量子力学的数学准备.docx
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量子力学的数学准备
量子力学的数学准备(暑期读物)
写在前面的话
06光信、电科的同学们:
暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。
由于教学计划调整,量子力学的学时由周五学时缩
减为周四学时,加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周),实际教学时间缩减近三分之一。
无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看,都不允许减少教学内容。
为此我编写了一个暑期读物,以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下,能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习和预习,以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。
我知道大家暑假都很忙,要回家与亲人团聚尽享天伦之乐,要孝敬父母帮着做一些事情,要游览大好河山感受大自然的美,要准备考托考吉考这考那,要准备科技创新、电子大赛,等等等等。
但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物,此处所说的看决不是指"Look”,而是指"Read,DeduceandConsider”,即阅读、推导、思考。
为此,带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。
有人说19世纪是机器的世纪,
20世纪是信息的世纪,而
21世纪将是量子的世纪。
让我们为迎接量子世
纪的到来做好准备吧!
刘骥谨此
I.一个积分的计算
计算积分I
I2
2x
由此我们可以得到积分公式:
2n
xe
2
xdx
(2n
2n
叫
2nx2
Inxedx
1
2n1ix2
xde
2n
12n
2ex"dx
2
2
x
2n1
1
(2n
1)(2n3).
(2n
1)!
!
.
In1
2
2I
22
n2
nI0
2n
1
2
问题:
对于积分J
exdx可以仿照上述方法计算吗?
为什么?
如果不能,该如何计算其近似值?
)可忽略,方程⑴在x
的渐近式为
由于是常数,相对X(
2小
yxy0
x2/2
观察可发现e是方程
(2)的近似解。
y
2
xy
ex2/2
X
0
2/2
ex当然不是方程⑴的解y(x),但当x
2/2
时y(x)应表现出ex的渐近行为,于是我们可以
代入
(1),得
h(x)2xh(x)
(1)h(x)0
方程⑶称为Hermit方程,是可以用级数法求解的。
③级数法求解Hermit方程
k
令h(x)akX,代入⑶,
k0
k2k
k(k1)akX(12k)akX0
k0k0
k
[(k2)(k1)ak2(入12k)ak]x0
k0
由方程两边x的同幕次系数相等,我们得到展开系数的递推公式:
k2
k(k1)akX
k0
k(k
k2
1)akXk2
(k2)(k1)ak2Xk
k0
求和哑指标k换为k(kk2)
(k2)(k1)ak2Xk
k0
再用k(k)替换k
正像积分变量替换不改变定积分的值一样,求和哑指标的
替换不改变求和的值。
ak2
2k1入
ak
(k1)(k2)
由递推公式(4)可以看出,ao确定后,a2、a4、…等所有下标为偶数的展开系数随之确定,a,确定后,
a3、a5、…等所有下标为奇数的展开系数随之确定。
不妨令
ak
ak
C1bk,
C2bk,
k为偶数
k为奇数
G,C2为任意常数,
则不管k为偶数还是奇数都有bk2代匕bk
于是
h(x)
C1(b0
C2(b1x
1
2!
33
b1x3!
box2
(1
'box4
4!
(3)(7仏5
5!
)(5)(9)
6!
(3)(7)(11仏7
7!
(1
box6
C1h1(x)
C2h
④y(x)有限性的讨论
当取任意常数值(
i.对任一有限的x,
O
ii.x
时,无穷级数m(x)或h2(x)有限,即使趋向无穷大也不能快于
ex2/2
由式⑸,氐)或h2(x)的相邻项系数比(后项比前项)書(;;)(:
;)
敛判别法则,条件
i是满足的,
考察函数
2
ex
的泰勒展
bk
2
-,根据无穷级数收
k
h-i(x)或h2(x)是收敛的。
至于是否满足条件
ii,
难以直接看出。
为此我们
(k2)!
[(k2)1]!
(k2)1
h2(x)与ex有相同的(k
这不满足上述的条件ii,即
2
-。
一个无穷级数在x
k
)相邻项系数比,因而h1(x)
6
x
3!
