1
0
且满足AB
A2B,求B
1
2
3
解:
AB
A2B,(A2E)BA
B(A2E)1A
2
3
3
1
3
3
A2E
1
1
0
,
A2E2且(A2E)*
1
1
3
1
2
1
1
1
1
(A2E)*
0
3
3
B
A
1
23
A
2E
1
1
0
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