其相邻项系数比
时的渐近行为取决于其高次项,
h,x)或
2
b°ex,h2(x)x
2
b1xex。
显然
2n1时,方程⑴没有有限解。
⑤2n1时,方程⑴有有限解
2k1(2n1)
2n1时,式⑸变为bk2bk,由bo(或b1)可推出b2,b4,,bn(或匕3忌,,"),
(k1)(k2)
而bn2
bn4
0,h-i(x)或h2(x)截断成为多项式。
x
时,
多项式趋向无穷的速度不快于
ex/2,满足条件
ii,因而我们可以得到方程
(1)的有限解。
具体地说,
2n1,
n为偶数时,h1(x)截断成为只含有偶数次幕的
n次多项式,而h2(x)仍为无穷
级数,此时可选任意常数c2
0,得到方程
(1)的有限解y(x)
C1h1(x)e
x2/2
。
2n1,n为奇数时,
h2(x)截断成为只含有奇数次幕的
n次多项式,而h1(x)仍为无穷级数,此时
可选任意常数C10,得到方程⑴的有限解y(x)C2h2(x)e
x2/2
。
6Hermit(厄密)多项式
2n
1时,h,x)或h2(x)截断成为n次多项式,其中的常数b0或b1习惯上这样选取:
使多项式
高次项的系数为
2n。
这样的多项式称为Hermit多项式,记为Hn(x),其通项公式:
―r
Hn(X)
[?
]—
k0
(1)kk!
(nn!
2k)!
(2x)n2k
[;]为;的整数部分,[;][J2
由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式,
Ho(x)1,H[(x)2x,^(x)
4x22,
H3(x)8x312x
H4(x)16x448x212,
归纳起来,方程y(x2)y0在|2n1时存在有限解,对应的解为
yn(x)CnHn(x)ex/2
n0,1,2,3,
Cn为常数,由其他条件确定。
7Hermit多项式的微商表示方法及递推公式
Hermit多项式还可写为Hn(x)
2
(1)nex
2
nx
de
n
dx
由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式
Hn(x)2nHn1
由微商表示(8)可得第二个递推公式Hn(x)2xHnHn1(x)
(8)
(9)
(10)
由(9),(10)可得第三个递推公式
Hn1(x)2nHn1(x)2xHn(x)
8常数Cn由归一化条件确定
按照量子力学,yn(x)应满足归一化条件,即yf(x)dx
xHn(x)dx
1。
其中的积分值计
算出来后,就能得到常数Cn。
将微商表示(8)代入上述积分,得
2
2nx
x2nden
exH^(x)dx
(1)nHn(x)—dx
(1)n
dxn
xn1x2
(1)n柿“代取2n
(1)n1
2nn!
H0(x)exdx2nn!
、-
彳2n1xde
n
dx
肿1x2
de.
dx
.n1
dx
Hn(x)d(
Hn1(X)
(12)
1/2
5
1/2
1x2/2
yn(x)n_ex/2Hn(x)
2nn!
J
9两个常用的关于yn(x)递推关系
1
由(11)得,xHn(x)nHn1(x)2Hn1(X),
1
那么xyn(x)2nn!
.
1/2
e
/2xHn(x)
1/2
n11
22nIn1)!
,
1/2
x2/2
Hn1(X)
Xyn(X){
2yn1(x)J^f^yn1(x)
利用(10)式Hn(x)2xHnHn1(x),
dyn(X)
dx\
2yn1(x)yn1(x)
即
类此上面的计算可得
x2/2
eHn1(x)
n1
22nIn1),
⑩yn(x)满足正父性,即ym(x)yn(x)dx0,mn
证明:
不妨设mn,仿照(12)式中的做法
2
ym(x)yn(x)dx2nn!
Hmn(x)exdx
dmn1e
2x
dxm
n1
是一个多项式与
2
ex的乘积
III.3函数
1.
定义
(x)
0,
0
0,且
(x)dx1。
2.
性质i.(x)
(x),
ii.
(-)
a
1
-(x),(a0)
iii.f(x)(x
3.
3函数是某些通常函数序列的极限
“3函数显然不是通常意义的函数。
极限,而这极限是在积分的意义上说的。
x°)dxf(x°)
人们现在说,它是广义函数。
具体地说,它是某种通常函数系列的
(梁昆淼《数学物理方法》第三版,
p108)
除了梁昆淼书中给出的三个例子,即
1x
l(x)lim严叫),
I011
ii.(x)
lim—
K
1sinKx
iii.
验证见梁书
1
(X)|im1——2之外,量子力学中还经常用到下面几种:
x
iv.
dx
e
・-
m
・—g
2X
n
1
先验证iv,2
ikx
dx
同ii
再验证v,x
m
Hg
2X
n
si
si
m
Hg
2X
n
ikx.
edx
R
1sinRk
lim
R
2X
n
si
mo■IXmHg
g
m
Hg
两次使用洛比达
22nXsi
m
■Ig
dxlim
g
1lim—g
X
1cos2x,
dx
x2
1
cos2xd-
x
sin2x,dx
x
xg
符合3函数的定义。
IV.Kroneck符号
mn与Levi-Civita符号咏
1.Kroneck符号mn
1,mn
m,nZ
0,mn
引入Kroneck符号后,可对许多公式进行方便简捷地表达。
例如,三维空间的三个相互正交的单位矢
量i,j,k也可用ei,e2,e3表示,则有
eiei
e1e3
0,e2e2
e2e3
>-此九式可统一写为emenmn
0,e3e2
2.Levi-Civita符号
定义:
ijk
1,
1,
0,
ijk为123或231或312
ijk为213或321或132
ijk有重复数字
可这样记忆:
设想只有三个钟点的表盘(如右图),ijk按顺时针方向取三个数字,Levi-Civita符号为+1,逆时
针方向取为-1,ijk中有两个或三个重复数字则为0。
口诀:
顺正逆负,重复为零。
性质:
ijk
jkikij(下标轮换,符号不变),ijk
改变符号)
例如e1
0,e1e2e3,ne3
e3,e2e2
e3
e1
e2,e3e2
又如角动量
rp(椚)
(Pjej)
其中第k个分量
LkijkxiPi
0,e2©3
©1,e3
jikikj(下标对调,
V.Nabla算符与Laplace算符
Nabla算符就是梯度算符(读作Nabla),它对任意函数f(x,y,z)的作用在直角坐标系中表示为
fff
f(x,y,z)ijk,或写为
xyz
那么在球坐标系中,函数f(x,y,z)g(r,,)g[r(x,y,x),(x,y,z),(x,y,z)],Nabla算符又具有什么样的形式?
利用直角坐标和球坐标之间的关系
222
x
rsin
cos
r
.xyz
y
rsin
sin
和cos
222
zxyz
z
rcos
tan
yx
则f
x
g
x
rg
xrx
g一
——g,或写为—
r
xrx
x
x
x
计算得:
r
sincos
1
cos
cos,
1sin
x
x
r
x
rsin
于是
sin
cos一
1
cos
cos
1sin
于是
x
r
r
rsin
同理一sinsin
1.
1cos
1.
cossin
—cos
一-sin
y
rr
r
sin
z
rr
(sincosisinsin
cosk)一
r
(coscosr
cossin
1
(sinicosj)rsin
er
sin
cos
isin
sinj
cos
kq
e
cos
cos
icos
sinj
sin
k
e
sin
i
cosj
注意直角坐标和球坐标系单位矢量间的关系(见右图)
可得球坐标系中
Nabla算符的具体表达式
(1)
11
er——-e——e
rrrsin
sink)
(1)式可得
Laplace算符
,注意到er,e,e相互正交,且由
er
cos
cosi
cossin
j
sinke
er
sin
sini
sin
cos
j
sine
e
sin
cosi
sin
sin
j
cosksine
e
cos
sini
cos
cos
cose
j
e
e
0,
cos
i
sin
ij(siner
cose
)e
可得
2
2
12
1
2
1-er
1
-er
1
e
2
22
2・
2
2
e
2e
r
r
rsin
rr
rsin
r
rsin
2
1
2
1
2
2cos
2
2
22
・2
2
2・
r
r
r
sin
rrrsin
0,
ere
rr
于是
r2sin22
1/2、1/•
r2r(rr)r2sin的
注意:
i,j,k是空间三个相互正交的固定方向上的单位矢量,与空间点(x,y,z)或(r,,)无关。
而
er,e,e是空间三个相互正交的变动方向上的单位矢量,与空间点(x,y,z)或(r,,)有关,确切地说与
有关。
VI.函数空间及其矢量
一、三维几何空间中的矢量
在三维几何空间中,所谓矢量是指需其大小和方向两方面来描述的量,如位移、速度等,一般来说是三
维空间中的有向线段。
一旦我们在空间中选定一组(此处是三个)线性无关的矢量作为基矢量,比如i,j,k(相
当于选定了直角坐标系),则任意矢量A可写为AA2jA3k,其中A|,A2,A3分别是A在i,j,k方
A1
1
0
0
向上的分量,或写为三行一列的列矩阵AA2。
而三个基矢量的矩阵表示分别为|
i0,j
1,k
0。
A3
0
0
1
以矩阵表示矢量时,习惯上矩阵名A上不加表示矢量的箭头
类此地,一旦我们选定er,e,e作为基矢量(相当于选定了球坐标系),则上述任意矢量
Ar
AArerAeAe,或写为AA。
显然同一矢量A在直角坐标系中的矩阵表示A与在球坐标中
A
的矩阵表示A是不同的。
以上的讨论实际上意味着这样一个事实,三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基
(i,j,k或er,e,e)的线性组合。
两个矢量A和B的内积(点乘)等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积和,即
ABAiBiA2B2A3B3或AB
、从Fourier变换看完备函数系
我们在数理方法中知道,对任一在(
A-BrABAB
复变函数,而是实变复函数,即「变量为实数,而函数值为复数
此处f(x)可以是复函数,不是
)上有定义的函数f(x)可作Fourier变换:
我们可以换一个角度来看Fourier变换,选择一系列函数Jeikx[k取遍(,)中的所有值],任一函数
V2
f(x)可写成这一函数系列的线性组合。
如果任一函数f(x)可写为某一函数系列的线性组合,则该函数系列为完备函数系,简称完备系。
比如
我们这里的函数系列1eikx,kR就是完备系。
七2
对于三维几何空间,当选定一组完备系(比
三、函数空间
三维几何空间实际上是所有三维矢量作为其元素的一个集合。
如i,j,k,它们当然也是该集合中的元素)后,任意矢量A可写为AA1iA2jA^k,其中A1,A2,A3分别是A在i,j,k方向上的分量。
对照来看,所有定义在(,)上的复函数的集合,也构成一个空间,称为函数空间,也叫希尔伯特空
间。
当选定函数系列
ikx
k
g(k)eikxdk,g(k)是f(x)
1
R作为完备系时,任意函数f(x)'
.2
在基
1ikx
上的分量。
从这个意义上讲,
一个函数
f(x)就是函数空间中的一个矢量。
既然是一个矢量,
也可以形式上写成矩阵:
g(kj
gh)
第k2行
,只不过此处标记行的指标k有无限多个取值而且是连续的。
希尔伯特空间中的两个矢量fdx)和f2(x)的内积也等于两个对应分量乘积的和,即
g;(k)g2(k)dk。
当然我们并不一定要选函数系列
R作为希尔伯特空间的完备系,也可以选另外一套完
备系,比如(xx0),x0R。
此处x是基函数(xx0)的变量,而x0是不同基函数(xx0)的标记。
根据3函数的性质,f(x)
f(Xo)(xxo)dxo,可以看出函数值f(X。
)就是矢量f(x)在基(XX。
)上
f(xj第捲行
f(x2)第x2行
两个矢量fi(x)和f2(x)的内积也可以写成两个对应分量的乘积和(当然其中一个要取复数共轭),
f1*(x0)f2(x0)dx0。
由于积分变量的替换不改变积分的值,fjx)和f2(x)的内积可写为f1*(x)f2(x)dx。
ikx,k
(xXo),X。
R作为完备系,
计算得到的fi(x)和
f2(X)的内积理应相等,
在三维几何空间中,两矢量的内积不依赖于坐标系的选取,不管取直角坐标还是求坐标,计算出的两个矢量A和B的内积AB都是相同的。
那么在希尔伯特空间中,取不同的函数系
f1*(x)f2(x)dxg;(k)g2(k)dk。
下面证明这个结论:
由Fourier变换知,
1
fl(x).2
ikx
gi(k)edk,f2(x)
ikx
g2(k)edk
fi(x)f2(x)dx
*ikx
gi(k)edk
ik
g2(k)edkdx
交换积分次序
*
gi(k)g2(k)
ei(kk)xdxdkdk
此积分为s函数
g;(k)g2(k)(kk)dkdk
g;(k)g2(k)dk。
在量子力学中我们还会遇到很多其它不同的完备系。
VII.矩阵及其特征向量和特征值
复习方阵的特征值和特征向
复习矩阵、转置矩阵、正交矩阵、相似变换等。
量的计算方法。
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